玻色-爱因斯坦凝聚的相关研究
The related research on Bose-Einstein condensation
化学与分子工程学院
98级应用化学系
刘睿
摘要
本文对玻色-爱因斯坦凝聚中的唯里关系及分子凝聚进行了研究。在综述里本文先阐明玻色-爱因斯坦凝聚的基本概念，介绍相关的实验进展。在第二章里我们对二维空间涡流状态束缚的零温玻色-爱因斯坦凝聚的Gross Pitaevskii方程用唯里能量关系进行详细的分析并对其数值解进行讨论。第三章对分子态的玻色-爱因斯坦凝聚的形成及性质开展了探讨。
Abstract
The purpose of this dissertation is to deeply
understand the virial-relationship in Bose-Einstein condensation and the
molecular Bose-Einstein condensate. A comprehensive review of the basic
concepts of Bose-Einstein condensation, including its theory, experiments and
technical skills is presented. We test the result of the Gross Pitaevskii
equation of the trapped zero temperature Bose Einstein condensed atomic gases
with Virial theorem in the two dimensional space of the vortex state. The
numerical solution of virial relationship of the system is analyzed in detail.
We also discuss the formation and properties of MBEC (molecular Bose-Einstein
condensation).
一、
BEC理论和实验概述
（一）、玻色-爱因斯坦凝聚的基本理论
形成BEC的条件是
其中
是热波长（chermal wavelength）, 它和粒子的德布罗意波长同数量级，
V是粒子所占体积，N是粒子数。形成BEC的条件即是粒子的德布罗意波长超过粒子间的间距.理想玻色气体处于热平衡状态时服从玻色-爱因斯坦统计。如果以
代表热平衡状态时处于
能态的某一量子态的平均粒子数，则
可表示为[1]
其中，
为粒子的化学势，
为玻耳兹曼常量。系统的总粒子数为
用N0 表示处于最低能级（
）的粒子数，用Ni表示处于较高能级中的粒子数，则总粒子数为
N=N0+Ni （4）
令dN 为能量在
的粒子数，对只考虑移动的玻色子来说：
则
当温度T逐渐降低，
的能级上还没有粒子时，N应该保持为常数，即（6）式保持为常数。当T变小时，
必须变小，（注意
是负的），设
时，
即达到了最小值。即到了
时，温度若再降低，（6）式就无法满足右边N是常数了，
是适用的最低温度，则
其中
从式（8）可计算出凝聚温度
临界密度
Ni=N(T/Tc)3/2
（11）
N0=N[1-(T/Tc)3/2]
（12）
当体系的温度低于临界温度Tc时，N0与Ni在数量上可以比拟。如果T=0，则N0=Ni,这时全部粒子都转移到最低能级，如图一所示。这个现象就是玻色-爱因斯坦凝聚。
图1 粒子数布局与温度的关系
要实现玻色爱因斯坦凝聚，在粒子密度一定时，就必须降低体系的温度，使得粒子的德布罗意波长足够长。玻色-爱因斯坦凝聚是动量空间的凝聚，这里的玻色子是指具有总自旋为
整数倍的粒子，或者是包含的电子、中子和质子的总数目是偶数的原子。这种复合粒子的分布遵从玻色-爱因斯坦统计分布. 粒子本身的复合性质体现在内部激发, 当内部激发能远大于
, 描述这样温度下的热动力学时, 复合粒子内部自由度就变的不重要了[2].
实验中的玻色凝聚是在稀薄气体中实现的, 这里稀薄气体的条件
保证了
(
为相变温度), 比符合粒子内部激发能小的多。这里
是原子间
波的散射长度, 用来表征原子间的距离,
是原子密度。
由于碱金属原子价电子轨道角动量和原子核磁矩耦合,
当它被磁场捕陷时就会分裂产生几个超精细基态. 在磁阱中, 原子通常只被捕获在其中一个超精细能级上, 而对于全光阱, 就不存在这样的问题。 能否形成玻色-爱因斯坦凝聚, 还与粒子的
波散射性质有关。正散射长度的粒子可以形成稳定的玻色-爱因斯坦凝聚, 而负散射长度的粒子由于容易发生三体碰撞而使凝聚体崩解, 形成玻色-爱因斯坦凝聚的条件较为苛刻[3]。
对于
的理想气体, 理论计算的
值为3.14 K.
在2.17 K以下成为超流体,
发生相变。这个温度与
很接近, 因而超流态的
成为进行玻色-爱因斯坦凝聚实验的首选体系。碱金属原子的
值在
的量级, 激光冷却与囚禁原子技术的发展,
使得实现低温条件成为可能。 原子量大的碱金属原子除了容易进行激光冷却与囚禁外, 还具有其它一些适于形成玻色-爱因斯坦凝聚的性质 [4]:通过有选择的共振激发, 可使原子云的密度和能量成为空间和时间的函数, 便于获取样品的有关信息; 包括氢原子在内, 碱金属原子之间的相互作用力很弱, 可通过选择自旋态、密度、同位素类别及外加势场等手段来改变。因有这些有利因素,
玻色-爱因斯坦凝聚的实验首先在碱金属原子体系中取得了成功。
当
<
时，理想玻色气体的热容量为[1]
图2 理想玻色气体热容曲线
理论研究表明 [5], 处于外场中的玻色体系, 其粒子的基态波函数的特定形式使得粒子数密度形成一定的空间分布,
因而波函数的形式也会在坐标空间中宏观地表现出来。 形成凝聚时大部分粒子处于基态, 基态粒子分布最集中的地方就是凝聚显现的区域。 实验得到的玻色-爱因斯坦凝聚的照片如图3所示。
图3中上面一组是87Rb原子玻色-爱因斯坦凝聚的照片，(a)为87Rb原子形成玻色-爱因斯坦凝聚前的吸收成像图。形成凝聚前，原子布局于各个能态，速度分布呈各向同性。图中原子云的对称形状，反映了热平衡状态原子的各向同性的速度分布。(b)为87Rb原子刚刚形成玻色-爱因斯坦凝聚的临界状态。形成凝聚时，原子处于最低量子态，在不对称势阱中的速度分布呈各向异性。图中椭圆形的原子云反映了各向异性的速度分布。(c)为87Rb原子几乎完全形成玻色-爱因斯坦凝聚时的图像，速度分布的各向异性更加明显。下一组是23Na原子的玻色-爱因斯坦凝聚的照片，各阶段的图像与87Rb原子的很类似。
图3
玻色-爱因斯坦凝聚的实验照片
玻色-爱因斯坦凝聚是一个热力学的动态平衡过程。 凝聚体和非凝聚体之间通过不断进行着能量交换, 凝聚的原子会成为非凝聚原子, 非凝聚原子也会变为凝聚原子。同时凝聚原子和背景气体的碰撞会大大降低凝聚体的寿命,
对于碱金属原子, 要得到一分钟以上的凝聚体, 要求阱的真空度达到
毫巴 [6]
（二）激光冷却和磁光阱技术
1、多普勒冷却
考虑一种对激光冷却原子最为重要的情况, 即原子共振吸收与其运动方向相对的光子,
然后自发辐射的过程(参见图4)。
原子静止时的吸收频率为
, 则由于多普勒效应, 当它以速度
相对光波运动时, 被共振吸收的光波的频率应该是
吸收后原子以自发辐射的方式发出光子回到基态, 然后再吸收光子, 再自发辐射,
每次吸收一个光子, 原子都得到与其运动方向相反的动量,
而每次自发辐射, 发射光子的方向却是随机的(自发辐射是各向同性的)。 因此多次重复下来, 吸收时得到的动量随吸收次数增加, 而自发辐射损失的动量平均为零,原子因之被减速。 平均每次吸收-自发辐射循环降低的速度为
其中
为原子质量。 这就是1975年汉斯和肖洛提出激光冷却原子的主要思想[7],
也是所谓“多普勒冷却(Dopplor Cooling)”的基本机制,它是激光冷却技术中最重要的原理。
更复杂的情况或更细致的分析可采用经典的或量子力学的方法来进行。 结论是:主要存在两类辐射力影响原子的运动,
一类被称之为散射力, 或自发辐射力; 另一类被称之为偶极梯度力, 或感应辐射力。 计算这两类辐射力的一种典型方法是:
首先求出原子在光场中的感应电偶极矩的期待值
, 然后再由经典电动力学求出辐射力,
其中E表示光场的电场强度，平均值是对广场周期求平均。由此得到：F=F1+F2 ,
由式(17)可见, 要使F1成为阻碍原子运动的力, 光波传播方向
应与原子运动方向
方向相反, 对于给定的光波,F1是
的洛伦兹线型函数(见图5)。
图5 F1的函数线形
在满足共振条件
时F1取最大值,此时光波频率
相对静止原子的跃迁频率
“红移”,移动量满足式(14)表示的多普勒频移公式, 这就是图5的情况。
图6 驻波场中的原子
另一个重要的情况是运动的原子处于两个频率相同而传播方向相反的光波场中(见图6), 原子受两光波的作用力仍可用式(16)分别计算,总的作用力为两者之和。 图7表示
时的作用力, 图中的虚线分别表示两光波的作用力,
而实线表示总的作用力FOM
。 显然, 不论原子的速度是负(对着光波1)或正(对着光波2),
所受的力都是与其速度方向相反的阻滞力,并且在满足共振条件
时, 阻滞力FOM最大;在
较小的区域, 阻滞力FOM具有线性特征。 在光强较弱的情况,很易得到
这里的阻滞系数为
图7
驻波场中的原子受的散射力
原子在这样的光场中就象进入了粘稠的胶状物一样被减速,这种情况称形成了一维的"光学粘胶" (Optical Molasses)" [8]。在激光冷却技术中,
当原子运动速度低到一定程度后, 常用"光学粘胶"来进一步冷却。
2、多普勒冷却的极限和不同冷却区的划分
上述冷却机制称之为多普勒冷却(Doppler cooling)。原则上可以使用这种冷却方式使原子的热速度从室温下的几百m/s降至很低。但是却不能无限低下去，存在着一个极限vD。
当原子的速度被降低之后，上述共振条件不再能满足，减速的效果就会弱下去，甚至停止。必须设计一些特殊的技术来保证共振条件的持续满足，以使速度持续减下去。当速度很低时，共振条件意味着光波的频率ω非常靠近原子的跃迁频率ω0。由于原子的跃迁谱线宽度最窄是原子能级寿命决定的自然宽度，因之多普勒冷却方式不能最终移走对应自然半宽度的热运动能量，即
上述冷却机制称之为多普勒冷却(Doppler cooling)。原则上可以使用这种冷却方式使原子的热速度从室温下的几百m/s降至很低。但是却不能无限低下去，存在着一个极限vD。
当原子的速度被降低之后，上述共振条件不再能满足，减速的效果就会弱下去，甚至停止。必须设计一些特殊的技术来保证共振条件的持续满足，以使速度持续减下去。当速度很低时，共振条件意味着光波的频率ω非常靠近原子的跃迁频率ω0。由于原子的跃迁谱线宽度最窄是原子能级寿命决定的自然宽度，因之多普勒冷却方式不能最终移走对应自然半宽度的热运动能量，即
由此得到多普勒冷却的极限速度
和多普勒冷却的极限温度
其中kB是玻耳兹曼常量。
将原子冷却至比TD更低的温度靠的是另外的冷却机制，其中最重要的是偏振梯度冷却(polarization
gradient cooling)。
下一个有意义的冷却极限是反冲极限(recoil limit)。这是考虑到原子和光子相互作用时不可避免的单光子反冲。单光子对原子的反冲能
下一个有意义的冷却极限是反冲极限(recoil limit)。这是考虑到原子和光子相互作用时不可避免的单光子反冲。单光子对原子的反冲能
所以
由此得反冲极限速度
和反冲极限温度
我们可用图8来表示由两个极限点划分开的不同的冷却区域。从原子在室温下的热运动速度v0→vD为(Ⅰ)区，vD→vR为(Ⅱ)区，vR→0为(Ⅲ)区。不同的区冷却的机制不同：在(Ⅰ)区是多普勒冷却，冷却到(Ⅱ)区和(Ⅲ)区要靠新的冷却机制。在(Ⅰ)、(Ⅱ)区原子的德布罗意波长λd小于光波的波长λ，可使用半经典理论描述，即原子的内部运动遵循量子力学，而外部的运动可用经典力学表示；但在(Ⅲ)区，λd>λ，则原子的内部和外部的运动都必须用量子力学描述。
图8
不同冷却区的划分
而低于多普勒极限温度的冷却，基本都是在形成“光学粘胶”中依靠其它机制实现的。在这些机制中，必须考虑到原子的多能级结构，不再能简单地看成二能级系统。
最典型的一种机制是偏振梯度冷却(polarization gradient cooling)。在这种机制中，包括激光偏振梯度、光泵和光感应能级位移几种效应，综合起来使原子可冷至多普勒极限之下。
最典型的一种机制是偏振梯度冷却(polarization gradient cooling)。在这种机制中，包括激光偏振梯度、光泵和光感应能级位移几种效应，综合起来使原子可冷至多普勒极限之下。
其次讨论原子能级的光感应位移(light-induced shift)。以基态Jg=1/2而激发态Je=3/2的跃迁为例。在近共振的激光场作用下，基态磁量子数mg 不同的能级将产生不同的光感应位移，当激光频率相对原子跃迁频率“红移”(Δ＜0＝时，光感应能级的位移ΔEg是负的。位移量的大小还取决于激光场的偏振态。 由于线偏振光只能产生Δm=0的跃迁，σ+和σ-偏振的光只能分别产生Δm=1和Δm=-1的跃迁。因之在偏振梯度存在的不同位置处，基态的两个磁能级将有不同的光感应位。
光泵效应(optical pumping)。由于σ+和σ-偏振光的选择激发，原子会在某个特定能级聚集，这就是光泵效应。
图9
偏振梯度冷却
最后，我们来看这些效应的综合怎样能够使原子减速。图9表示在偏振梯度光场中由于这些效应，不同位置不同基态磁能级上原子的聚集情况，圆点表示原子聚集。这些原子当然具有一定的速度，会在空间运动，设z=λ/8处，mg=-1/2态的原子向正z方向运动，它的能级会逐渐升高，箭头表示了这一过程。当它运动到z=3λ/8处时，这里σ+光的光泵作用使它迅速跃迁到mg=1/2态。由于光泵过程中吸收光的能量低于发射的能量，原子的动能减少了。但只要有足够动能，原子仍会向正z方向运动，开始第二次“攀登”，当它在z=5λ/8处重新回到mg=-1/2态时，它的动能更低了，如此反复的循环，最终可将原子的速度降至极低。这种冷却机制于有反复“攀登”的过程，在西方文献中常借用希腊神话故事称之为“Sisyphus”冷却。
图10
用原子束塞曼冷却技术进行玻色爱因斯坦凝聚的装置图
3、原子束塞曼冷却技术
利用塞曼冷却(Zeeman Cooling)技术[9]进行玻色-爱因斯坦凝聚的实验装置如(图8)所示。 左边是产生原子束的装置, 沿原子束的行进方向, 施加了一个由强到弱的渐变磁场。 右边是由一个特殊磁场和三对光束组成的势阱。 用于冷却的激光与原子束相对, 渐变磁场使塞曼分裂的能级间距随原子位置而逐渐变化,可以有效地补偿多普勒频移,
从而使激光对原子持续减速。 速度接近于零的原子被导入右边的原子阱进行囚禁。 利用蒸发冷却技术进一步降低囚禁原子的温度,
最后形成凝聚。
4、
原子阱
（1）
磁阱
四极磁阱是第一个用来成功捕陷中性原子的原子阱)，用“塞曼冷却器”预冷了的Na原子进入四极磁阱所在区域，被一束对射的近共振短脉冲激光进一步减速后，立即接通磁场线圈建立磁阱，原子即能被捕陷。被捕陷原子数可达104，捕陷时间0.8s，原子的温度约17mK。后来发展的四极磁阱技术，甚至可将原子捕陷长达20min，捕陷原子数高达1012。
（2） 光阱
（2） 光阱
一个特定的非均匀的光场要能成为原子的势阱，首先要利用近共振作用使原子产生感应电偶极矩，这样才能通过这个感应电偶极矩与光场的作用使原子“感受”到势阱的存在。 当近共振激光光场频率是“红移”时，力将指向光场中光强处；反之，“蓝移”时力将指向光场中光弱处。
图11 磁光阱的原理图，左图为一维情况，右图为三维情况
（3） 磁光阱(Magnetic-Optical Trap简称MOT)
磁光阱的原理 [10，11]如图11所示, 装有样品的真空气室的三个坐标方向,
分别是三对相向的激光束, 三对激光束交汇于气室中心。 激光束对是偏振方向相反的
和
激光。 最常使用的形式是四极磁阱(quadruple trap)[12],
它实际是两个分开一定距离h的反向电流线圈(图11)。 两线圈中通以方向相反的电流,
产生大小与坐标位置有关的非均匀磁场坐标中心处, 磁场为零。 设原子处于基态时自旋s=0, 处于激发态时自旋s=1。 在上述磁场中, 激发态的能级分裂成三个: m=0,
。 能级分裂的程度与坐标位置有关。激光频率
调谐到略低于原子的跃迁频率。 根据选择定则,
光只对
的跃迁起作用,
光只对
的跃迁起作用。z<0时, 原子更多吸收
光, 受到指向中心的力; z>0时, 原子更多吸收
光, 也受到指向中心的力。 其它两个坐标方向的情况与此类似。
这样, 原子最终被冷却、囚禁到气室的中心。
5、蒸发冷却
蒸发冷却(Evaporation Cooling) [13，14]最初由MIT在氢的捕陷和冷却中实现, 利用远谐振激光除去阱中原子团的高温拖尾,
被蒸发的原子带走较高的平均动能, 这样意味着阱内的温度也会随之降低。 阱中其余原子通过自由碰撞达到热平衡,
高温拖尾被激光继续除去。为了持续使原子冷却,需施加回泵光(Repumping
Laser)以避免光抽运效应。在很多实验中也使用了暗磁光阱技术(Dark MOT) [15]它是让回泵光在阱中心形成空洞, 相当于一个暗区, 这样可防止阱中心已被囚禁的原子因散射激光而逸出。
5．吸收成像技术
实际观察玻色爱因斯坦凝聚时,
可采用吸收成像(Absortion Image)技术[16]。实验中形成的凝聚一般很小(尺度为微米量级), 难于直接观察。 为了使观察结果较为明显,可将外场组成的势阱撤掉, 原子在没有外场约束的情况下会向周围扩散。一定的时间间隔后, 用共振的探测激光照射待观察区的原子,
原子吸收激光后再发出荧光, 此时用CCD对荧光成像, 像的空间分布则反映了原子扩散前的速度分布。 从速度分布的状况可以了解玻色爱因斯坦凝聚形成过程中各阶段的不同特征。
7、原子波激射器
原子波激射器(atom laser)是类比光激射器(激光器，laser)取名的。激光器发射的是相干的光波，而原子波激射器发射的是相干的物质波。因而原子波激射器也可以说是一个相干原子束发生器(coherent atomic beam generator)，相干性是其基本特征。正是在这一点上原子波激射器较之通常的热原子束有根本的不同，即它发射的原子束是高度相干的，束中所有的原子处于同一量子态(指每个原子质心运动的量子态)。这一区别非常类似普通热光源和激光器的区别。同时，原子波激射器发射的原子具有较长的德布罗意波长，表现出鲜明的波动性。量子性、相干性和波动性是原子波激射器最主要的性质。
原子波激射器的另一基本特征是高的“光谱高度”(brightness)，束中原子的能谱处于单模，从能量分布的角度来看具有极好的“单色性”。
原子波激射器(atom laser)是类比光激射器(激光器，laser)取名的。激光器发射的是相干的光波，而原子波激射器发射的是相干的物质波。因而原子波激射器也可以说是一个相干原子束发生器(coherent atomic beam generator)，相干性是其基本特征。正是在这一点上原子波激射器较之通常的热原子束有根本的不同，即它发射的原子束是高度相干的，束中所有的原子处于同一量子态(指每个原子质心运动的量子态)。这一区别非常类似普通热光源和激光器的区别。同时，原子波激射器发射的原子具有较长的德布罗意波长，表现出鲜明的波动性。量子性、相干性和波动性是原子波激射器最主要的性质。
原子波激射器的另一基本特征是高的“光谱高度”(brightness)，束中原子的能谱处于单模，从能量分布的角度来看具有极好的“单色性”。
二、
旋状态下的BEC凝聚体性质及唯里关系研究
我们用下面的非线性薛顶锷GPE方程来描述处于均匀磁场零温稳定状态下的凝聚体中的中性玻色子：
式中
是矢径
处时的凝聚态波函数，
为中性玻色子原子的质量，
表征均匀磁阱势能，
是等效协振频率，
是束缚系统的化学势。这里，
是原子间相互作用的偶合长度，
，
为散射长度，N是BEC系统中原子的个数。
涡旋状态下，波函数的形式可写为
，其中
是一个与时间无关的径向波函数，我们在下面将主要讨论它。
是转动量子数，
是围绕Z轴形成的空间角。速率表达式为
，而
，沿z的角动量表达为
。在方程（27）中代入试探解波函数，为方便计算，我们只考虑球形对称的情况，这样我们得到二维空间中涡旋状态下的空间波函数方程如下：
定义
，则上式可以化简成一维非线性方程（28）表示如下
化学势
以
为单位。在这个方程中，
表明了在玻色子粒子间相互作用的特征，
表示排斥作用势，
表示吸引作用势，分别对应于s-波散射长度的正或负。
我们对于涡旋状态解的两个参数非常感兴趣，一个是在涡旋系统中的原子的个数N，另外一个是均方半径，它的大小代表了凝聚体本身的大小。这两个量的比值可以给出凝聚体密度的量级大小。利用波函数它们在一维参数条件下，表示为
波函数归一化以后为
方程中有决定意义的参数是化学势。涡旋系统中的原子总数与方程（32）中归一状态下归一化n相关，而r由平方根半径归一化
及n决定。
为从数值上求解方程（29），我们先研究当
为极小时解的情况。由于此时波函数
趋于0，这样
可以忽略不计，同时包含
比较
和
可忽略不计，这样对于趋于0的
，方程可近似写为
这是一个典型的欧拉方程，通解可以表示为
为了保证解取有限值，所以令
，这里我们研究
，也就是涡旋态低级激发态。于是我们得到当
近似为0时的解。
接下来，我们考虑当
时的方程（29）的无限远处的渐进解，由波函数的要求，波函数
在无穷远应趋于零。这时有关的项
和
可被忽略，对于足够大的，方程（29）近似的写为
图12
时的涡旋排斥态 图13
时的涡旋吸引态
对于球形对称状态下谐振子势阱中的量子粒子，上述方程允许解为
。然而对于涡旋状态，由于由非线性项存在，
是连续可变的。我们将着重研究它的变化给BEC体系带来的影响。当
足够大时，方程（38）成立，则物理允许的解的形式
如下式给出
我们讨论如何在
Kutta四阶
方法和边界条件方程（36）和（37）我们可以求出这个数值解。
计算程序中采用计算步长为
，利用打靶法试探求解。如果取
时的函数
试探初值
，方程（38）不满足边界的条件，我们就选取新的
值，选择方法可以用牛顿正切方法。例如求解
，
，
的时候，我们用这样的方法找到的
为2.902688，于是我们就可以得到对应的波函数。
首先，我们得出基态
用（表I,II,III,IV 和 V,VI,VII）时的解。图12是排斥态，图13是吸引态。
在原子间为排斥作用的情况下，即
，原子的归一化粒子数
，随着化学势
的增加而增加，可以发现，在同样有效化学势下的涡旋状态比基态允许更多的原子存在，涡旋激发状态越高，包含的原子数目可以越大。这一点可以在有效化学势
上进行比较得到（我们会在后面的部分对此进行讨论）。如果我们考虑求涡旋的平方根半径，比如当吸引势为
，这时归一化粒子数
是3.2219(见表6)，我们再选择典型的束缚频率值
，那么均方根半径将会是22，000
，当
时，原子数量
为32，000。而且当原子间为吸引的情况下，会可能存在归一化粒子数
的最大值，即粒子数的最大值。我们可计算出涡旋的最大粒子数量。举例而言，在吸引作用第一激发态情况下，原子数的最大值是
，我们也可以计算出
时原子数量的最大值142，000。
另一方面，从图14中我们可以发现在排斥作用情况下不存在这样的一个最大值
，这是因为吸引作用往往导致原子更容易彼此发生三体碰撞而使BEC解体。
在图15（在BEC系统中）我们表示出与化学势相关的归一化粒子数的关系，并外推到归一化粒子数
为0的值。我们发现在
时，化学势
是，比基态大
，当
时，化学势是
，这意味着如果我们想把BEC系统从基态激发到第一和第二激发态，所应该提供的激发能量分别至少是
和
，这就是为什么我们要
把
定义为有效的化学势，这是量子规范在多体问题中的体现。值得注意的是，在涡旋系统中的总能量被分成了四项，用下式表示
第一项
代表分子动能；
是谐振势阱能量，
涡旋系统中的旋转能；
与原子间的相互作用势。
我们可以用上式来研究单个粒子的能量
由于在GPE方程的稳定解附近，能量值也是稳定的，因此可以采用标度变换而研究其能量分量与总能量的关系。将
代入方程（40）。
能量项变为
，稳定性要求能量与
无关，所以一阶的展开式里，
的展开系数应为0，于是可得维里关系为
这里
，
和
。对于二维情形，分别研究xy轴的维里关系，我们会发现相同的结论。把各分量相加并注意到相互作用能量只计算一次，最后我们得到
维里关系可以用来检验GPE方程的数值解，这样我们分别来计算各能量项。
在表IX~XI中分别给出了原子间排斥作用和吸引作用情形。我们在图16~23中给出了能量图（
，
，
和
在k=0,1,2,3,c=1,-1情形下）
图16
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
图17
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
图18
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
图19
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
图20
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
图21
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
图22
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
图23
时的动能，势能，相互作用能和转动势能关系图。
我们在排斥和吸引两种情况下都研究了二维空间中相互作用BEC体系的涡旋态解，并以基态为参照，比较了低能激发状态下的波函数，均方根半径和系统的化学势，我们还获得了涡流状态的原子数量的最大值，这个值要比基态下的大得多。我们推知了低密度下的解并获得了量子机制下的涡旋激发条件。我们还研究了在二维的涡旋状态BEC中维里关系，证明了维里关系是一个除每个原子的化学势之外的另一个有效的检验工具。
三、
分子态BEC
相较于冷原子，冷分子的产生则是困难重重。原子是激光冷却高度依赖于所谓二能级的重复跃迁（cycling
transition）。如此，才能形成光子的多次吸收，因而制冷。由于原子的内部结构远较于分子单纯，极易满足这一要求。反观分子，即使是最简单的双原子分子，除了电子的能级外还有振动与转动能级。上述重复跃迁的条件极不容易以一或两个激光光束加以满足。
如图24所示。将两束激光入射到由TOP磁阱（magnetic TOP trap）所囚禁的铷原子玻色凝聚体中，两束激光的频率分别为
,相应的波失量分别为
。在凝聚体中，当两个处于非束缚态的铷原子依其间的作用位能V(R)而靠近时，吸引激光场1的一个光子，同时放出一个光子给激光场2。两个铷原子经过此一受激拉曼跃迁而形成一个束缚态的分子，其束缚能为
。由于此分子处于单一的转-振动能级（ro-vibration
level）,当
时，即满足所谓共振条件（resonance condetion）。除此之外，这一过程必须同时满足动量守恒。由光子作用于分子的反冲动量（recoil momentum）为
。在此实验中，该转移值几乎为零，原因是两束激光入射方向相同，并且频差极小所致。由于位于凝聚体内的原子几乎是静止的，因此，其中形成的分子也可以说几乎是静止的，其温度依据推算约为100nK。因为当两束激光的频差正好满足共振条件时，由拉曼跃迁形成的分子数达到最大值。因而借助扫描两束激光的频率差便可以得到拉曼跃迁的频谱。
图24 自由态原子与束缚态分子间的双光子拉曼跃迁
但当凝聚体的空间密度不同时，拉曼跃迁谱线的中心频率不仅向一个方向偏移外，其线宽亦随密度增加而增加。造成此现象的主要原因是由于分之与凝聚体的相互作用所引起。当凝聚体的原子数足够多，以致它的动能远小于其平均场能（mean-field energy）时，凝聚体便进入Thomas-Fermi区。在此情况下，凝聚体的空间分布为抛物线，其平均场能与大小和位置的关系随此曲线变化。同时凝聚体的位能也恰为一抛物线，即是TOP阱的势能。因此，凝聚体原子在TOP阱内的总能量（势能加平均场能）与位置无关。而对于分子，虽然它的势能呈抛物线形状（也就是原子的两倍），其平均场能（虽然与位置的关系也是一个反抛物线）的大小却未知。因此，分子在TOP阱内的总能量与位置有关。同时，铷分子的转动-振动能态的寿命短于TOP阱的振动周期。拉曼跃迁谱线位移直接反映出分子的空间分布以及分子与凝聚体原子的作用。而拉曼谱线的加宽，部分原因是由于分子与凝聚体原子之间的非弹性碰撞而来。此非弹性碰撞一旦发生，将改变原子或分子的内部能级，并将其内能转为动能，使其逃离TOP阱的束缚。拉曼谱线的加宽，显示铷分子的转动-振动能级的寿命的缩短。由此可见，凝聚体的密度越高，拉曼谱线的线宽越宽。
受激的拉曼跃迁过程具有相干性（coherent），因此用这一方式将原子凝聚体激发成分子态凝聚体，原则上是可行的。可预见的限制主要来自分子能级的弛豫（relaxation）。相关的研究更表明，因非弹性碰撞所导致的分子能级的弛豫会因分子的束缚能的增加而大幅度降低。类似Feshbach共振用磁场调制方式相干产生分子态凝聚体的想法也被提出。然而，以此方式合成分子的同时，也将伴随极大的分子振动能级的弛豫，因此造成严重的原子三体结合，使凝聚体崩溃。
文章附表
表1：GPE方程（3）在排斥相互作用基态
时的数值解。
|
|
1.20
|
1.60
|
2.00
|
2.40
|
2.80
|
3.20
|
3.60
|
4.00
|
|
|
0.4352
|
1.5275
|
2.9302
|
4.6514
|
6.6947
|
9.0637
|
11.749
|
14.757
|
|
|
1.0502
|
1.1498
|
1.2467
|
1.3399
|
1.4291
|
1.5151
|
1.5962
|
1.6740
|
表2：GPE方程（3）在排斥相互作用
时的数值解。
|
|
2.20
|
2.40
|
2.60
|
2.80
|
3.00
|
3.20
|
3.40
|
3.60
|
|
|
0.8339
|
1.7372
|
2.7119
|
3.7600
|
4.8828
|
6.0821
|
7.3588
|
8.7136
|
|
|
1.4496
|
1.4851
|
1.5204
|
1.5557
|
1.5908
|
1.6258
|
1.6606
|
1.6950
|
|
|
0.8029
|
1.6130
|
2.4320
|
3.2614
|
4.1024
|
4.9561
|
5.8231
|
6.7040
|
表3：GPE方程（3）在排斥相互作用
时的数值解。
|
|
3.20
|
3.40
|
3.60
|
3.80
|
4.00
|
4.20
|
4.40
|
4.60
|
|
|
1.1024
|
2.2764
|
3.5277
|
4.8545
|
6.2595
|
7.7441
|
9.3092
|
10.955
|
|
|
1.7610
|
1.7896
|
1.8192
|
1.8484
|
1.8775
|
1.9067
|
1.9358
|
1.9648
|
|
|
2.1576
|
4.3640
|
6.6256
|
8.9404
|
11.311
|
13.738
|
16.222
|
18.763
|
表4：GPE方程（3）在排斥相互作用
时的数值解。
|
|
4.20
|
4.40
|
4.60
|
4.80
|
5.00
|
5.20
|
5.40
|
5.60
|
|
|
1.3181
|
2.7138
|
3.9852
|
5.7458
|
7.3853
|
9.1088
|
10.717
|
12.811
|
|
|
2.0251
|
2.0503
|
2.0513
|
2.1011
|
2.1267
|
2.1522
|
2.1778
|
2.2034
|
|
|
3.8950
|
7.9024
|
11.303
|
16.266
|
20.626
|
25.105
|
29.705
|
34.423
|
表5：GPE方程（3）在吸引相互作用基态
时的数值解。
|
|
0.80
|
0.40
|
0.00
|
-0.40
|
-0.80
|
-1.20
|
-1.60
|
-2.00
|
|
|
0.3663
|
0.9148
|
1.2655
|
1.4798
|
1.6088
|
1.6876
|
1.7372
|
1.7695
|
|
|
0.9503
|
0.9013
|
0.7262
|
0.6897
|
0.6251
|
0.5714
|
0.5270
|
0.4899
|
表6：GPE方程（3）在吸引相互作用
时的数值解。
|
|
1.80
|
1.60
|
1.40
|
1.00
|
0.60
|
0.20
|
0.00
|
-1.00
|
|
|
0.7669
|
1.4696
|
2.1109
|
3.2219
|
4.1269
|
4.8540
|
5.1597
|
6.2405
|
|
|
1.3789
|
1.3438
|
1.3090
|
1.2404
|
1.1740
|
1.1103
|
1.0797
|
0.9413
|
|
|
0.7978
|
1.5926
|
2.3869
|
3.9840
|
5.6091
|
7.2809
|
8.1392
|
12.699
|
表7：GPE方程（3）在吸引相互作用
时的数值解。
|
|
2.80
|
2.40
|
1.60
|
1.20
|
0.40
|
0.00
|
-0.40
|
-1.20
|
|
|
1.0318
|
2.8942
|
5.8965
|
7.0868
|
8.9690
|
9.7052
|
10.331
|
11.313
|
|
|
1.7033
|
1.6463
|
1.5358
|
1.4828
|
1.38198
|
1.3343
|
1.2887
|
1.2037
|
|
|
2.1102
|
6.2019
|
13.986
|
17.749
|
25.194
|
28.934
|
32.718
|
40.477
|
表8：GPE方程（3）在吸引相互作用
时的数值解。
|
|
3.80
|
3.20
|
2.40
|
1.60
|
0.80
|
0.00
|
-0.80
|
-1.60
|
|
|
1.2427
|
4.5456
|
8.0713
|
10.783
|
12.869
|
14.482
|
15.739
|
16.723
|
|
|
1.9751
|
1.9017
|
1.8076
|
1.7185
|
1.6345
|
1.558
|
1.4821
|
1.4134
|
|
|
3.7865
|
14.545
|
27.725
|
39.987
|
51.754
|
63.355
|
75.022
|
86.904
|
表9：GPE方程（3）在排斥相互作用
时的能量分配。
|
|
2.20
|
2.40
|
2.60
|
2.80
|
3.00
|
3.20
|
3.40
|
3.60
|
3.80
|
|
|
0.78
|
1.54
|
2.27
|
2.98
|
3.67
|
4.35
|
5.01
|
5.66
|
6.30
|
|
|
0.80
|
1.61
|
2.43
|
3.26
|
4.10
|
4.96
|
5.82
|
6.70
|
7.60
|
|
|
1.75
|
3.83
|
6.27
|
9.10
|
12.4
|
16.1
|
20.3
|
25.0
|
30.3
|
|
|
0.32
|
1.35
|
3.13
|
5.71
|
9.16
|
13.5
|
18.9
|
25.3
|
32.9
|
表10：GPE方程（3）在排斥相互作用
时的能量分配。
|
|
3.20
|
3.40
|
3.50
|
3.60
|
3.80
|
4.00
|
4.20
|
4.40
|
4.60
|
|
|
1.04
|
2.04
|
2.52
|
3.00
|
3.92
|
4.81
|
5.67
|
6.51
|
7.33
|
|
|
2.16
|
4.36
|
5.49
|
6.63
|
8.94
|
11.3
|
13.7
|
16.2
|
18.7
|
|
|
3.42
|
7.30
|
9.42
|
11.7
|
16.6
|
22.1
|
28.1
|
34.9
|
42.3
|
|
|
0.436
|
1.78
|
2.82
|
4.10
|
7.45
|
11.9
|
17.5
|
24.3
|
32.4
|
表11：GPE方程（3）在排斥相互作用
时的能量分配。
|
|
1.20
|
1.40
|
1.60
|
1.80
|
2.00
|
2.20
|
2.40
|
2.60
|
2.80
|
|
|
0.395
|
0.784
|
1.17
|
1.55
|
1.94
|
2.33
|
2.73
|
3.13
|
3.54
|
|
|
0.480
|
1.14
|
2.02
|
3.15
|
4.55
|
6.28
|
8.35
|
10.8
|
13.7
|
|
|
0.169
|
0.716
|
1.70
|
3.18
|
5.22
|
7.89
|
11.2
|
15.3
|
20.3
|
表12：GPE方程（3）在吸引相互作用
时的能量分配。
|
|
1.80
|
1.60
|
1.40
|
1.10
|
1.00
|
0.60
|
0.00
|
-1.00
|
-2.00
|
|
|
0.816
|
1.67
|
2.55
|
3.96
|
4.44
|
6.50
|
9.91
|
16.4
|
23.6
|
|
|
0.798
|
1.59
|
2.39
|
3.58
|
3.98
|
5.61
|
8.14
|
12.7
|
17.7
|
|
|
1.46
|
2.65
|
3.62
|
4.69
|
4.96
|
5.69
|
6.02
|
2.53
|
4.69
|
|
|
0.311
|
1.21
|
2.65
|
5.70
|
6.94
|
12.6
|
24.1
|
47.1
|
73.3
|
表13：GPE方程（3）在吸引相互作用
时的能量分配。
|
|
2.80
|
2.00
|
1.60
|
1.20
|
0.80
|
0.40
|
0.00
|
-0.40
|
-0.80
|
|
|
1.09
|
6.03
|
8.87
|
11.0
|
15.4
|
19.0
|
22.9
|
27.0
|
31.3
|
|
|
2.11
|
10.2
|
14.0
|
17.8
|
21.5
|
25.2
|
28.9
|
32.7
|
36.6
|
|
|
2.99
|
11.4
|
13.9
|
15.6
|
16.6
|
17.1
|
17.3
|
17.1
|
16.8
|
|
|
0.42
|
9.55
|
17.9
|
28.3
|
40.5
|
54.2
|
69.1
|
85.2
|
102
|
表14：GPE方程（3）在吸引相互作用
时的能量分配。
|
|
0.80
|
0.40
|
-0.40
|
-0.80
|
-1.20
|
-1.60
|
-2.00
|
-3.00
|
-4.00
|
|
|
0.406
|
1.27
|
3.30
|
4.46
|
5.70
|
7.01
|
8.35
|
11.8
|
15.4
|
|
|
0.331
|
0.667
|
0.704
|
0.629
|
0.552
|
0.482
|
0.425
|
00320
|
0.254
|
|
|
0.151
|
1.21
|
5.18
|
7.66
|
10.3
|
13.1
|
15.9
|
23.0
|
30.3
|
致谢
感谢秦女士及李先生的支持和政基金委员会帮助，使我有幸参加玻色-爱因斯坦凝聚的研究工作。在玻色-爱因斯坦理论组的一年多的见习中，我受到了张建玮老师对我的悉心指导和关怀，使我在这段时间的实践中收益匪浅。同时感谢李丹与翟晨阳同学在研究工作中给我的协助。
参考文献
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作者简介： 刘睿，男，1979年10月出生，原籍四川。1998年保送入北京大学学习。大学期间曾任班长，技术物理系学习部部长，并连续两年获学习优秀奖及光彩、岗松奖学金。
感悟与寄语： 政学者的一年多的实践里，不仅让我拓宽了科研视野，还让我学会了与人相处和做人的道理。科研锻炼了我的意志：接受失败的承受力、成功后的不骄不躁与耐心，让我真正体会到融入科学的乐趣。
指导教师简介： 张建玮博士，北京大学技术物理系副教授，从事理论物理研究，相关的研究领域有中高能核物理，玻色-爱因斯坦凝聚和经济物理等。
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