Thursday, December 20, 2012

位移对时间求积分:将时间和空间等同起来的话,你可以将它看成是时空中的一块二维"东西"的面积

位移对时间求得积分的物理意义是什么

FiShZz发表于 2012-05-28 21:17:10

加速度a对时间t求积分是速度V=at+C（C=Vo）
V在a-t图上表示的是函数a（t）和T1,T2,X轴所围成的面积

速度V对时间T求积分是位移S=1/2 a*t^2 + Vo*t + C(C=So,表初始位置咯)
同理，S也是V-t图上表示的一个面积（此处省略各种围成所需的线段，自行脑补）

那么问题来了
位移S对时间t求积分（？）=1/6 a*t^3 + 1/2Vo*t^2 + So*t + C
即S-t图的函数所围面积

有没有与之对应的物理含义？
若有，求补习
若无，求给出证明

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apple_Yu

2012-05-28 21:19:49

没有什么意义的吧。这个也没什么好证明的啊。

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叶精灵

2012-05-28 21:22:57

不是每个量都有物理意义的。

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rupt

2012-05-28 22:08:28

支持者： FiShZz

如果将时间和空间等同起来的话,你可以将它看成是时空中的一块二维"东西"的面积

其实我不是很清楚你想要问什么.位移推广开去可以是"坐标","矢量","直线(曲线)",答复是按照"直线"给出的,其余两种几何对象的"对时间的积分"在我所了解范围内未曾有过有意义的定义.

"世界叶"的英文是"worldsheet",有这个wiki页面:http://en.wikipedia.org/wiki/Worldsheet
"worldsheet"一词所具有的含义应该与"worldline"(世界线)不同,前者是弦理论框架下的二维对象,在其上会有附加的作用量(Action),而后者在爱因斯坦提出时并无特殊的"东西"附加在上面.个人认为在不同语境下可能会有不同的含义

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FiShZz：所以。这个位移在时间上的积分的物理意义，还是有存在的可能性的是么？@rupt @Fishingsnow - 2012-05-31 21:56 回复
Fishingsnow：@rupt不是很了解费曼路径积分，不过似乎费曼路径积分在数学上还没有严格的理论基础，更多的是来自物理直观。在一些特殊的情况下可以构造出相应的测度把费曼路径积分纳入现有的测度-积分理论中，一般的情况似乎还没有办法一一构造。但是我不了解是否可以证明存在这样的测度使得费曼路径积分在一般情况下也可以纳入测度-积分理论中（在数学中也有很多例子可以证明测度的存在性，但是没有一般的构造方法）。 - 2012-05-31 14:27 回复
rupt：@Fishingsnow不..我指的是feynman发明的那个在无穷维空间上的积分.. - 2012-05-31 13:49 回复
Fishingsnow：@rupt路径积分的基础是假设路径是可求长的Jordan曲线，可求长的定义暗含了测度的存在。 - 2012-05-31 01:37 回复
rupt：@Derr据我所知黎曼流形的一般化是Finsler流形，具体做法是将正定二次型度规变成Finsler度规。其实我更想知道伪黎曼流形的一般化是什么。。@Fishingsnow - 2012-05-30 23:05 回复
rupt：@Fishingsnow从物理的角度可以争辩道这是因为曲面选得不好而不是积分本身出了问题。但是即使如此也有一些物理的问题不能以这种直觉式的方式去断言其处理方法的正当性，比如说路径积分(Path Integral)就似乎没有测度可言?也不容易看出其物理意义. - 2012-05-30 23:04 回复
Fishingsnow：@rupt度量等价的含义是拓扑上的，所以所有和拓扑相关的性质都可以得以保留，比如收敛性、一致性、连续性等等，具体到计算中，各种度量给出的结果一般是不同的。 - 2012-05-30 18:33 回复
Fishingsnow：@rupt对于不可微的情况积分应该还是存在的，如果是因为光滑性不够导致不能拉回到曲面上积分的话，意味着这个积分的值可能算不出来，但是理论上还是存在的。至于是否有限应该和测度本身有关系，不过我猜测在大部分情况下应该不是问题。 - 2012-05-30 18:30 回复
rupt：@Fishingsnow是这样的，R^3上电场E可以看成2-form，然后通过映射的拉回变成曲面上的2-form，再在整个曲面上积分。如果曲面（映射）处处不可微似乎不能把2-form拉回成2-form。我虽然没学过测度但也有一些基本概念，这个映射似乎要求“有界变差”？即使能写成测度的形式也难以保证积分最后是有限的啊。。 - 2012-05-30 18:08 回复
rupt：@Fishingsnow唔，我大概能明白你的意思了：度量的的定义非常严格，限制死了具体某一有限维空间上的一切度量只会在拓扑的意义下等价。这像是在告诉我们，在这些空间里面，存在着那么一类尺子，当用它测量空间里的对象或者空间本身的时候，测得东西的形态是唯一的。不过物理上有更加强的需求，它要求这些尺子量得的结果在空间以别的方式来观察的时候不能产生变化！比方说不能前一次量得个正方形歪一下后却量成长方形。“别的方式”对特定的物理对象是特定的，具体而言是通过空间到空间的映射所决定的（平移，旋转等等）。然后我们就会发现加上这些要求后发挥着类似功能的尺子却不再符合度量的定义。做物理的会讨论伪黎曼流形上的闵可夫斯基度规（一种特殊的二次型），将它当成是欧式空间中欧氏度量那样用。这给人的印象就像是度规是可以拆卸下来互相替代，但是很显然不是所有的光滑流形都可以成为伪黎曼流形，所以在这方面有必要非常小心。 - 2012-05-30 18:08 回复
Fishingsnow：@Derr度量的概念是从距离来的，很多时候直观上我们需要知道一个空间中两个点“离得有多远”。当然引入了度量的概念之后我们发现它的作用不仅仅是知道距离这么简单，有了度量的概念之后，很多在R^n中成立的结论在一般空间中也成立了（或者一些概念可以更直观地定义了）。度量本身只是一个函数，所以只要满足最基本的几条（正定性、对称性和三角不等式）就可以了。不过非常好的一点是，可以证明任何在有线维线性空间上的范数都是相互等价的，所以不管怎么定义，在拓扑上没有差别。 - 2012-05-30 08:26 回复
Derr：@Fishingsnow十分感谢你和@rupt的讨论，其实关于度量我也挺疑惑的，感觉是一种非常随意的东西。是否对于任何空间，我们总能找到一个度量满足度量的定义呢？感觉实在不行只要硬性规定空间里面每个点之间的度量就好了嘛，如果真是这样那么度量的意义是什么呢？ - 2012-05-30 07:16 回复
Fishingsnow：@rupt高斯公式是积分，并不要求曲面本身可导。对于黎曼积分来说，简单起见，在一维的情况下，一个定义在[a, b]上的函数只要有界、几乎处处连续就可以积分了。更一般的，对于勒贝格积分来说，一些处处不连续的函数也是可以积分的。在更一般的测度理论中，只要能够定义一个测度就可以在这个测度上积分。 - 2012-05-29 17:02 回复
Fishingsnow：@rupt既然你有兴趣讨论我们就在深入一点说度量。度量本身是一个从集合（或者叫空间）到正实数的函数（或者叫映射），但是它需要满足一定的条件。在同一个集合上可以引入不同的度量，但是在R^n上所谓的常用度量就是用绝对值/平方和的根定义的度量，这个度量导出了R^n上的距离拓扑，也就是我们在R^n中常用的开集，可以证明R^n中所用常用拓扑下的开集都是可数个开矩形的并。事实上R^n上的度量不是唯一的，除了这个度量之外还有最大模对应的度量。虽然两个度量在形式上不同，但是可以证明在一个有线维的空间上，任何度量都是等价的，也就是说他们导出的度量拓扑是等价的。二次型并不是总能导出一个度量的。 - 2012-05-29 16:53 回复
rupt：@Fishingsnow一直以来我都认为“度量”是人为引入的东西——1.只要其符合那几条公理就行了，对其选取并不能唯一确定，可以选二次型的也可以选1 3 4次的。2.显然这几条公理并不包括diag(1,-1)这些非正定的二次型在内.对于你下一个问题，我可以给出一个我长久未能解决的问题供佐证：R^3中有一个静止的点电荷q，对于一个包含其在内的"好"的曲面Σ我们有高斯公式∯_Σ EdS = q。但问题来了，在数学里面，这样"好"的曲面只占所有能包含电荷在内曲面极少的一部分，例如我们可以构造一种曲面，它将点电荷包在里面，处处连续但处处不可微。从物理意义来看，高斯公式仍然成立。但从数学的角度上，我未能找到这个积分的"好"的定义。 - 2012-05-29 16:27 回复
rupt：@Fishingsnow我尊重来自同行与隔行的评价，现已将其删除。或许我们可以继续深入讨论相关问题。 - 2012-05-29 16:08 回复
Fishingsnow：@rupt我觉得我已经说的很清楚了，R^n上的常用拓扑和度量是等价的，拓扑的基础是开集，R^n的拓扑基就是半径为常数的开球。在引入拓扑之后可以不使用度量，但并不代表度量不存在，换句话说，承认了R^n的常用拓扑就是承认了欧式距离，这个没什么好争论的。我在前面的讨论中已经把我的观点说的很清楚了，你那句话不仅不准确而且非常具有误导性。如果你觉得你这句话没问题大可以放在这里，有兴趣点开看讨论的自然会分辨。我再补充一点就是对你不了解的数学名词请不要随便使用，也许你对物理知识的了解比我多，但是以我目前对物理学的了解来看，我不敢说“在物理里面，一块面积，一个矢量空间，几种好用的导数已经是最简单的东西了”，甚至不敢保证这些东西在某些物理学研究的空间中存在（这个存在不仅是数学意义的，也有物理意义的）。我想这个问题没什么好争论的了，我再总结一下我的观点就是：你的话不准确而且有误导性。如果你认为那句话很准确那就请继续自己欣赏吧，我想我没必要花时间争论这些显然的问题了。 - 2012-05-29 16:03 回复
rupt：@Fishingsnow“而R^n中的开集就是和度量意义下的单位球等价的”万一我就偏不谈及度量呢？我不是数学系的也许我不应该在此多谈及。R^n作为线性空间，是否可以不装备度量呢？我不知道，也许可以。以下为个人理解：我用欧氏拓扑诱导出局部同胚后用遗忘函子将"度量结构"遗忘掉，但是同胚依然成立，可以不？我见到微分几何很多内容是完全可以避开度量去讨论的，因此我万不得已才会用它。动力系统难道不是包含在经典力学里面吗？微分方程的引入来自物理的实际问题，经典力学包括质点动力学，流体力学，弹性力学等等。我后面的那个例子就是经典力学的。在物理里面spacetime就是专指"度规局部可对角化成diag(1,-1,-1,-1)的微分流形"的我认为我们对所谈及的东西有明显的理解差异，在物理里面，一块面积，一个矢量空间，几种好用的导数已经是最简单的东西了，作为数学系的你当然可以插嘴说，不对，上面的结构非常的复杂，可以构造出写成一本书的奇形怪状的结构和违反物理事实的反例，这些我承认无力辩驳。可是LZ的题目问的是“物理意义”，我们是否能回归主题呢？ - 2012-05-29 15:38 回复
Fishingsnow：@rupt流形本身就蕴含了局部度量，局部同胚于R^n的就意味着开集是对应的，而R^n中的开集就是和度量意义下的单位球等价的，所以凡是流形必然有局部的度量，好的流形可能有整体的度量。另外提一点，动力系统本身和经典力学没有关系，动力系统是由（常、偏、时滞、伪）微分方程引入的流或半流，本身就可以在流形上或者有限维、无限维的巴纳赫空间定义，动力系统的底空间是很多样的。另外所谓巴纳赫空间和希尔伯特空间不对应于“真实的时空”我也无法苟同，在量子力学中巴纳赫空间和希尔伯特空间都是很常用的。你在评论中补充的这些固然可以让你的观点更明确，但是不能解决“如果没有特殊的附加结构,对于这些纯数学的几何对象,可以用'子流形'一词概括”这句话本身的问题，这句话的问题是：1.流形本身就已经具有相当复杂的结构了；2.纯数学的几何对象不都是流形；3.只有定义了流形，子流形的概念才有意义。所以这句话本身不严谨，而且对于回答LZ的问题没有帮助。 - 2012-05-29 14:23 回复
rupt：@Fishingsnow "这些"是有语境的.."流形"对物理学而言已经是很普遍很广泛的结构了。无穷维的巴拿赫空间和希尔伯特空间并不对应"真实的物理时空(spacetime)"，无可否认我们会在量子理论中常常见到它们，但是它们绝不会是"时空"。确实有很多不是C^inf，比如说系统的约束条件构成一个流形，随便折一下就不是了，但似乎很多都集中在动力系统(经典力学)里面，往后的理论都不太会跟这些崎岖的东西打交道，比如说场论里面什么东西取个李括号，微着微着就没有了，你说怎么办。。PS:S^3和T^2=S^1×S^1上可以没有度量结构,前者将它看成是R^4里面ax(a>0)x的等价类，后者可以看成是R^2同样做法得出的东西的乘积空间 - 2012-05-29 14:09 回复
Fishingsnow：@rupt好吧，你说的是“对于这些纯数学的几何对象”，我要纠正的是不是纯数学的几何对象都是流形。而且你前面说的“如果没有特殊的附加结构”也太随意了，流形本身就已经是非常特殊的结构了，无穷维的巴纳赫空间和希尔伯特空间都不能局部同胚于R^n，很多在流形或者微分流形上成立的结果不一定在巴纳赫空间中也成立。即使非Hausdroff空间在物理中用的不多也不代表所有物理中研究的对象都是T2的，况且即使物理学使用了很多微分流形的概念，但在很多具体的问题中这些流形也不是C^\infty的。 - 2012-05-29 13:44 回复
rupt：@Fishingsnow T2是我手快打错,我不应该给你这样纠错的机会.你可以尝试去找篇non-Hausdorff space对应真实的物理时空的文章,会有,但是不多而且结果不好.而且我的表述中未曾出现过"任何抽象的几何概念”一词,你是从哪里看出来的? - 2012-05-29 13:32 回复
Fishingsnow：@rupt恰恰T2可分是流形的关键，如果一个所谓的“流形”上不能用开集区分点的话，根本无法局部引入R^n的度量。另外T2可分不是T^2，T2可分指的是的Hausdorff空间（余有限空间就是T1的但不是T2的），T^2指的是环面，两者是完全不同的概念。当谈到S^3或者T^2这样具体的空间时，在常用度量的前提下的确是流形，但是这不代表“任何抽象的几何概念”都是流形。 - 2012-05-29 13:17 回复
rupt：@Fishingsnow物理学家用流形的时候并不关心其是否为T^2可分,只需要求是局部同胚于R^n(通常是R^4)就可以了,物理大部分情况都会使得在之上的坐标覆盖间的传递函数有C^inf的光滑性.举个例,我们谈论S^3,T^2这些东西的时候对"它们是流形"这件事是自明的. - 2012-05-29 13:11 回复
Fishingsnow：@rupt流形指的是局部同胚于R^n的可分空间，并且要求这些“局部”相交的部分坐标系是相容的，除非“这些抽象的几何概念”是可分的T2空间，并且能够建立局部到R^n的同胚变换，否则不能称为流形，至少在数学意义上不叫流形。 - 2012-05-29 12:55 回复
rupt：@Fishingsnow背景时空不就是流形吗? - 2012-05-29 12:47 回复
FiShZz：莪是觉得，描述上很像“弦”运动在时间上扫过的痕迹（没有考虑到作用量），所以用了双引号加世界叶来比喻。就是位移在时间上扫过的痕迹。那么，它会不会也和worldsheet一样存在着某些附加的结构（action）呢。。。PS：莪得马马去补习流形和子流形了。PPS：还有worldline和wroldsheet的区别。PPPS：马马：指马上，立即 - 2012-05-29 11:09 回复
Fishingsnow：没有流形哪儿来的子流形……为什么不叫流形而叫子流形？ - 2012-05-29 02:37 回复
rupt：@Fishingsnow请看语境,worldline,worldsheet都不是脱离背景时空存在的 - 2012-05-29 02:13 回复
Fishingsnow：子流形？离开流形谈子流形都是耍流氓？ - 2012-05-29 02:01 回复
FiShZz：莪想莪问的应该就是“直线”吧。。。如果是这样，那答案应该就是“世界叶”了。可是如果单纯的讨论“位移对时间求积分”的话。物理意义或许就不是这个。而且没有完全的证明，讨论总觉得漏了些什么关键。PS：是不是可以把它看成是答案的一部分解，或者是同一量的不同描述中的一种。 - 2012-05-28 22:54 回复
rupt：@FiShZz已答复 - 2012-05-28 22:27 回复
FiShZz：“世界叶”？。。。是这个词么？ - 2012-05-28 22:17 回复