来自: 以轩之名(love the way you lie，，)2012-09-30 15:38:39
系统可积
可积一般涉及到微分方程的求解。而可解虽然包括可积，但未必需要有微分方程。 可积系统是指对应于一个自由度为N的动力学系统，存在有N个守恒量，这N个守恒量的对易关系给出N个微分方程，这样N个自由度都可以严格被限制在解上。因此，系统称为可积。实际上，这个问题可以扩展到无穷自由度动力学系统，相应的可积性称为Liouville可积。比如Hitchin系统就是黎曼面上的二维无穷自由度可积系统，它对应的谱曲线为Seiberg-Witten曲线，相应的微分方程是Seiberg-Witten方程（有的数学文献称为Picard-Fuchs方程）。这样的系统的求解问题实际上就是著名的模几何问题。这是代数几何的中心问题之一。一般在可积系统中会出现代数几何，代数拓扑之类的东西，实际上都是来源于无穷自由度动力学系统的研究。涉及的代数几何有：Monodromy，Homology，Holonomy, Cohomology等等。
可解实际上并不需要一定有微分方程，它可以是代数线性方程，比如矩阵方程之类的。但是由于算子代数的出现，可解和可积实际上可以等价。 因为一个微分算子既可以得到一个微分方程，而如果选择好了基矢，它也可以变成一个矩阵方程。 实际上，物理上早就有这个例子了。 薛定谔方程是微分方程，而海森堡方程是矩阵方程。两种表象描述等价。
可积系统（模型） 可以分为 经典可积系统 和 量子可积系统 以及 可解统计模型
有限维的经典可积系统 可积性有刘维尔可积性，由于辛对称性 具有2n个自由度的动力系统，只要给出n个独立对合的守恒流，系统就可完全约化，一般的由m个独立的辛对称性，辛约化后系统的自由度降低2m，这是在辛几何下可积性，
除此之外，更有意义的可积性的框架是 拉克斯对和零曲率表示，他们的好处是直接给出守恒量 和 可以用反散射/非线性傅里叶变换求解，
刘维尔可积系统都有拉克斯表示和零曲率表示（不唯一），反之未必。
拉克斯算子相当 威尔逊算子 也相当于 单值群算子 量子化之后就是 量子场论中的 散射矩阵或者 统计物理中的转移矩阵，他们分别满足经典和量子的扬巴克斯方程，
拉克斯表示是一个等谱形变的系统，可以定义谱曲线，拉克斯算子的本征值 或 各阶迹是系统的守恒量， 拉克斯对的几何描述就是谱曲线上的向量丛， 系统守恒流的生成函数 叫做 tau 函数，满足一定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，
在可积的量子多体问题和量子场论，可解统计场论中，配分函数就是 算子乘积 的生成函数，类似于tau 函数，也满足由对称性决定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，成为 ward 恒定式，可以认为是经典作用量的主方程（BV 框架）的量子化。对配分函数按照不同的基底展开，可以得到费曼图或者杨图的组合关系。 在在同调或拓扑场论中，配分函数是量子上同调环的生成函数。 一个量子场论就是一个由单粒子态空间生成的张量范畴，系统的相互作用反应在张量积的非交换性，但是通常满足扬巴斯特方程的弱交换，这是系统可积性的一个体现，量子场论的内部对称性由量子群来刻画。
可积一般涉及到微分方程的求解。而可解虽然包括可积，但未必需要有微分方程。 可积系统是指对应于一个自由度为N的动力学系统，存在有N个守恒量，这N个守恒量的对易关系给出N个微分方程，这样N个自由度都可以严格被限制在解上。因此，系统称为可积。实际上，这个问题可以扩展到无穷自由度动力学系统，相应的可积性称为Liouville可积。比如Hitchin系统就是黎曼面上的二维无穷自由度可积系统，它对应的谱曲线为Seiberg-Witten曲线，相应的微分方程是Seiberg-Witten方程（有的数学文献称为Picard-Fuchs方程）。这样的系统的求解问题实际上就是著名的模几何问题。这是代数几何的中心问题之一。一般在可积系统中会出现代数几何，代数拓扑之类的东西，实际上都是来源于无穷自由度动力学系统的研究。涉及的代数几何有：Monodromy，Homology，Holonomy, Cohomology等等。
可解实际上并不需要一定有微分方程，它可以是代数线性方程，比如矩阵方程之类的。但是由于算子代数的出现，可解和可积实际上可以等价。 因为一个微分算子既可以得到一个微分方程，而如果选择好了基矢，它也可以变成一个矩阵方程。 实际上，物理上早就有这个例子了。 薛定谔方程是微分方程，而海森堡方程是矩阵方程。两种表象描述等价。
可积系统（模型） 可以分为 经典可积系统 和 量子可积系统 以及 可解统计模型
有限维的经典可积系统 可积性有刘维尔可积性，由于辛对称性 具有2n个自由度的动力系统，只要给出n个独立对合的守恒流，系统就可完全约化，一般的由m个独立的辛对称性，辛约化后系统的自由度降低2m，这是在辛几何下可积性，
除此之外，更有意义的可积性的框架是 拉克斯对和零曲率表示，他们的好处是直接给出守恒量 和 可以用反散射/非线性傅里叶变换求解，
刘维尔可积系统都有拉克斯表示和零曲率表示（不唯一），反之未必。
拉克斯算子相当 威尔逊算子 也相当于 单值群算子 量子化之后就是 量子场论中的 散射矩阵或者 统计物理中的转移矩阵，他们分别满足经典和量子的扬巴克斯方程，
拉克斯表示是一个等谱形变的系统，可以定义谱曲线，拉克斯算子的本征值 或 各阶迹是系统的守恒量， 拉克斯对的几何描述就是谱曲线上的向量丛， 系统守恒流的生成函数 叫做 tau 函数，满足一定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，
在可积的量子多体问题和量子场论，可解统计场论中，配分函数就是 算子乘积 的生成函数，类似于tau 函数，也满足由对称性决定的函数方程， 微分方程 或者 代数方程，成为 ward 恒定式，可以认为是经典作用量的主方程（BV 框架）的量子化。对配分函数按照不同的基底展开，可以得到费曼图或者杨图的组合关系。 在在同调或拓扑场论中，配分函数是量子上同调环的生成函数。 一个量子场论就是一个由单粒子态空间生成的张量范畴，系统的相互作用反应在张量积的非交换性，但是通常满足扬巴斯特方程的弱交换，这是系统可积性的一个体现，量子场论的内部对称性由量子群来刻画。
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