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- 我是个怀疑论者.Lagrange方程的其中一个条件,在动力学中x与dx/dt独立.什么叫"独立"?既然可以在Lagrange中可以无限制地添加x,dx/dt,d2x/dt2..,那是否就可以往里面添加同样"动力学学独立"的(d/dt)^(1/2)x之类的东西?Lagrange方程真的可以包含一切吗?
rupt (但曾相见便相知,相见何如不见时) 2011-03-30 22:50:35
虽然是个初学者,但我也知道在历史上曾经有过各类微分方程解的存在性,唯一性(这点Lagrange量不满足),和稳定性的讨论.于是我想也应该有微分方程所对应的变分形式存在性类似的讨论吧?还有"形式一致性"(这个词是我自创的...实在不知道怎么表达),即保证整数阶的微分方程所对应的变分形式中不会出现分数阶的项.
- 嗯，我当时看Landau力学的时候就觉得速度和位移独立是不可理喻的。如果给定位移关于时间的函数，速度、加速度以及更高阶时间导数不是都确定了吗，为什么说它们是独立的呢？好吧，我们先听从Landau先生的教诲，那么马上要问的问题是，那加速度什么的是不是也可以放到Lagrangian里面去呢？我想这也是楼主的困惑。
Everett (╮(╯▽╰)╭) 2011-03-31 14:14:37
正当我困惑着呢，Landau先生接下去写到：位移和速度已经完备动力学系统的自由度，加速度和更高级导数并不独立于位移和速度，因此Lagrangian只需作为位移和速度的函数，而不需要进一步包含加速度等自变量了。看到这里我顿时就崩溃了，同时开始崇拜Landau先生居然可以在写书的时候就知道读者要问的问题。接下来有一段话来分析支持这个论点，大意是知道位移和速度就可以预测下一个时刻的位移，如此就可以得到轨迹，加速度属于冗余信息。
后来我才知道，正是因为我们基于Lagrangian出发考虑，才会出现独立性疑难。因为如果位移和速度不独立，我们就不能理解什么叫Lagrangian对速度求偏导（而保持位移不变）。但是，如果我们直接从作用量入手，并且将作用量理解成位移的泛函，就可以避免这个问题。所谓泛函就是函数的函数。位移关于时间的变化是一个函数 x(t)，作用量泛函的作用就是把这个函数映射到一个实数上去。这时候，位移就是作用量泛函唯一的自变量，速度、加速度等等都由位移函数决定，不是独立的。求运动方程的时候只要对作用量变分，并令结果等于0就可以了。在变分的过程中，加速度什么的都会自动跑出来，就没有什么偏导不偏导的烦恼了。
- @E大
cmp0xff 不小心 (添加签名档) 2011-03-31 17:56:48
我去翻了一下Landau，他说的意思ms是，给定位置和速度的初值就能确定运动轨迹，这是从经验得到的；还说运动方程是广义坐标的二阶微分方程。
我觉得后一句是重点，因为如果运动方程是广义坐标的，比如说，三阶微分方程，那么运动轨迹就还需要第三个积分常数，比如说，我们要给定加速度的初值。因此，位置和速度的初值决定运动轨迹，不是一个逻辑事实，而应该是一个实验结果。
还有关于那个独立性，我想问一下独立的数学定义是什么呢？
@Tabris
能再写几句么？没有太明白。
2011-03-31 14:14:37 Everett眼鏡大俠 (請稱呼我大俠,雖然我很水) 2011-03-31 22:55:33
11楼
嗯，我当时看Landau力学的时候就觉得速度和位移独立是不可理喻的。如果给定位移关于时间的函数，速度、加速度以及更高阶时间导数不是都确定了吗，为什么说它们是独立的呢？好吧，我们先听从Landau先生的教诲，那么马上要问的问题是，那加速度什么的是不是也可以放到Lagrangian里面去呢？我想这也是楼主的困惑。
正当我困惑着呢，Landau先生接下去写到：位移和速度已经完备动力学系统的自由度，加速度和更高级导数并不独立于位移和速度，因此Lagrangian只需作为位移和速度的函数，而不需要进一步包含加速度等自变量了。看到这里我顿时就崩溃了，同时开始崇拜Landau先生居然可以在写书的时候就知道读者要问的问题。接下来有一段话来分析支持这个论点，大意是知道位移和速度就可以预测下一个时刻的位移，如此就可以得到轨迹，加速度属于冗余信息。
后来我才知道，正是因为我们基于Lagrangian出发考虑，才会出现独立性疑难。因为如果位移和速度不独立，我们就不能理解什么叫Lagrangian对速度求偏导（而保持位移不变）。但是，如果我们直接从作用量入手，并且将作用量理解成位移的泛函，就可以避免这个问题。所谓泛函就是函数的函数。位移关于时间的变化是一个函数 x(t)，作用量泛函的作用就是把这个函数映射到一个实数上去。这时候，位移就是作用量泛函唯一的自变量，速度、加速度等等都由位移函数决定，不是独立的。求运动方程的时候只要对作用量变分，并令结果等于0就可以了。在变分的过程中，加速度什么的都会自动跑出来，就没有什么偏导不偏导的烦恼了。
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E大的11樓讓我頓時有了看朗道顯示著作的興趣
- 物理体系，给出速度就已经确定状态了，轨迹也确定了（这个时候确定的是轨迹族），如果给出初始速度就唯一确定轨迹了，这是常微分方程的存在与唯一性定理保证的。
Tabris (新年快乐~) 2011-04-02 13:45:31
但相对性原理不需要给出一个初始位置，只需要相对位置就可以了（这是对于多粒子体系，单粒子体系连初始位置都不需要给定）
不过说到体系的状态，这个含义可能会很广， 比如带电或不带电的状态肯定不同，但在没有电磁场的情况下，他们的相轨迹可以相同，所以这里的状态包含了可观察的状态，或者说是你想要观察的状态，那么对于纯粹的运动，位移是唯一关注的量，所以确定位移速度与位移初始就成为一个完全集，如果你还要考虑能量，那么质量也必然应该引入，或者是把速度换成是动量。
到了量子状态，这个概念就会更加明确（力学量完全）
不知道是否解决了 cmp0xff 同学的疑惑
- 2011-04-02 11:00:15 点阵 回楼上，从没听说过这样的信仰，照你这样说，Lagrange方程不能导出Newton方程咯。
留空 (开琼筵以坐花 飞羽觞而醉月) 2011-04-03 20:45:06
物理学的基本信仰是对称性和守恒律，一种对称性对应一种守恒量。不守恒的量严格来说应该驱逐出物理学。由对称性给出lagrangian，由lagrangian给出运动方程。
再问楼上，为什么要找lagrangian？
量子化呗。
牛顿力学中描述运动状态既需要位置，也需要速度。因此牛顿第二定律左边可以出现状态量（r,v），右边可以出现状态的时间变化率（v,a）。实际上物理学没有一个单一信仰，你所说的以对称性确定Lagrangian的方法在场论中常用，但是就像Weinberg I里的解释：对一个string theoretist来说，人们先需要观察到弦的一种振动模式，再由此导出满足规范对称性的effective field theory。
- 先不论量子化是不是找lagrangian的根本出发点，显然量子化是一条理由，但不充分。Hamiltonian也能量子化，而且守恒，况且量子化方法也不只这一种。
点阵 (Je veux seulement l'oublier) 2011-04-05 11:07:04
你定义的状态量本身就有问题，速度是状态量，加速度就是状态变化率了？一阶导数是状态量，高阶就不是了。“由于从拉氏量导出运动方程时会对t求一次导，因此我们一般假定拉氏量中只有速度而没有加速度。 ”
这么说导出的运动方程只能含有不超过2阶的导数。但在阻尼力的问题中，方程含高阶导数。所以我说照你的意思，lagrange方程导不出经典力学。
newton方程分左右，我也是第一次听说,求出处。
只看了两天拉格朗日方程的很惶恐的说道：孤立奇点2011-04-05 14:17:00
那个~~~我似乎觉得在牛顿动力学方程里是不会出现三阶或以上的高阶微分方程吧。那时候，世界没那么复杂，给一个“力”的概念就搞定全部。力就是位置对时间的二阶导数。
然后，拉格朗日函数给定后，世界就定了。假如体系里一个约束都没有，运动状态也是定下来的，至少拉格朗日等人时这样看的。我个人觉得这很符合直觉，就是，如果我啥都不知道，那我知道啥？“啥都不知道”也是一种状态。
当我们确定物理景观里的某种变化，（我们确实认为在变，但不是任意变），这时构成我们关心的物理运动。这个“不任意”，就是我们明确知道，他受到了某种约束。当体系受到一定约束后，他就只能做某一类运动了。
拉格朗日关注的是在那一类运动中，在所谓“主动力”情况下，构成的运动，他认为这就是我们见到的运动。若跟你见到的不一样的话，只能说明我们的约束没找齐，或主动力没找齐。所有经验和实验“都”表明，只要我们找的齐。拉格朗日方程就给的出来。若要从理论角度来证明，只要认为牛顿定律是正确的就行，可以证明拉格朗日动力学方程与牛顿动力学方程在数学上最后将给出相同的微分方程的解。（虚功原理等价于矢量受力平衡）+（达朗贝尔等效原理）使得拉格朗日的研究对象都是“平衡”的！而且和牛顿动力学方程构建的物理基础是一致的。拉格朗日还发现如果我们不是先知道“力”的情况，而是先知道体系“能”的情况，我们同样能得到体系运动情况。牛顿从来就不觉得“能”是必要的，“力”才是基础。但现在“能”也可以是基础了!
关于为什么在拉格朗日函数里，广义速度是独立于广义坐标，那是因为那是拉格朗日函数，他是表征着体系的能量情况，体系的能量当然和体系的所谓动能，和所谓势能有关，而且，我们的世界在无约束情况下是可以有任意的动能和势能的，总不能说这样的势能就一定是那样的势能。虽然这是事实，但是在得到拉格朗日方程之后。所谓速度与位矢相对独立，是一个存在于逻辑里的情况，而不是某个物理事实。
至于说到“加速度”这个东西，是没有的，因为一个显而易见的事实是，加速度是一种和力在数学上等价的东西。而现在“力”是没有的了。达朗贝尔原理，使得体系总是“平衡”。这种平衡，在牛顿看来是力的结果。但是拉格朗日认为，是拉格朗日函数，即体系能量的结果。
若你告诉牛顿，这个体系“力”的情况，原则上他就懂得在逻辑上认识了这个运动以前或以后是怎样的，而且事实跟其思想一致。你你告诉拉格朗日体系能量的话，他也可以得到同样的运动结论。
而最基本的是，他们都能看到的唯一东西是“运动”也是他们共同看到的事实。而事实是不为个人背后的思想而转移的。
牛顿为啥不搞个加加速度呢？因为他不觉得世界上有一个这样的客观事实（独立于位置的）来支配这个情况。而人类有能力“找到”他所谓的“力”，然后就好了。人类同样能“找到”拉格朗日函数。构造“力”就不可避免要用到加速度的概念，但是构造体系动能和势能却不需要。
大概就这样，我的初步理解~~~多谢指正。
说个这样的事情吧，或许对大家有帮助。善龍 (下雪啦~) 2011-04-05 16:11:45
你们看标准的场论书上都极少出现外力这个概念，但这个量在你们的讨论中有很重要的意义，因为牛顿力学说了，外力是速度改变的原因，甚至还定量的给出了外力是如何改变速度的（牛二）。
但牛顿力学没有解释外力是如何来的，这样就有两种不同的看法，一种是外力是外部因素，于是我们可以建立起一整套拉格朗日力学，‘前人之述备矣’；当然还有不服气的人，他们把研究的系统扩充到将外力也包含进来，作为研究的对象，这样问题就难缠了，他们试图去解释力本身是如何随时间空间改变的，以及力的改变是如何随时间改变的....当然这就是你们说的三次及高次导。
似乎这是一个子子孙孙无穷尽矣的难题，让我们回到较为简单的问题：什么是力？在牛顿那个时代，有一个力是理解得比较清楚的，引力，至少比弹簧振子的弹力用胡克定律来描述这种东西要深刻得多，万有引力理论是一个很强大的理论，你看，它把这些子子孙孙无穷尽矣的难题全解决了（我是说它的各阶导数都可以明显的写出来），如果我们的世界只有万有引力就好了，但事实上没有这么简单：很显然，这个理论甚至无法解释弹力和摩擦力这些司空见惯的力。
这时候，我们不得不提库伦，安培，韦伯，法拉第这一帮人，他们研究了除了引力之外日常生活中可以接触到的力：电力和磁力。最后，集大成者，麦克斯韦将这两种力统一起来。这些理论，都能把那些高阶导数什么的一次性解决，不留下尾巴，比如说库伦定律就讲清楚了两个带电球之间的力作为时间空间的函数是平法反比定律。
在自牛顿开始的经典物理学（我主要是指微积分这个可以定量分析物理的工具出现之后）发展了200多年之后，我们生活中可以看到的力，引力和电磁力都很漂亮的被解决了，上帝好像也并不比我们强多少么，你看本来难缠的无穷阶导一次性就解决了。但故事还没有结束，实际上才刚刚开始，按照标准的书上的说法，飘来三朵乌云，革命了。
- 正则量子化都是从拉氏量出发，这是因为就算你能找到体系的能量表达式，没有Lagrangian你也找不到正则动量，于是就无法对其赋予正则对易关系。此外，如果不知道Lagrangian我们也无法知道体系有什么约束。
留空 (开琼筵以坐花 飞羽觞而醉月) 2011-04-06 19:07:51
对经典力学来说，速度显然是状态量之一，表出系统能量、动量都需要速度，你总不能说这些都不是状态量吧。但加速度就不是状态量，也没有任何其它状态量需要加速度才能表出。
“但在阻尼力的问题中，方程含高阶导数。所以我说照你的意思，lagrange方程导不出经典力学。”
这我真没听说过，你说的是辐射阻尼？辐射阻尼不能严格看做一个力，这个我们都知道。更一般的说，假设某种力与质点速度的导数（即位矢高阶导数）有关，那么这种非保守力就可以质点自动加速，这将导致能量不守恒——这也是把辐射阻尼看做真实力时的困难之一。
- 用对称性当然是可以的，但仅限于非相对论量子力学。在场论里似乎并没有把共轭场算符看做场平移操作生成元的，因为我们实际上也基本不处理场算符的本征态。而在通常情况下，因为位置算符和动量算符的共轭性我们都知道，而单粒子Hamiltonian又常可以用p,q表出，确实可以直接从系统能量表达式过渡到Hamiltonian。但一般情况下这是不可能的，比如场的正则量子化中，能量表达式是用场量（如E,B）表达的，如果没有Lagrangian量我们就不知道如何用场量表出共轭场算符，因此就无法做正则量子化。更有甚者，如果我们要处理的体系具有singular Lagrangian（比如电磁场），那么从Lagrangian到Hamiltonian的过渡还能给出系统约束，而系统的约束条件直接影响了系统的规范不变性和对Poisson括号的修正，因此就算我猜出了共轭场算符的形式也无法直接进行正则量子化。
留空 (开琼筵以坐花 飞羽觞而醉月) 2011-04-06 20:47:24
以上这些内容在Dirac的Lectures on Quantum Mechanics（这是一本专论约束体系正则量子化的书），和Weinberg I中都有详细论述。两本书都很明确地指出：正则量子化的出发点是Lagrangian
- 2011-04-07 00:03:40 善龍 (子集) 呃，这样呀，谢谢先。然后呢，在凝聚态里好像更多的是认为，Hamiltonian比Lagrangian更基本。
留空 (开琼筵以坐花 飞羽觞而醉月) 2011-04-07 16:47:07
客气。在凝聚态里我就不太清楚了，也许是凝聚态里物理考虑更明显，不需要做“约束体系量子化”这样比较纠结的事情吧。。。（这个确实很纠结）
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