紙環
內，垂直於紙面的一個法向量，總是由紙面指向圓形
紙環
的環心處，在紙環外，垂直於紙面的一個法向量，總是指向外面；但是對
M
öbius 帶而言，就沒有這種情形
1
生生不息的莫比烏斯帶
―拓 撲 學 奇 趣
一、 什麼是拓撲學
拓撲學（
Topology）是在19世紀末興起並在20世紀中迅速蓬勃發展的一門
數學分支，其中拓撲變換在許多領域均有其用途。直至今日，從拓撲學所衍生
出來的知識已和近世代數、分析共同成為數學理論的三大支柱。
拓撲學的最簡單觀念產生於對周圍世界的直接觀察。直觀的說，關於圖形
的幾何性
質探討，不限於它們的“度量”性質（長度、角度等等）方面的知識。
拓撲學
探討各種幾何形體的性質，但是其內容卻與幾何學的範疇不盡相同，多
數的
討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無關的性質上。
例如
，曲線（繩子、電線、分子鏈…）不論有多長，它可以是閉合或不是
閉合
的。如果曲線是閉合的，則它可以是“纏繞”得很複雜的。兩條以上的閉
曲線可以互相套
起來，而且有很多型式。立體及它們的表面可以是有“孔洞”
的，在不
割裂、破壞孔洞下，它們允許做任意的伸縮及變形。這種變形不會減
少或增加孔動
數量，就叫做它的“拓撲性質”。一個橡皮圈，在它的彈性限度
內
，任憑我們把它拉長、扭轉，只要不把它弄斷，那麼它永遠是一個圈圈。拉
長
使它的長度改變了，扭轉使它的形狀改變了，然而在拓撲學上不會理會這些，
只
是專注在“它永遠有一個圈圈”上。
A.
拓撲同胚與等價性質
拓撲學
只探討各種幾何形體的內稟特質。一個幾何圖形的性質，經由一拓
撲變換
作用後維持不變，該性質稱為圖形的拓撲性質。下面兩組圖形從拓撲變
換
角度來看，它們分別是“等價”的。
等
價等價
任
何三角形、方形、圓形及橢圓的內稟特質，從拓撲學的立場看來，它們
都
沒有任何區別。然而，在初等幾何學中，這些圖形的形狀、面積、周長等都
是不
相同的。
2
如果
我們把一個橡皮製的物體X任意的扭轉、拉長，但不可把它撕開或弄
斷
，而得到另一形狀的物體Y，我們稱這兩個物體X和Y在拓撲上是一種“同
胚
”或“等價”的結構。廣義的來說，在一個物體到另一個物體的對應關係，
如果它
是不間斷，又不重複，則在拓撲上稱這個關係在兩物體間建立一個“同
胚
”變換。兩個物體間如果存在有這種關係，則稱它們為“拓撲同胚”。
例如
，任意一個三角形在任意延伸、伸縮的變形變換中，可以疊合住一個
圓
形。所以這個延伸、伸縮變換是一種同胚變換，因而三角形和圓形在拓撲上
被視
為是同胚或等價的。
拓撲學
就是探討同胚的拓撲空間所共有的性質之一門學科。網路、歐拉定
理、
曲面、向量場、四色問題、結、覆蓋等，都是拓撲學研究的重要課題。
B.
不可思議的拓撲變換
法國著名
數學家龐加萊（Poincaré, 1854〜1912）以他豐富的想像力及抽象
的
思維能力，提出下圖中的兩個物體是等價（同胚）的，也就是說，您可以從
其中一
個開始，經由拓撲變換得出另一個，您認為可能嗎？
龐
加萊的變換魔術：請注意下面的變換！在拓撲上，只要不破壞原有結構，
任意伸縮
變形是被允許的，因為總能找到一個同胚的對應來描述這個動作。
龐
加萊的奇怪想法：
在
車輪內胎上有一個小洞，能否在不撕壞車胎的前提下，通過小洞將車內胎翻面過來（裡面翻到外面）？如果可以，該如何操作？
？
3
二、莫比烏斯（
Möbius）帶
在1862
〜1865年，德國數學家莫比烏斯（Möbius）和利斯廷的著作中出現
了
一種有邊緣的曲面。它可以這樣得到：把長方形紙條扭轉一次，然後把兩端
接起來。
這樣得到的曲面叫做Möbius 帶。
關於M
öbius帶是怎樣發現的﹐有這樣一個故事：有一次﹐莫比烏斯在海濱
度
假。到了晚上﹐蒼蠅太多﹐使他難以入睡。於是他把黏蠅紙扭轉半圈﹐然後
把
兩端粘到一起﹐形成一個紙環。再把這樣的紙環掛在假期別墅的椽頭上。他
臨時
製作的捕捉蒼蠅的紙帶很管用﹐他睡覺沒有再受蒼蠅的干擾。早晨醒來﹐
他
的目光落在那個紙環上﹐驚訝地發現這條紙只有一個面﹐並且只有一條稜。
著名
的Möbius 帶於是誕生。
A.
單側的曲面
這個
扭轉一次紙帶所得到的Möbius帶有何特別的幾何性質呢？我們看下面
這個
一般的紙環，在紙環內，垂直於紙面的一個法向量，總是由紙面指向圓形
紙環
的環心處，在紙環外，垂直於紙面的一個法向量，總是指向外面；但是對
M
öbius 帶而言，就沒有這種情形。
對M
öbius帶而言，它是一種單側的曲面。譬如說，在九章的標誌中，沿著
帶
子上移動的人，路途中會經過他移動的起始點，但是卻在另一側。如果他繼
續移
動，則會把整個Möbius 帶都走遍。所以可以確定它沒有第二側！
4
B.
從Möbius 帶中間剪一刀
取
一隻筆，在製作好的Möbius帶上畫上下圖中昆蟲所走的軌跡，然後取一
把
剪刀，將Möbius 帶沿軌跡剪開。您有什麼發現呢？
從
上面操作中發現，剪一刀後的Möbius帶並不會被分成兩個紙環，而是形
成一
個更大的紙環。您知道為什麼嗎？
如果
我們將Möbius帶的紙面寬畫上三等份，沿兩條等分線剪開，及結果會
如
何？又剪三刀成為四等份呢？
C. M
öbius 帶與紙環的拓撲同胚結構
從一
條紙帶扭轉一次接合後得到Möbius 帶，經過剪刀剪一刀後，得到一個
瘦
長的紙環，它是一個紙帶扭轉三次接合後的圖形。可以發現它們都是單側的
圖形。
從
上述拓撲觀點來看，在它們之間存在一個變換，維持了它們都是單側的
性
質，稱它們是同胚的。想一想，一個未經扭轉的紙環和一個經由兩次扭轉所
得
的紙環，是否是同胚？
三、 雙人脫困遊戲
在
下圖中，如果不解開手腕上的繩結，不破壞、剪斷繩子下，怎樣幫助他
們
脫困？將這一對男女分開呢？找一個周遭的同伴一起動手操作試試看！
5
四、
Puzzle !!!
在
下圖中，最初在位置A的金屬環能否被移往位置B的地方呢？如果可以，
該
怎麼移動？用塊厚紙板鑽幾個洞，作個玩具試試。
五、 繩圈
人類自
從會使用繩子，就會打繩結，結繩圈。各種的繩結的功用可能都一
樣
，為了穩固物體而做，但是打繩結的方法卻是千奇百怪。為了研究它們在幾
何形
狀上本質的差異性，我們把繩的兩端黏合起來，成為沒有端點的繩圈。這
個
想法就像上述討論Möbius帶一樣。對許許多多的繩圈而言，能不能經過一連
串
的連續變換，變成一種相同的繩圈呢？如果可以，那麼在拓撲觀點上這些繩
圈
也就沒有分別了。
下面
是兩個繩結，做兩個實物模型把玩一番，您就會發現它們是不同的！
如果
把繩的兩端黏合起來，成為具有繩結又沒有端點的繩圈，那麼就更容
易
用數學來描述它們。如下圖所示，我們分別稱它們為“右手三葉結”及“8字
形
結”。
A.
什麼是紐結、鏈環
為
了在數學上更貼切的描述繩圈，我們定義什麼是“紐結”。簡單地說，
6
紐
結就是三維空間中簡單的閉曲線，而簡單的閉曲線，意思是連通的（連成一
體
的）、封閉的（沒有端點的）、不自交的（自己跟自己不相交，即沒有黏合處
的）
曲線。所以，一個平面上的圓圈是一個紐結，它是一個未打結的紐結，我
們
稱它為一個“平凡紐結”。
除
了繩圈可以打結外，繩圈與繩圈之間還可以互相鈎連、套扣，這也是日常
生
活中常見的現象，諸如鐵鏈、鑰匙圈等等。因此，我們再定義“鏈環”的概
念
：由許多條互不相交的簡單閉曲線所構成的空間圖形稱為鏈環，並稱每一條
閉曲線
為其“分支”。下面是具有兩個分支的鏈環。
如果
一個紐結（或鏈環）可以經過繩圈的移位變形變成另一個，我們就說這兩個紐結（或鏈環）是等價的，或同痕的，有時乾脆把兩個等價的紐結（或
鏈
環）視為相同的。
B.
紐結的投影圖
在
現實生活中，描述空間的圖形通常是用照片，而照片就是一種取適當方
位
投影的圖像。對於紐結與鏈環，我們也選取它的一個投影圖來描述它。但是，
這種
投影圖要能很適切地表示紐結與鏈環，所以選什麼樣的投影圖是有一定標
準
的，不能隨意給出一張重疊處圖意不清，無法辨別有幾個重疊點的投影圖來
描述
一個紐結或鏈環，因為這無助於進一步的判別與分析。
準
確地說，我們要求投影圖要滿足：只有有限多個重疊點；每個重疊點都
是
二重點；在每個二重點處，上下兩線的投影都是互相穿越交叉的。也就是說要避免下面的圖像：
當
我們說到投影圖時，總是指已經用虛實線標示出交叉情況的圖。在左下
圖
這樣一個由自身相交的閉曲線所構成的平面圖形，在每個分岔點處都是四個
岔
的，我們稱之為“四岔地圖”。所以每張投影圖都可以確定一張四岔地圖，
但
是反過來說，從四岔地圖卻無法確定該投影圖，因為每個分岔點有兩種可能
7
交
叉的情況。
因
此，從有n 個分岔點的四岔地圖一共可以得到2n張不同的投影圖，它們
所代
表的紐結或鏈環卻不一定互不相同。下圖是從最左邊那張四岔地圖所得到
的幾
張投影圖。
C.
用實驗的方法來判斷以下各對鏈環是否等價？
(a)
右手三葉結(b) 8字形結
(c) 最簡單的
圈套(d) 懷特海德鏈環
(e)
右手三葉結與左手三葉結(f) 方結與懶散結
右手
三葉結左手三葉結方結懶散結
(g)
反懷特海德鏈環與正懷特海德鏈環
反懷
特海德鏈環正懷特海德鏈環
8
R3 R1
D.
投影圖的三種基本變換
紐
結與鏈環可以用投影圖來確定，然而等價的鏈環可以有不同的投影圖。
因
此，要利用投影圖來研究紐結理論，就必須弄清楚繩圈在空間中的移動變形
是
如何在投影圖上反映出來的。
德
國數學家瑞德邁斯特（Reidemeister）在20年代指出，紐結與鏈環的同痕
本
質上是由投影圖的三種基本初等變換（R1、R2、R3）來刻劃的。
R1
: 消除或添加一個卷
R2
: 消除或添加一個疊置的二邊形
R3
: 三角形變換
這
三種初等變換是在投影圖的局部進行的，在變換的那部份除了所畫出的
線以
外不能有別的線介入。例如
不是一
個合法的R1 變換，它與正確的作法所得到的結果不一樣：
9
R2 R1
R1 R1
R2 R3
R3 R3
瑞
德邁斯特指出，如果空間中的一個鏈環可以經過繩圈的移位變形變成另一個鏈環，那麼第一個鏈環的投影圖一定可以通過一連串的初等變換變成第二
個鏈
環的投影圖。
此
外，我們還允許投影圖作“平面變形”，也就是說當把平面看成一個薄
膜
時，刻畫在平面上的圖可能隨平面的伸縮、拉長，產生形變。從下圖來看便
可以
了解到什麼是平面變形了！
E.
用初等變換鑑別鏈環
要
證實兩個鏈環的等價性，只須用繩子各做一個模型，然後把一個變成另一個。如果要用投影圖來證明它們等價，則應該找出一串由R1，R2，R3 變換
及
平面變形所組成的變換，把一個投影圖變成另一個。原則很簡單，實際卻不
一
定容易。
簡單的
例子：
不
輕鬆的任務：8 字形結與其鏡像等價！
10
如果
我們不拘泥於初等變換，那麼下面的圖將更容易使人相信！圖中用粗
實
線與粗虛線表明把那條線挪到那個位置。線條只挪動了一次，其餘都是平面
變形。
向
勇敢的讀者挑戰：下圖兩個紐結投影圖各有13 交叉點，在1985 年時就
已
經知道它們是等價的。您能利用初等變換及平面變形給出證明嗎？
問題
：請利用初等變換及平面變形證明下面三個投影圖代表同一個紐結。
六、
85 種打領結的方法
日
常在正式的場合裡，男士的穿著通常須要打領帶。但是幾乎沒有人問「為
什
麼我們每天打領帶的方式都是一成不變？有沒有別的方法？」
這個
問題及其解答被英國劍橋大學聲名顯赫的卡文迪斯實驗室（Cavendish
11
Laboratory）
裡的兩位數學物理學家Thomas Fink 與Yong Mao 提出。由於其解
答
使眾人甚感興趣，所以他們的論文被刊登在全世界著名的科學雜誌Nature上。
Fink 和Mao 分析領
結的方法的確是體現數學家如何將實際生活中的問題加
以
組織、抽象而克服之的好例子。
第
一、領帶有兩端，但是在打領結時通常只移動較寬的那端來纏繞而成。
Fink 和Mao
稱此端為操作端。第二、領帶及其結將人的前胸分割為三個區域：
右側
、左側和在領結上方、喉嚨下方，稱之為中央的區域。打領結的動作就是
把
領帶的操作端在這三個區域內變動。第三、每一個動作是把領帶的操作端在
朝
向襯衫和背向襯衫二種情況交互變換，朝向襯衫的下一步恆為背向襯衫。打
領帶
動作的最後一步是非常特別的，Fink 和Mao 稱此活動端穿過結的中間而下
拉
的動作為穿透(用記號T表示)。
領帶
結本質上是一種拓撲結構：實際去構造它們可使它們更易於被理解。
藉
由觀察打領帶結的方法與在三角化格點上持續移動的對應圖，隱含在領帶結
中的拓撲
結構可透過適當地操作其投影像來探討。我們由此導出領帶結的對應
規
則，並根據領帶結的大小、形狀及結的數量加以分類。美觀的結具有對稱性
及
平衡性的特質。
在
這85種領帶結中，有些是常見的結法。我們重現4 種傳統的結法及介紹
9
種新式、優美的結法。對於一些須要耗費較多步數（雖然不切實際）的結法，
我
們只陳列一些漸近的結果。
A.
最常用的領結
大
部份的男士都會兩種領結。最簡單、最常用的領結是四手式（Four-in-hand）
的領
結，它起源於19世紀的英格蘭：車伕用這種結栓住牲畜的脖子，以免使他
的
駟馬車失控，這個領結至今仍甚為流行。溫莎公爵曾創造一個結，現稱為溫莎結，它是一種較大的領結，於1930年代末期因溫莎公爵（愛德華八世的前任）
而
流行。溫莎領結後來它衍生出一個較小的結，稱之為半溫莎領結。第四種領
結
叫做柏蒂（Pratt）領結，它發明於1989年，在此年Pratt結被印成許多大張海
報
而風靡全世界，而這個結是近50 年內首次出現的新領結。
據歷史
所述，領結通常不是偶然發現的。與其等待半個世紀期待另一種領
結
的出現，Fink 和Mao 撰寫論文認真地探究它。
B.
領結是一種活動的結
領帶圍在
頸子上，操作較寬（活動）的一端環繞較窄（被動）的一端，使
12
得
完成後的結，後者仍能自由活動。一個領結出初始時是活動端由朝向左側，
從
上方或下方包住被動端，形成一個三角形的基底。這時將空間分割成右、中
和
左（R、C、L）三個區域，如下圖。
從
右方開始的結與從左方開始相對應的結互為鏡射全等，我們可以省略討
論
這一類的結。一個結是利用操作活動端連續在上述三角基底纏繞，這個步驟
可以
想成是一系列的，從某個區域到另一個區域旋轉半圈的動作，活動端的位
置及方
向可以用R、RU、C、CU、L、LU 等6 種記號來表示，其中R，C，
L是
指活動端朝向的方向，另以符號、U分別表示從前方看去（或說從紙面（襯
衫
）上方望下）活動端是遠離紙面（襯衫）向外移動或朝向紙面（襯衫）向內移動，可以把它們（、U）看成是一支箭的箭頭與箭尾。前述R、RU、C…
等等
的記號，也可以看成是將活動端作任意次數旋轉半圈到對應位置上的動作
記號
（如下圖）。因此，類似記號RL等等所表示的一連串動作是不可能做到
的。同理，R
U的下一步也不可能是R。據此，記錄這一連串動作的過程必在
與
U間交錯變動，並且任兩個連續的動作不可能在相同的區域內產生。
…
L… …C… …R…
…
LU… …CU… …RU…
L
… LU…
L
C C
R
R
L
13
想
完成一個結，最後活動端必須繞到前方位置，也就是說，無論從RLU或
L
RU，接這必須從正中間穿出（即C），最後穿過在上一系列步驟中於前方所
圍
繞的圈（結尾符號記作T，但不算作一個步驟）而完成領結。
現
在我們可以將一個領結用一系列的移動記號(稱為結列)來表述，這些移動
記號
從集合{R，RU，C，CU，L，LU}中選取，它從L或LU開始，而最後以
R
LUCT或LRUCT作結尾。這一系列動作是受約制的，任兩個連續的步驟
不
可以指向相同的區域或方向。例如：四手式的完整結列如下圖所示。
C.
視領結為隨機的移動
之
前所介紹領結的記錄，允許我們把這些結列看成是在三角格子點上的移
動
。我們以r，c 及l三個軸代表移動至R，C及L三個區域，並且以單位向量rˆ，
c
ˆ及 lˆ表示相對應的動作。因為連續的動作其方向必在與U間交錯變動，且
最
後的方向必是。若從U開始必移動偶數步，而從開始必移動奇數步，若省
略
領結移動的文字表述中的方向記號及U也不致於會造成混淆。
…
(RLUC)T …(RRUC)T
L
URLUCT
r
c
l
14
由
於只在三叉式的區域內移動，我們可規定每一步驟都是沿著軸的正的方
向
移動，並且任二個連續的移動不會相同。雖然如此，格點上的任何位置均可
達
到。我們可得到關係式- cˆ= rˆ+ lˆ，2cˆ= cˆ+ lˆ+ cˆ+ rˆ+ cˆ.
D.
結的大小
我
們將結的大小定義為一個結列中移動的步數，並將結依大小分類。在結
移
動的文字標記中，結的大小就等於記號的個數。我們將結的大小（即旋轉半
圈
的次數）記作h。聯繫第一步及最後一步的條件可知，最小的結是LRUCT，
其大
小h = 3。基於美學的考量，領結的大小必須是有個上限的，不然打出的領
結又
短又胖。經實際估算，我們建議h £ 9。
依
結的大小我們定義函數K(h)，它的值等於在限制第一步及最後一步的條
件
下，大小為h 的結的個數。我們規定K(h)是第一步為lˆ，大小為h 的結。令
函
數Frˆ(n)為從lˆ開始、rˆ結束，大小為n 的結的個數；函數Fcˆ(n)為從lˆ開始、
c
ˆ結束，大小為n 的結的個數。
由
於任何一次的移動都可以有二個其他的區域可選擇，因此我們可得
1
ˆ
( ) ˆ( ) ˆ( ) 2 + + = n-
F
r n Fc n Fl n
. (1)
因
為在最後幾個步驟的排列只能是rˆlˆcˆ或lˆrˆcˆ二種，所以我們只須討論
n
= h - 2次移動的情況即可，這些移動由lˆ開始，以rˆ或lˆ結束，而剩下的最後
二
步的移動方式則無自由選擇的餘地。
我
們由考慮Fˆ(n) l 開始，因為lˆ的前一步可能是rˆ或cˆ。因此，
F
l
ˆ(n + 2) = Frˆ(n +1) + Fcˆ(n +1) (2)
同理
可得
2 ( ) ( ) ( )
( 2) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
F n F n F n
F n F n F n F n F n
l c r
l l c l r
= + +
+ = + + +
(3)
結
合(1)及(3)可得
1
ˆ
( 2) ˆ( ) 2 + = + n-
l l
F n F n
(4)
由初
始條件ˆ(1) =1 l F ， ˆ(2) = 0 l F 解遞迴關係式(4)可得
(
2 1 )
ˆ
2 ( 1)
3
( )
= 2 n- + - n-
l
F n
註 (5)
F
r
ˆ(n)的遞迴式與(4)類似，只是初始條件為Frˆ(1) = 0，Frˆ(2) =1。據此可得
15
(
n n )
F
r n
2 ( 1)
3
( ) 1
1
ˆ
= + - - (6)
大
小為h 的結的數量等於由lˆ開始移動h - 2步，而以rˆ或lˆ結束的結的數
量
。此即
(
2 2 )
ˆˆ
2 ( 1)
3
( )
= ( - 2) + ( - 2) = 1 h- - - h-
K h F
r h Fl h
其中，
K(1) = 0 .
所
以，我們所關注的結之全部數量為
0 0 1 1 3 5 11 21 43 85.
(1) (2) (3) (8) (9)
= + + + + + + + + =
K
+ K + K +L L + K + K
E.
結的形狀我們以旋轉半圈的次數來刻劃結的大小，但是這樣仍無法描述結的形狀。
從
實際操作中可以發現，結的形狀與lˆ、rˆ、cˆ等移動有關。由於對稱的考量，
通
常lˆ與rˆ的移動數量相同，所以我們以cˆ的數量g 來刻劃結的形狀。
具
有相同h 與g 的結，我們把它們歸為同類。比值g h愈小的結，其寬度愈
細
小。例如：四手式的領結g h =1 4；比值g h愈大的結，其寬度愈寬厚。例如：
溫莎
結g h = 3 8。
一
般而言，0 < g h <1 2，而g h <1 6太細且不平衡，並不美觀。所以只考
慮
1 6 < g h <1 2的情形。合乎此條件的結有
{(
g ,h) } = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 5), (1, 6), (2, 6), (2, 7),
(3, 7), (2, 8), (3, 8), (2, 9), (3, 9), (4, 9)}
等13 種。
這
13 種合乎此條件的結列表如下：
No comments:
Post a Comment