第35卷
2007正
第3期
3月
华 中科
J．Huazhong Univ．
技 大
of Sci．
学学报(自然科学版)
& Tech． (Nature Science Edition)
Vo1．35 No．3
M ar． 2007
光子静止质量与雷达回波延迟
范淑华 杨 然 贝晓敏
(华中科技大学物理系，湖北武汉430074))
摘要：讨论了弯曲时空下，当光子静止质量不为零时引力的时间延迟效应，即光子静止质量对在地球上发射
再从行星上反射回来的掠过太阳的雷达回波延迟的影响．计算了当光子静止质量不为零时对原有电磁波运
动方程的影响，并将实验所得数据与理论计算数据之间的误差归结为光子静止质量引起，由火星回波延迟的
实验数据给出光子静止质量上限为2．2×10 。g．同时讨论了实验中误差的来源，并提出了进一步提高实验
精度和获得光子静止质量更高上限的途径．
关键词：光子静止质量；雷达回波延迟；弯曲时空
中图分类号：0412．1 文献标识码：A 文章编号：1671—4512(2007)03—0022—03
Photon rest mass and gravitational radar echo delay
Fan Shuhua Yang Ran Bei Xiaornin
(Department of Physics，H uazhong University of Science and Technology，W uhan 430074，China)
Abstract：Discussed was the influence Of photon rest mass on the delay Of the radar echo which was
sent from the earth and was reflected from the plant in the gravitational field of the sun，when the
photon rest mass did not equal to zero in the curved time—space．The influence of the photon with non—
zero rest mass was calculated on the motion equations of electromagnetic wave．W ith M ars as the re—
flection point，based on the current deviations between the measured radar echo delay and the calculat—
ed one a upper limit on the photon mass can be derived as 2．2× 10一”g．Finally，by discussing the er—
ror sources in the experiments，several approach of improvement were mentioned．
Key words：photon rest mass；radar echo delay；curved time—space
问题的提出
长期以来，人们试图利用各种电磁学现象来
检验麦克斯韦电磁理论的正确性，其中之一就是
检验光子的静止质量是否为零，直接或间接的实
验检验仍在不断进行中．这些检验大多数是在平
直时空下，以重电磁理论(Proca方程)为理论基
础的，而重电磁理论最直接的结论之一就是重光
子在真空中的色散效应[1]．许多科学家都曾讨论
利用电磁波的真空色散效应来确定光子静止质量
上限，但所有的这些讨论都是基于平直时空，而本
文所要描述的是弯曲时空中电磁波的色散效应．
爱因斯坦创立广义相对论时，曾提出了三种
检验途径：谱线的引力红移，光线引力偏折和水星
近日点的进动．由于引力红移仅是由强等效原理
所引起的，而水星轨道的近日点进动描述了刚体
的运动，因此在这三种检验方法中，如果光子静止
质量不为零，那么只会对太阳引起的光线偏折有
所影响，因此可以通过测量光线偏折确定光子静
止质量上限．广义相对论预言，星光在太阳引力的
作用下会向太阳偏折1．75 ．如果光子静止质量
不为零，那么这个角度就会存在些许偏差．文献
[2，3]把实验测量角度和光子静止质量为零时理
收稿日期：2006—02—21．
作者简介：范淑华(1954一)，女，教授；武汉，华中科技大学物理系(430074)
E-mail：fansh@mail．hust．edu．ca
基金项目：国家自然科学基金资助项目(10121503)．
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第3期 范淑华等：光子静止质量与雷达回波延迟 · 23 ·
论计算所得的角度之差等于非零光子静止质量带
来的修正项，分别给出光子静止质量上限为 <
7×10 g和 <1×10 。g．文献[4]提出了广
义相对论的一种新的检验方法：掠过太阳的雷达
回波的时间延迟．在平直时空中，雷达波信号传播
到内行星再反射回地球所需的时间
t nat(r1，r2)一(r}一r )“。+ ( 一瑶)“。，
式中：r0是光线最接近太阳点到太阳的距离；r
和r。分别是地球和反射点到太阳的距离．当电磁
波在弯曲时空下传播时，其轨迹就不再是一条直
线，如图1所示，由于太阳引力的作用，雷达信号
2发射点
1反射点
图1 雷达回波在弯曲时空中的传播
的传播时间比牛顿理论算出的时间长，由点1到
点2的传播时间变为
￡ d(r1，r2)一(r}一r )“。+
(r；——r ) 。+At⋯d(r1，r2)一
t (rl， )+ At (rl， )， (1)
式中 ⋯(r ，r。)即为弯曲时空下的时间延迟．
测量△￡ (r ，r。)即提供了检验广义相对论另一
种方法．这时，若考虑重电磁波在弯曲时空中的传
播，把理论计算值与实验测量值之间的偏差归结
为光子静止质量的影响，类似于重电磁理论下的
光线偏折，则同样可以确定光子静止质量的上限．
图1中实弧线表示的是雷达回波在太阳引力
作用下的运行轨迹，而虚线表示的是雷达回波在
太阳引力和重电磁理论双重作用下的运行轨迹．
2 重电磁理论下的雷达回波延迟公
式推导
文献[4，5]预言微波信号穿过太阳引力场从
内行星反射回地球，弯曲时空下的时间延迟约为
200 S．如果光子静止质量不为零，那么这个时间
就会有所改变，具体推导如下：
基于爱因斯坦理论，一个自由下落质点或重
光子在静态各向同性引力场中的运动方程为
r。(d~／dt)一JB(r)，
[A(r)／B。(r)](dr／dt)。+ J。／r。一
1／B(r)一一E， (2)
drz— EB。(r)dt。，
式中：A(r)兰(1—2MG／r)～ ；B(r)兰1—2MG／r；
M 是引力质量；G是引力常数；J和E 分别是具
有角动量量纲和能量量纲的积分常数，
E 一1一V。； (3)
J。一 (1／B(r。)一E)， (4)
式中r—r0是质点或重光子最接近太阳的距离．
式(3)用国际单位制表示为E一1一 ／c ， 为电
磁波传播的群速度，假如光子存在非零静止质量，
则 一c(1一 。／∞。)“。， 即体现了电磁波的色
散效应，
．
E一 。／(4~r。尸)． (5)
参数 一^／( )即是重光子的康普顿波长，如
果光子静止质量m =0，就有E一0，这正是爱因
斯坦场方程的一般表达形式．
将式(4)和(5)代入式(2)，重光子的运动方程
变为
[A(r)／B。(r)](dr／dt)。+(1／B。(r)一
E) ／r。一1／B(r)一一E． (6)
式(6)描述的是弯曲时空中电磁波的色散效应．
由式(6)得电磁波从r0到r所需的时间
，ro 一 (r)B-1∽[ 一( )‘
(等)。+一 ((等)。一 )]～)“。ar．
当然，图1中，电磁波从点1到点2所需的总时间
是t12(rl，r2)一t(r1，r0)+t(r2，r0)．因2MG／ r《
1，化简上式，保留一次项，故得
t(r,ro)一-fr0(1-箬)-1／z[ + +
+E(丢+ )]dr．
而电磁波从r到r。所需时间又可表示为
￡(r，r0)： tfl t(r，r0)+
△￡ ， d(r，r0)+ At (r，r0)， (7)
式中：t nat(r，r0)= (r2一 )“。；At⋯刊(r，r0)一
2MGIn[(r+ (r。一r ) 。)／r0]+ MG[(r— r0)／
(r+r0)] 。；At (r，r0)一E( 一r )“。／z+
EMGIn[(r+(r。一r ) 。)／ro]．tfla (r，r0)是电磁波
沿直线以单位速度传播时应当预期的值，
△￡ (r，r0)是广义相对论性的时间延迟，At (r，
r0)是重光子在雷达回波延迟中的影响．
当电磁波从r。到r。，再从r。到r。，即从地球
经引力源到反射点再传回来，参照式(1)和式(7)，
其双程时间延迟
2At(r1，r2)一2At⋯ed(r1，r2)+ 2Atm(r1，r2)，
(8)
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·
24 · 华 中科技大学学报(自然科学版) 第35卷
式中
2At (r1，r2)一(E／c)(~／r 一r：+
)+ E 2M ~
．
F1nf + ： 1+
C L ＼ ro ／
lnf＼ 一十 1 I． (9)
r0 ／_
如果以太阳作为引力质量，那么ro大约等于
太阳的半径(to兰R。)，要比地球和反射点离太阳
的距离r，和r 小得多，此时M 就是太阳质量(M
兰M0)，式(9)变为2At (r1，r2)一E(rl+r2){1+
ln(4r1 r2／R )(2M。G)／[c (r1+r2)])／c．
如果把雷达回波时间延迟测量中的不确定度
完全归结于光子有限静止质量，又考虑ln(4r，r ／
R )(2MoG)／[c (r1+r2)]≈1×10-1 《1，联立
式(5)和式(8)，将式(8)中光子静止质量带来的修
正项等于时间延迟的理论计算值和实验测量值之
差，即可得光子静止质量上限 (2At(r ，r ))===
(r +r ) ／(47r 尸)．但是，当引力质量过大(如
黑洞等)，项E2MG／(c (r1+r2))]In(4rl r2／R )就
不仅不能忽略，且将在其中起重要作用．
3 数据计算结果
自文献[4]提出广义相对论的雷达回波延迟
效应，有许多实验检验其正确性，在这些实验结果
中，以火星作为反射点所得的时间延迟误差精度
最高 J(达1×10 )，所用频率为2．3 GHz，理论
计算的时间延迟2At d(r ，r )兰250 s，由此给
出 ≤6．8×10 m_。，光子静止质量 ≤2．4×
10 。g
． 这一结果比由光线偏折计算所得的光子
静止质量上限 ≤7×10 g和 ≤1×10 。
g|2 提高了两三个数量级．但比由地球磁场和木
星磁场的观测数据所得的光子静止质量_】]，及间
接测量光子静止质量平方和宇宙矢势乘积_7 获得
的光子静止质量上限还差很多．然而，前面提到的
所有实验方法都没有得到光子静止质量的确切
值，都是零结果，所以，这里提出的这种独立方法
仍是可行的．
4 影响结果的主要因素及改进方法
在利用雷达回波延迟的实验误差来确定光子
静止质量上限的方法中，影响结果精度的原因主
要有三点．一是雷达回波并不是从内行星上一个
“特定的反射点”反射，而是来自一块相当大的面
积，因而它的到达时间弥散达数百 s．但这一缺
陷是可以克服的(用人造卫星或是在行星表面安
置一个应答器『6]，通过安置在行星表面的应答器
就可以知道反射点的确切位置)．二是太阳日冕的
影响 ，更准确地说，行星间的等离子体会引
起回波时延，且与雷达波频率平方成反比例增长，
尤其是在S一波段(2～4 GHz)或更低频波段，行星
间介质的影响将更不容忽略．三是当以人造卫星
作为反射源时，又会引入新的误差，一些非引力的
力会影响卫星．因为卫星太小，容易受到引力以外
的力，主要是太阳辐射压，漏气和姿态控制系统的
冲击不平衡的显著影响．
但根据雷达回波的测量精度来确定光子静止
质量上限的方法还是值得探索的．首先，时间测量
如果达到一个更高精度，△￡ 的值变小，那么就可
以得到一个更高上限，可以应用甚长基线干涉度
量法(VLBI)提高时间测量精度．其次，如果选择
波长更长的电磁波，那么精度同样可以提高，但同
时波长太长，电磁波会受到太阳日冕的影响．所以
可以以射电星信号代替从地球发射的电磁波，用
木星作为引力源，电磁波信号受木星引力作用，太
阳日冕的影响就没有了，并且射电星信号波长很
长，因此有可能得到一个更高的光子静止质量上
限：
参 考 文 献
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