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加入人人网转动群之美 & 30分钟精通Polya定理 —— 组合数学备考宝典
来源： 赵宇的日志
相信不少人在复习组合数学的时候，最头疼的东西之一就是那些转来转去的正多面体了，尤其是到了八面、十二面、二十面甚至足球的时候，空间想象能力受到了极大挑战。本人也不例外，为了搞通这个东西花了好长一段时间。本着期末考试之前攒人品的原则，下面概述一下我通过复习总结出来的一套对付此类问题的理论。可以保证，你只需跟着我这篇日志进行复习，30分钟即可搞通所有的正多面体转动群。
在全篇开始之前需要郑重声明的是，讲这一章节的时候我基本没去上课，只听了讲足球形状那一次，而且复习课也没去，如果我的理论与马昱春老师的有相同之处，应属于分别独立得到的研究成果，不属于学术抄袭。
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我通篇的理论都是专注于如何写出置换群的表格形式，比如正二十面体的“棱中对棱中翻转”的置换形式是(1)^2 (2)^14，一共有15个这样的置换。我认为只要能够轻松写出任意正多面体的任意一个转法的置换形式，大多数染色题目基本可以迎刃而解。需要注意的就是火柴问题，情况比染色复杂，可能需要额外做题，这个暂且不论。
首先，给出一个重要的概念——底座。
底座，是指把多面体的一个顶点（称为尖顶）放到视角中心，从上往下俯视看到的第一层轮廓。面数较小的情况下，底座就是俯视图的最外围轮廓，但面数增多时就不一定了。总之，我们只讨论与尖顶有边相连的那个底座。
底座是原多面体的一个切面。每个底座都拥有中心的尖顶，以及从这个尖顶连结到底座各顶点的棱，以及底座的侧边。下面依次来看底座的形状：
（1）正四面体
正四面体的底座就是它自己的一个底面，侧边就是它自己的三条边。属于“底座易见类”多面体。
（2）正六面体
正六面体的底座是三条虚线的那三个顶点组成的正三角形，它的侧边实际上是三个等腰直角三角形。理解这两点需要一些想象能力。属于“底座难见类”多面体。
（3）正八面体
正八面体的底座是图中的正方形，侧边是自己的四条边。属于“底座易见类”多面体。
（4）正十二面体
正十二面体由一堆五边形组成，它的底座实际上也是一个正三角形，与正六面体不同的是，它的侧边实际上是切割五边形得到的三角形，这个三角形的顶角是120度。看到这一点也需要一些想象能力，它属于“底座难见类”多面体。
（5）正二十面体
正二十面体看起来复杂，其实底座很容易看出，就是一个正五边形，并且由一个尖顶连接着各个顶点，像一个宫殿的顶部。底座的侧边就是正二十面体自己的五个侧面，都是正三角形。它属于“底座易见类”多面体。
本质上讲，对一个多面体的旋转，就是对它的各个底座的旋转。可以说，只要脑子里能想出底座的形状，你就可以说“完全”了解了对应的那个正多面体，即使你根本无法画出或想象出那个多面体的整体形状。
为什么这么说呢，因为正多面体有一个很好的性质，就是对称性。这个对称性在我们讨论旋转置换的时候，在做题的时候，对应的物理意义就是两个字：“信心”。你永远可以坚信，当这个底座发生旋转的时候，其他的点、面、棱也在按照相同的规律进行着旋转。
老师说过，旋转置换可以按照不同的对称轴分为四大类情况：不动、点对点、面对面、棱对棱。对底座易见类多面体来说，点对点的旋转最好理解，比如正四面体；对底座难见类多面体来说，面对面的旋转最好理解，如正六面体。下面分别讨论点对点、面对面、棱对棱旋转。
（1）点对点
了解底座之后，对称轴是点对点的情况就相当于在底座上印了一条高，绕着这条高来转。你会突然发现这想起来变得异常简单了，是不是？因为，点对点旋转有几种情况，完全取决于底座是几边形。如果是奇数边形，就直接有n-1种转法，如果是偶数边形，需要考虑是90度还是180度，因为这两种情况下循环个数不一样。
接下来的问题是如何写出具体的形如(1)^2 (3)^2 之类的置换形式，而且需要针对点染色、面染色、棱染色分别讨论。这就是本文的精髓所在了，根据对称性，我总结出一个置换大定理：
<1>: 任何情况下，有且仅有对称轴上的两个对象是不动的，其它的都动。
比如，点对点旋转时，只有两个不动点；轴对轴旋转时，只有两个不动轴；面对面旋转时，只有两个不动面。写成置换形式就是(1)^2。
<2>: 在不区分90度还是180度的情况下，有m种旋转方式时，点染色、面染色、棱染色均可以写成 (m+1)^k的形式。这里的k需要根据不同多面体的点、面、棱数决定，只要满足(m+1)乘以k等于那个数目即可。
因此，对点对点轴旋转，我们可以列表如下：（正四面体实际上是点对面，单独写 ）
旋转方向种类 点染色 面染色 棱染色
正六面体： 2 (1)^2 (3)^2 (3)^2 (3)^4
正十二面体： 2 (1)^2 (3)^6 (3)^4 (3)^10
正二十面体： 4 (1)^2 (5)^2 (5)^4 (5)^6
即使是需要区分90度还是180度的情况，对点染色、面染色、棱染色来说，每个分组的大小也是一样的：
旋转方向种类 点染色 面染色 棱染色
正八面体：90度 2 (1)^2 (4)^1 (4)^2 (4)^3
180度 1 (1)^2 (2)^2 (2)^4 (2)^6
（2）面对面
面对面的情况更简单。当点对点的时候，你还得考虑底座是什么样子，才能知道旋转方向种类m等于几。而面对面时，你只需要知道多面体的每个面是几边形就行了，因为在不需要区分90度还是180度的情况下，旋转种类m就等于边数减一。（五边形就是4种，三边形就是2种，49边形就是48种）至于多面体长什么样子，完全没必要知道，因为对称性给了我们使用“置换大定理”的充分信心。
旋转种类 点染色 面染色 棱染色
正八面体： 2 (3)^2 (1)^2 (3)^2 (3)^4 （面为三角形）
正十二面体： 4 (5)^4 (1)^2 (5)^2 (5)^6 （面为五边形）
正二十面体： 2 (3)^4 (1)^2 (3)^6 (3)^10 （面为三角形）
这是不是很简单啊。
即使是需要区分90度还是180度的情况，对点染色、面染色、棱染色来说，每个分组的大小也是一样的：
旋转方向种类 点染色 面染色 棱染色
正六面体：90度 2 (4)^2 (1)^2 (4)^1 (4)^3
180度 1 (2)^4 (1)^2 (2)^2 (2)^6
（3）棱对棱
棱对棱是最难想象的一种，但在我的理论中是最简单的一种，因为根据对称性给我们充分信心，棱对棱只有180度这一种情况，因此对所有多面体来说都只有1种旋转方向。根据置换大定理，所有多面体的棱对棱旋转都可以写成 (2)^x 的形式，只需要根据棱的数量更改x就可以了。当然，别忘了棱染色时有两个不动点(1)^2。
点染色 面染色 棱染色
正四面体： (2)^2 (2)^2 (1)^2 (2)^2
正六面体： (2)^4 (2)^3 (1)^2 (2)^5
正八面体： (2)^3 (2)^4 (1)^2 (2)^5
正十二面体：(2)^10 (2)^6 (1)^2 (2)^14
正二十面体：(2)^6 (2)^10 (1)^2 (2)^14
是不是已经感觉很弱智了？没错，这就是对称性和置换大定理给我们带来的的强大信心。
如果你能够自己写出上面的置换形式，这些多面体对你来说就没啥新意可言了。尽管你可能都画不出来这个多面体。
另外，还有一个小技巧，就是在检查置换种类总个数的时候，应该等于面数乘以每个面的边数。
按照 不动+点点+面面+棱棱 的顺序写出种类个数之和，如下表：
正四面体： 1+8+3 = 12种 = 4x3 （三角形）
正六面体： 1+8+(6+3)+6 = 24种 = 6x4 （四边形）
正八面体： 1+(6+3)+6+8 = 24种 = 8x3 （三角形）
正十二面体：1+20+24+15 = 60种 = 12x5 （五边形）
正二十面体：1+24+15+20= 60种 = 20x3 （三角形）
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关于足球：
单拉出足球来是因为足球不满足对称性，它既有12个五边形又有20个六边形，比较复杂。但其实，它也没有想象中那么复杂。先看一下图像：
可以看出，足球在本质上是由五边形组成的，它其实就是12个不相交的五边形组成的多面体，六边形实际上相当于是为了封闭而填充进来的面。下面按照置换大定理的思路讨论下足球：
（1）点对点
可以看到，点对点的连线在足球上特别不对称，因为底座的侧边有一个是黑的（五边形）两个是白的（六边形）。这怎么旋转呢？没法旋转。因此，点对点轴旋转在足球上不存在。
（2）面对面
这要分每个面是五边形还是六边形了。根据置换大定理，五边形就是五个一组（m=5-1，5-1+1=5），六边形似乎就是六个一组（m=6-1，6-1+1=6）。但可惜的是，六边形中有三条边在五边形上，三条边不在五边形上，要求置换时必须满足三条边内部互换。因此就只有两种旋转方式了，所以m=2，2+1=3个一组。
点染色 面染色 棱染色
五边形： (5)^12 (1)^2 (5)^6 (5)^18
六边形： (3)^20 (1)^2 (3)^10 (3)^30
（3）棱对棱
棱对棱虽然简单，但要注意的是只有不在五边形上的棱才具有对称性，否则转不了。因此90条棱中，只有90-12x5 = 30条棱可以转，也就是15个棱对棱轴。由于只有180度的旋转，根据置换大定理，仍然可以写成(2)^x 的形式。
点染色 面染色 棱染色
足球： (2)^30 (2)^16 (1)^2 (2)^44
同样，可以用上面提到的小技巧检查置换种类总个数，即应该等于面数乘以每个面的边数：
1+24+20+15 = 60种 = 12x5 （五边形）
这也说明，足球在本质上是由五边形组成的。
尴尬了。。。
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