示区域有
多少维数就是多少重数
1
专 稿
对微积分中主要矛盾的粗浅认识
(续二)
X
龚
升
日
(中国科技大学 合肥 230026)
在一般的微积分的书中
, 如果从a 到b 的直线段的长度是正的, 那末从b 到a 的直线段的长度
是负的
, 可是一涉及到面积就往往假设面积都是正的, 如在二维欧氏空间中进行变数变换
x
= x (u, v ) ,
y
= y (u, v )
,
则x , y 平面的面积元素dA = d x d y =
5
(x , y )
5
(u, v ) d ud v , 这里
5
(x , y )
5
(u, v ) 是x , y 关于
u
, v 的雅可比(J acob ian) 行列式, 而对雅可比行列式要加以绝对值, 其理由是面积总是正的1 但
是线段的长度可有正有负
, 为什么面积一定要是正的? 如果去掉这个限制, 可以允许面积可正可
负
, 这可能就是引入外微分形式的最最原始的思想1
对面积元素
d x dy 引入外乘积∧, d x ∧dy 称为微分的外乘积, 它要满足如下的规则: d x ∧dy
= -
dy ∧d x , 粗略来讲, 这相当于面积元素按不同定向有正有负1 在这个规则下, 立即得到d x ∧
d x
= 01 由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式1 微分在外乘积中的个数称为
外微分形式的次数
1 于是: 若P , Q , R , A , B , C, H 为三维欧氏空间中变数x , y , z 的函数,
则
P d x
+ Q d y + R d z
为一次外微分形式
(由于一次没有乘积, 与普通的微分形式是一样的) ;
A d x
∧ d y + B d y ∧ d z + Cd z ∧ d x
为二次外微分形式
;
H d x
∧ d y ∧ d z
为三次外微分形式
, 而P , Q , R , A , B , C, H 等称为微分形式的系数, 而称函数f 为0 次外微
分形式
1
对任意两个外微分形式
K, L也可以定义外乘积K∧L, 只要相应的各项外微分进行外乘积就可
以了
1 例如, A , B , C, E , F , G 为x , y , z 的函数, 且
K
= A d x + B d y + Cd z ,
L
= E d x + F d y + Gd z ,
则
K∧ L= (A d x + B d y + Cd z ) ∧ (E d x + F d y + Gd z )
=
A E d x ∧ d x + B E d y ∧ d x + CE d z ∧ d x + A F d x ∧ d y
+ B F d y ∧ d y + CF d z ∧ d y + A Gd x ∧ d z + B Gd y ∧ d z + CGd z ∧ d z
= (
B G - CF ) d y ∧ d z + (CE - A G) d z ∧ d x + (A F - B E ) d x ∧ d y 1
对外微分形式
X, 可以定义外微分算子d 1
对于零次外微分形式
, 即函数f , 定义
d f
=
5
f
5
x
d x
+
5
f
5
y
d y
+
5
f
5
z
d z
,
即是普通的全微分算子
1
2 高等数学研究
STUD IES IN COLL EGEMA THEMA T ICS
Vo l13, No. 1
M ar. , 2000
X
收稿日期: 1998- 12- 28
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
对于一次外微分形式
X
= P d x + Q d y + R d z ,
定义
dX = dP ∧ d x + dQ ∧ d y + dR ∧ d x ,
经过简单计算
, dX = (
5
R
5
y
-
5
Q
5
z
)
d y ∧ d z + (
5
P
5
z
-
5
R
5
x
)
d z ∧ d x
+ (
5
Q
5
x
-
5
P
5
y
)
d x ∧ d y 1
对于二次外微分形式
X
= A d y ∧ d z + B d z ∧ d x + Cd x ∧ d y
也是一样
, 定义dX = dA ∧ d y ∧ d z + dB ∧ d z ∧ d x + dC ∧ d x ∧ d y ,
经过简单计算
, dX = (
5
A
5
x
+
5
B
5
y
+
5
C
5
z
)
d x ∧ d y ∧ d z 1
对于三次外微分形式
X
= H d x ∧ d y ∧ d z
也是一样定义
dX = dH ∧ d x ∧ d y ∧ d z 1
由于在三维欧氏空间中讨论外微分形式
, 易证此时dX= 01
有了这些准备以后
, 就可以说清楚在高维空间中微分与积分如何成为一对矛盾了1
先看格林公式
∮
L
P d x
+ Q d y = k
D
(
5
Q
5
x
-
5
P
5
y
)
d x d y 1
如果记
X
1
= P d x + Q dy , 则X
1
为一次外微分形式, 于是
d
X
1
= (
5
Q
5
x
-
5
P
5
y
)
d x ∧ d y 1
由于线积分的曲线
L 是定向的, 所以格林公式可以写成
∮
X
1
= kdX
1
1
再看斯托克斯公式
∮
L
P d x
+ Q d y + R d z = k
8
(
5
R
5
y
-
5
Q
5
z
)
d y d z + (
5
P
5
z
-
5
R
5
x
)
d z d x + (
5
Q
5
x
-
5
P
5
y
)
d x d y 1
由于线、面积积都是定向的
, 把P d x + Q dy + R d z = X 看作一次外微分形式, 于是
d
X = (
5
R
5
y
-
5
Q
5
z
)
d y ∧ d z + (
5
P
5
z
-
5
R
5
x
)
d z ∧ d x + (
5
Q
5
x
-
5
P
5
y
)
d x ∧ d y 1
因之
, 斯托克斯公式可写为
∮
X = kdX1
同样
, 高斯公式为
k
8
外
P d y d z
+ Q d z d x + R d x d y = m
V
(
5
P
5
x
+
5
Q
5
y
+
5
R
5
z
)
d x d y d z 1
由于
8 是定向的, 所以可将
P d y d z
+ Q d z d x + R d x d y
看作二次外微分形式
, 即记
X
2
= P d y ∧ d z + Q d z ∧ d x + R d x ∧ d y ,
3
第3 卷第1 期 龚 升
日
: 对微积分中主要矛盾的粗浅认识(续二)
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
从而
dX
2
= (
5
P
5
x
+
5
Q
5
y
+
5
R
5
z
)
d x ∧ d y ∧ d z 1
于是
, 高斯公式可写成∮X
2
= mdX
2
1
从这些立即看出
, 在三维欧氏空间, 格林公式、斯托克斯公式与高斯公式实际上都可以用同
一公式写出来
, 这个定理(或公式) 也叫做
斯托克斯定理
(或斯托克斯公式)
∫
58
X
=∫8 dX (3 )
这里
, X 为外微分形式, dX 为X 的外微分, 8 为dX 的积分区域, 58 表示8 的边界,∫表示区域有
多少维数就是多少重数
1
从这里还可以看出
, 除了格林公式、斯托克斯公式与高斯公式以外, 在三维欧氏空间中, 联
系区域与其边界的积分公式不会再有了
, 因为这时三次外微分形式的外微分为零1
不仅如此
, 回到一元微积分的情况, 这时取X 为0 次外微分形式, 即函数f (x ) 1 取8 为直线
段
[a, b ], 58 为8 的边界, 这里就是端点a 与b, dX 就是d f (x )
d x
d x
, 公式(3 ) 就成为
∫
b
a
d
d x
f
(x ) d x = f (x ) ûba
=
f (b) - f (a) 1
这就是一元微积分的基本定理
1
归纳起来
, 在公式(3 ) 中, 当X 为零次外微分形式, 8 为直线段时, 此即牛顿- 莱布尼茨公
式
; 当X 为一次外微分形式, 而8 为平面区域时, 此即格林公式; 当X 为一次外微分形式, 而8
为三维空间中的曲面时
, 此即斯托克斯公式; 当X 为二次外微分形式, 而8 为三维空间中的一个
区域时
, 此即高斯公式1 它们之间的关系可列表如下:
外微分形式的次数空间公式
0
直线段牛顿- 莱布尼茨公式
1
平面区域格林公式
1
空间曲面斯托克斯公式
2
空间中区域高斯公式
公式
(3 ) 揭露了在三维欧氏空间中微分与积分是如何成为一对矛盾的, 这对矛盾的一方为外
微分形式
, 另一方为线、面、体积分1 这个公式是说, 高次外微分形式dX 在区域上的积分等于低
一次的外微分形式
X 在区域的低一维空间的边界上的积分, 外微分运算与积分起了相互抵消作
用
, 就像加法与减法、乘法与除法、乘方与开方相互抵消一样1
更为重要的是
: 在高维欧氏空间, 当维数大于3 时, 斯托克斯公式(3 ) 依然成立, 不但如此,
当
8 是微分流形时, (关于微分流形不在此定义了, 参阅有关文献) (3 ) 依然成立, 这就说明斯托
克斯公式
(3 ) 是微积分中具有本质性的定理, 它不仅说清楚了三维欧氏空间中, 为何微分与积分
是一对矛盾
, 它们是如何体现的, 还说清楚了高维欧氏空间, 当维数大于3 时, 为何微分与积分
是一对矛盾
, 它们是如何体现的, 甚至说清楚了在微分流形上, 为何微分与积分是一对矛盾, 它
们是如何体现的
1 也可以说斯托克斯公式(3 ) 是微积分这门学科的一个顶峰, 是数学中少有的简
洁、美丽而深刻的定理之一
, 也是在近代数学中被应用得十分广泛的定理之一1
4 高等数学研究 2000 年3 月
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再重新回到三维欧氏空间中来
, 在三维欧氏空间中, 有着广泛应用, 尤其是在物理上有广泛
应用的三“度”
, 即梯度(gradien t)、旋度(cu rl) 与散度(divergence) , 现在在外微分形式的意
义下来重新认识它
1
先看零次外微分形式
X = f (x , y , z ) , 它的外微分为
d
X = d f =
5
f
5
x
d x
+
5
f
5
y
d y
+
5
f
5
z
d z
,
而
f 的梯度为gradf = (
5
f
5
x
,
5
f
5
y
,
5
f
5
z
) ,
所以梯度是与零次外微分形式的外微分相当
1
再看一次外微分形式
X
1
= P d x + Q d y + R d z ,
它的外微分为
d
X
1
= (
5
R
5
y
-
5
Q
5
z
)
d y ∧ d z + (
5
P
5
z
-
5
R
5
x
)
d z ∧ d x + (
5
Q
5
x
-
5
P
5
y
)
d x ∧ d y
=
d y
∧ d z d z ∧ d x d x ∧ d y
5
5
x
5
5
y
5
5
z
P Q R
,
而矢量
u = (P ,Q , R ) 的旋度为
ro t
u = (
5
R
5
y
-
5
Q
5
z
)
i + (
5
P
5
z
-
5
R
5
x
)
j + (
5
Q
5
x
-
5
P
5
y
)
k =
i j k
5
5
x
5
5
y
5
5
z
P Q R
,
这里
i, j , k 分别为x 2轴, y 2轴, z 2轴的单位矢量1 所以旋度是与一次外微分形式的外微分相当1
再看二次外微分形式
X
2
= A d y ∧ d z + B d z ∧ d x + Cd x ∧ d y ,
它的外微分为
d X
2
= (
5
A
5
x
+
5
B
5
y
+
5
C
5
z
)
d x ∧ d y ∧ d z 1
而矢量
v = (A ,B , C) 的散度为divv =
5
A
5
x
+
5
B
5
y
+
5
C
5
z
,
所以散度与二次外微分形式的外微分相当
1
从这个观点来看
, 还有没有可能产生具有这种性质的其他的“度”呢? 很明显, 在三维欧氏
空间
, 这是不可能的了1 因为在三维欧氏空间, 三次外微分形式的外微分为零1 所以不可能再有
与之相当的“度”了
1 所以从外微分形式的观点, 在三维欧氏空间, 有且只能有这三个度, 即梯
度、旋度与散度
1 它们与外微分形式的对应关系可列表如下:
外微分形式的次数对应的度
0
梯度
1
旋度
2
散度
5
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