引进动量（梯度）算符，即（设波函数 已归一化）

微观粒子的波粒二象性与量子力学的基本原理

1         微观粒子的波粒二象性的含义：与经典粒子及经典波的区别（曾谨言，量子力学[M]，卷II，（第三版）科学出版社，2007年7月，P2）

（1）       实验观测中所展现出来的“粒子性”只不过是微观粒子的“原子性”或“颗粒性”，即粒子是具有确切的内禀属性（电荷、质量等）的一个客体，但并不意味着粒子在空间中的运动具有确切的轨道。“粒子在空间中的运动具有确切的轨道”的概念是经典力学中粒子运动的特性，与双缝干涉实验中显示出来的粒子的波动性是不相容的。而实验观测到的“波动性”只不过中波动现象最本质的要素，即波的“相干叠加性”，但并不意味着这种波动一定是某种实在的物理量的波动（例如密度波、压强波等）

（2）       人们经过认真分析后发现，要把经典粒子的全部属性和经典波动的全部属性统一二同一客体是决不可能的。能把粒子性和波动性统一起来的，更确切地说，能把实物粒子的“原子性”和波动的“相干叠加性”统一起来的，惟一自洽的方案是玻尔提出的“概率波”概念，即波函数的统计解释。

①         概率分布的最实质性的内容是“相对概率分布”。所以量子力学中的波函数总是具有常数因子的不定性，这一特点是经典波决不可能有的。

②         对于多粒子体系，例如，2粒子体系，波函数 描述是是6维位形空间中的波动，除了给予概率解释外，别无它途，因为“6维空间中的实在物理量的波动”是难以理解的

（3）       在人们现今对于物质粒子存在的形式的概念框架下，波函数的统计诠释是能把波动——粒子两象性统一起来的惟一符合实验的方案。

（4）       波函数的统计诠释中的概率分布，与数学概率论中的概率分布概今有着本质不同。日常生活中用概率处理问题，是因所处理的问题太复杂，决定事物进程的因素太多，无法根据已掌握的事物的现状去准确预测结果，不得不用概率统计的方法进行预测。在量子力学中，波函数必须采用统计诠释是由波——粒二象性所导致的。波函数所预言的概率分布，只是对粒子测量结果的一种预期，并非粒子已经具有那样的分布（既成事实）等待人们去观察它。这涉及到纯态（纯系综）和混合态（混合系综）的概念。

（5）       基于波函数的统计诠释，有人认为，量子力学对事物的描述总是概率性的，这是一种片面的理解。量子力学中，对于用波函数描述的微观粒子，并非对所有物理量的测量结果的预言都是概率性的，这要看测量的是哪一个力学量。其中对鞭些力学量的观测结果的预言只能是概率性的，而对另一些力学量的观测的预言则可能是决定论性的，即只能出现惟一的结果。这里就涉及力学量的本征态的概念和本征态的相干叠加的概念。这也可以认为是玻尔特别强调的“互补性原理”的一个重要方面。

 

2         量子力学的基本原理之一：波函数的几率解释，描写粒子的波是几率波

3         量子力学的基本原理之二——态迭加原理

4         不确定原理

考虑到波粒二象性，微观粒子的力学量必定有与经典粒子本质上不同的特征。首先，按德布罗意关系 ，粒子的动量与波长成比例，波长是表征波动随空间地点变化快慢的量，所以一般说来，“在空间某一点的波长”的提法，就没有严格的意义；同样，“微观粒子局域于空间某一点的动量”的提法也无严格的意义。这表面在直接用波函数来计算动量的平均值时，不得不引进动量（梯度）算符，即（设波函数 已归一化）

，

并可以看出，动量的平均值是也波函数的梯度（而不是与波函数在某点的局域值）相联系。这个梯度越大，就表现为波长越短，因而动量平均值就越大。这在物理图像上是很清楚的。