把一矩形條ABCD的一對對邊擰轉粘上,M¨obius bend

把

一矩形條ABCD的一對對邊擰

轉

粘上(見圖2.5) , 這樣的曲面就無法分出內外側了, 這樣的曲面稱為不可定向的, 這便是有

名的M¨obius bend。

數

學傳播30卷2期, pp. 12-27

微

積分五講一一

第二講

微積分的三個組成部分

龔

昇??張德健

一

. 一元微積分的三個組成部分

大

致上來講, 微積分這門學科的內容是由微分、積分、以及聯結微分與積分的微積分基本

定

理這三個部分所組成。微分的部分與積分的部分都易於理解, 而第三部分, 指出微分和積分是

一組

對立運算的微積分基本定理, 也許要多用些篇幅來說明, 我們先從一元微積分說起。

微

分與積分的思想由來已久, 例如: 阿基米德(Archimedes, 公元前287∼公元前212) 在

將

近兩千三百年前就已經知道如何求拋物線、弓形的面積、螺線的切線等, 劉徽於公元三世紀在

他

的割圓術中, 就是用無窮小分割來求面積的等等。經過長期的累積成果, 在牛頓(Newton) 與

萊

布尼茲( Leibniz) 之前, 已經有了大量微積分先驅性的工作, 為微積分的誕生打下了穩固的

基

礎。比方說, 在牛頓與萊布尼茲之前, 人們已經知道如何求曲線y = xn (其中n為正整數) 的

切

線及它所覆蓋的曲邊梯形的面積等。(關於微積分產生前的歷史將在第四講中詳細討論); 但

是所提

到的這些還不能說明真正微積分的建立, 直到牛頓與萊布尼茲證明了如下的微積分基本

定

理, 才真正地標誌著微積分的誕生。因此, 這個基本定理也叫Newton-Leibniz 公式。

微

積分基本定理(微分形式): 設函數f(t) 在區間[a, b] 上連續, x 是區間[a, b] 中一個

內

點, 令

(

x) = Z x

a

f

(t)dt (a < x < b)

則

(x) 在[a, b] 上可微, 並且

′(x) = f(x) (a < x < b)

即

d

(x) = f(x)dx

12

微

積分五講13

換

句話說, 如f(x) 的積分是 (x), 則 (x) 的微分就是f(x)dx, 即f(x) 的積分的微分就

是

f(x) 自己乘上dx, 也就是反映整體性質的積分:

(

x) = Z x

a

f

(t)dt

是由

反映局部性質的微分d (x) = f(x)dx 所決定。

微

積分基本定理(積分形式): 設 (x) 是在[a, b]上可微, 且

d

(x)

dx

等

於連續函數f(x), 則下面等式成立

Z

x

a

f

(t)dt = (x) − (a) (a ≤ x ≤ b).

換