，只要看出积分微元，所求的量就是该微元所论区域上的积

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关于积分微元法的注记

吕效国 陈康康

(南通大学理学院江苏南通226007)

摘要：具有以下两种特征的量都可以使用微元法来解决：特征1，所求的量取决于某些变量在一个区域上的函数；

蔓

． 待 ：。西赉

在区域上具有可加性，而且其在区域上的部分量可用变量微分的线性齐次式来近似表示，只要看出积分微元，所求 量就墨孽

微元所论区域上的积分。因此，通过微元法可用二重积分计算曲顶枉体体积和顶曲面的面积；通过微元法可用曲面积分来求柱面侧

面积；通过微元法可以统观二重积分和曲面积分。

关键词：微元法 曲顶柱体二重积分 曲面积分

中图分类号：0175 文献标识码：A

微元法是解决积分应用问题的有力工具，是应用科学工作

人员和工程技术人员喜欢使用的一种方法。凡是具有以下两种特

征的量都可以使用微元法来解决：特征1，所求的量取决于某些

变量在一个区域上的函数；特征2，所求的量在区域上具有可加

性，而且其在区域上的部分量可用变量微分的线性齐次式来近似

表示，只要看出积分微元，所求的量就是该微元所论区域上的积

分。一般教本上，都只是在单变量定积分中明确讨论微元法，而

在对应用科学工作人员和工程技术人员的工作中更有用的其他比

较复杂的积分中讨论不多，总是美中不足。其实，微元法在处理

各类积分的应用问题中是一脉相通的，让学生熟练掌握这种方

法，对提高其能力是很有益的。

1．通过微元法用二重积分计算曲顶柱体体积和顶曲面的面积

若所求体积由区域D上的曲顶函数Z=f(x，y)唯一确定，取

D的微元do-，则微元体积可视为do-为底，Z=f(x，y)为高的微元

柱体体积，即：d f(x ，y)d ，按微元法就得所求体积为：

=

ff，’( ，y)dcr

从另一角度来看，如果取微元体积是以dx为高，S(X)为

底的体积，就是dp=S(x)dx；又由单元定积分的微元法有：

s(x)= 八 ，y)dy，从而，v= ( ，y)d f ’厂( )

就很自然地得到。

为求顶曲面面积，先找出相应地曲面面积微元，取底区域D的

面积微元do-，展布在do-上的顶曲面的相应面微元dA，二者关系

显然是：d=dA-cosr，其中r是曲面Z在点p(X，Y，z)处的法线矢

量 与z的夹角，由于 {一塞，一 'l】，所以：co ，

从而，找到曲面面积微元为：dA Jh(塞 +(嘉 如，所

以，顶曲面的面积为：A= 。+( )2+(考 出 。

这样通过微元法寻找曲顶面积计算公式很简单明了，学生

易于接受。

其它关于二重、三重积分的应用问题可以完全类似于上述

方法来处理。

2．通过微元法用曲面积分来求柱面侧面积

设柱面的准线是xy平面上的曲线L，母线平行于Z轴，它被

空间曲面Z=f(x，y)所截的截痕是空间曲线P。用微元法可以很简

捷地找出P与L之间地柱面面积的计算公式。取L的弧微元，则

相应的柱面面积微元dA=f(X，Y)dL，从而所求柱面面积是：

A IdA=』／(置y)dL。

例1：求圆柱面X!+y!=ax被球面x +y +z =a!所截在球内

的那部分的面积。

此处L是x + =ax或用r ()so(o s0 s )表示，

P是z 、 ： -a~cos20：口sin0，( ．y)∈L．【11= ： dO

则：d=4 =4 dL：4 d：sin =4a ．

注意：如果用二重积分来计算这个柱面面积是有较大麻烦

的。

完全类似地可以把这种思路用以处理第二类曲线积分的应用

问题。

例2：曲线运动的力场作功问题，力函数 ={z(圳，)，y( y))，

位移矢量 = ={出， ，则：功微元就可取为dW： ． ：Zdx+ ，

从而沿曲线L所作的功为：w=IdW=I z( ，y)dx十l，( ，y)dy，这就是

第二类曲线积分，其他更复杂的问题可类同处理。

3．通过微元法统观二重积分和曲面积分

设平面区域D的面密度为 =p(x，y)，面积微元为do-，质量微

元为：dM： ：p(x,y)axdy，则D的总质量就是 j ¨1cM

如果所求平面区域拓广为空间曲面Σ，其面密度为p=p(x，Y，

z)eΣ，把平面面积微元换成空间曲面的面积微元dA，就得此微

元对应的质量微元：dM= =p(x，Y，z) ，从而，此曲面块的总

质量就是：M JJ JJ ( ·y,z) ，这就是第一类曲面积分，把

厂— —— — 一

向xy平面投影得区域D，由上述：dA=／1+(— ) +( ) 出 ，

’ ~JA J

则：M JJ ( ，y,z)da J (丘y,z( ，y)】√l+ +zy axay。

Σ ，)

这就是曲面积分的方法。

综上所述，为使学生贯通各种积分间的联系，掌握解决问

题的工具，应当在教学中提高微元法的地位。

参考文献

[1】吕效国，初中生数学自学能力的探索，天津：数学教育

学报，1995，(2)

[2】吕效国，数学教学语言的优化，中国教育教学杂志，2006，

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[3】吕效国，综合程序法在数学分析教学中的运用，中国教育学

报，2006，(4)

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[5】王炳顺，对一元微积分学微元法的探讨．平顶山师专学报，

1999，(04)

[6】杨钟玄．对微元法有关问题的探讨．天水师范学院学报，

1999，(04)

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