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热与引力 2 4 热与引力2/4 2011年10月21日 重要提醒系统检测到您的帐号可能存在被盗风险请尽快查看风险提示并立即修改密码。 关闭 网易博客安全提醒系统检测到您当前密码的安全性较低为了您的账号安全建议您适时修改密码 立即修改 关闭 第3章 空间的能量本质 §3.1平方反比定律 平方反比定律是物理学中少有的几个非常普遍但又高度简单明晰的事实之一。质量为m1、m2的两相对静止物体之间的牛顿万有引力具有与距离r平方反比的形式 3.1-1 两相对静止电荷Q1与Q2之间的库仑引力或斥力也有与电荷间距离的平方反比的形式 3.1-2 平方反比定律成立的场合物质的具体存在形式可以差别很大。因此它反映了比物质具体形式更普遍的某种存在。平方反比定律也是物理学中少有的几个十分确切地为理论和实验所反复推敲过的事实之一。平方反比的数学式子本身就包含了超距作用。假定m2在m1与m2的连线上振动r的大小在变化那么m1受到m2的引力F也在变化。任一个瞬间r都有一个确定的值由此值可以算出此瞬间的F值这就是m1在该瞬间受到的引力。因此m2的任何变化瞬间就会传到m1。描写静止物体间引力的式子对任何简单运动都不适用。因此平方反比定律只是某种近似。它描写静止物体引力的高度准确性与描写运动物体引力的近似性或包含错误是两个并存的确切事实。不应该是相互否定的。因此它只会被完善不会无立足之地。在平方反比定律引起的超距作用错误之中我们从另一反面也能体会到平方反比定律与空间的性质有极度敏感的关联。描写静止电荷作用的平方反比定律被描写运动电荷相互作用的麦氏方程完善描写静止物体引力作用的平方反比定律被描写运动物体的引力场方程完善。平方反比定律作为很好的近似仍然保留下来。现在确实已走出去很远但可以回过来看看反复看看反复了解静止状态下这个简单事实的含义。回头看可能会走的更远。 我们首先观察万有引力定律。 距离函数 中引力幂指数取2是高度准确的。大家都知道自从亚当斯和勒维耶独立地计算出海王星的位置并实际观测到海王星引力幂指数准确地等于2在太阳系就没有任何问题了。地球到太阳的距离是8.33光分。大约是1.5×108公里。海王星更远。太阳系延伸的范围达到1光年。 银河系的直径10万光年。引力幂指数2准确成立在银河系得到了观测的证实。超星系团的半径有1亿光年引力在这样大的尺度仍然起作用。随着距离的增大对平方反比定律是否有所偏离天文观测的数据表明随着距离的增加没有出现偏离平方反比定律的迹象。偏离 力也会对预言中的引力子的参数发生影响。如果相对静止物体间引力是严格平方反比的力程可以是不受限的引力子的静质量也就为零。引力子静质量为零正是所预言的。 比起银河系太阳系是很小了。相比较人们更熟悉太阳系利用日地关系测量G既可以了解对于很小的距离引力是否偏离 力也会得到较准的G值。但对G的测量无法在天文观测中直接进行因为所测值都是引力常数和质量之积GM无法区分二者的独立贡献。因此在太阳系无法测量G测量只能在实验室进行。卡文迪许所用的扭秤横梁大约有2m长现代用的横梁只有2cm长。所测得的G值一致不存在 力的实质性偏离。有专门的实验测量对 力的可能偏离也没有发现在小尺度下的偏离。也有在矿井中通过测量变化的g来间接求出G值的地球物理实验由此求出的G与扭秤测得的G值一致。总之“没有可靠的证据表明引力偏离平方反比定律。”10P9这句话用表3.1-1数据来支持。 平方反比短程偏离的检测 表3.11 近年来引力实验正快速向小尺度发展到2001年尺度达到0.218cm的最精确的引力实验仍然显示平方反比定律准确无误。12P202 从0.2cm到10万光年是一个非常大的距离跨度十万光年是0.2cm的4.73×1023倍。在这样的跨度上 的指数2也准确不变。 天狼星是密近双星。离地球8.6光年。伴星B以49.9年为周期绕主星A运行。A星有2.3个太阳质量。平均每cm3有0.25g物质。跟太阳类似。 B星有一个太阳质量半径只有太阳半径的百分之一。是一个白矮星。它的物质受到极大的压迫每cm3有一吨物质。压迫也是能量也对引力有贡献。从1862年开始到1904年观测完B星绕A星一个完整的椭圆。这就准确地证实了即使在高度压缩的物质状态下平方反比定律也很好地成立。 费因曼讲“就我们今天所知看来引力永远以与距离平方成反比的方式延伸开去。”13P76。果然如此宇宙的直径是137亿光年1.3×1028cm是0.2cm的6×1028倍。 电场可以屏蔽是因为电荷密度可以变号。引力场不可以屏蔽被认为是因为质量密度不变号。负能量时变号吗例如正电子它的引力能量与电子的引力能量反号吗正电子之间的类似万有引力作用是相互推开吗量子物理中常有负能量的说法但都未见其产生质量之间的作用为斥力。真正的负能量似应产生相互斥力。但是从未听说有实验观察到负能量产生斥力的报导。因此可以认为所有的能量都遵守牛顿万有引力定律不存在引力意义上的负能量也不存在引力意义上的反物质。 所有的能量都贡献引力质量。实验证明引力能也贡献引力质量。因此反平方定律中的质量可以是任何能量E对应的质量E/c2。 G值是否随时间变化是一个至今没有结论的问题。所谓G值的变化有两个含义一是历史性的系统性变化一是当下波动如果真要谈论G值随时间的变化可能必须了解引力机制。现状是没有人知道引力的机制。 现在我们来观察库仑定律。 高斯定律的微分形式是 。 3.1-3 高斯定律与库仑定律等价。电荷密度 所决定的电场矢量 的散度由此式决定。 “高斯定律的正确性取决于库仑的平方反比定律。若该力的定律不刚好是平方反比则在一个均匀带电球面内部的场恰恰等于零这一说法就不正确了”。把静电计放在金属球壳内用高压使球壳带电观察静电计是否动作。实验结果确认在几十厘米范围内库仑幂指数与2的差小于10-9。对氢的能级的相对位置的测量证实了在10-8cm范围内幂指数与2的差也小于10-9。 核物理表明在10-13cm范围内静电力存在而且库仑幂指数取2仍然有效。在10-14cm范围内库仑幂指数对2是否有偏离以及具体偏离情况尚无定论但是存在着库仑定律失效的可能。13P62后边本章3.3表明能量越集中总的结果对平方反比关系修正越明显。但紧接着的几个式子表明对这种偏离的数学描写一直会保留平方反比的影子。所谓能量集中指的是量级上的变化。一块石头比水集中但石头基本上是空的。原子之间的空隙比原子大而原子本身更空按比例说原子核只是广漠空间的一个孤独小点。也就是说能量集中到原子核那样的程度时空性质才越过了某个临界点。 由平方反比定律求得质量为M的物体周围的牛顿引力势为 3.1-4 这个式子在场方程的已知严格解中始终出现。而这些严格解在黑洞的卓有成效的研究中具有基础性的作用。在球对称物体周围引力场的史瓦西解中自然单位制 3.1-5 在静止带电物体周围引力场的R-N解中 3.1-6 Q是总电量在转动带电物体的克尔一纽曼解中 3.1-7 其中 J为总角动量 为球坐标一个自由度。 的其它分量表达中含 的情形类似。可见静止物体之间引力的平方反比定律被广义相对论保留下来了。它的位置更恰当了。它只描写了静态下的引力描写动态引力则需要修正但不是无用。 麦克斯韦方程组的一个方程是 是库仑定律的等价表达。 相比之下电动力学与广义相对论保存平方反比定律的方式是有不同的。电动力学更直接一些。 虽然平方反比式子的出发点形式上完全一样但电磁与引力确实大不相同。这种不同在数学表示时显示出来。二秩反称张量恰有六个独立分量这些分量具有轴矢量性质。电场强度的三个分量与磁场强度的三个分量恰好可以组成闵氏四维时空中的一个二秩反称张量 。而相应的电流密度的三个分量与电荷密度可以组成一个一秩的四维张量 。于是麦氏方程的张量表示如下 3.1-8 前一个式子就包含库仑定律。引力场方程的度规 是对称的。 3.1-9 而电磁场的电磁张量 是反称的 3.1-10 解引力场方程是求解 解电磁场方程是求解 。二者同为二秩张量。一个对称有10个独立分量一个反称有6个独立分量。在数学表达上的这样一点差别在大自然中却是千差万别。当然 描写的是时空度规φμν描写的是电磁场强弱要比较得真切只有把φμν也折算成 的形式才好。 因为有单独的电荷才有 右边不为0。因为没有发现磁单极子因此 3.1-11 如果真有磁单极子存在并且会有静止态由 的散度表达式很可以猜测静止磁单极子之间的磁作用力会精确满足平方反比定律。到此我们可以说描写静态的平方反比定律不能描写动态。但是它在动态的描写中却是正确的成份之一。麦克斯韦方程和引力场方程在进入动态后吸收了平方反比定律的正确成份抛弃了超距作用。 综合考虑万有引力定律和库伦定律平方反比形式的定律成立的范围是非常之大的。从宇宙当下直径1.3×1028cm到10-13cm是一个巨大的跨越前者是后者的1040倍。人们必然要问平方反比定律反映了大自然什么样的非常普遍的性质 另外库仑力要比万有引力强度大得多。两个电子之间的库仑斥力是两个电子之间万有引力的4.17×1040倍。这是只有用数字表示才有强烈感觉的巨大差别。在极强和极弱的力的情况下平方反比定律也都成立。人们会再一次发问平方反比定律到底反映了大自然什么样的普遍性质 我们觉得平方反比定律虽然只反映了静止电荷之间的电作用规律或静止物体之间的引力规律但是简单往往更明确平方反比定律反映了空间的本性。空间是具有如此普遍性的少有的事物之一。坚持平方反比定律具有普遍的高度准确性通过平方反比定律这个可靠的事实我们试图理解空间的能量实质。我们认为空间是物质存在的一种形式物质性的空间之外再无任何别的独立空间。这就是本节的结论。 “康德已注意到一件很深刻的事情牛顿的著名平方反比的引力定律与空间是3维的这一事实有紧密联系。如果空间有4维那么引力就有距离的立方呈反比关系如果空间有100维那么就与距离的99次方呈反比关系。一般说来一个N维世界其引力将随距离的N-1次方下降。”14P209空间的维数参与了决定引力场的势或单位质量物质在引力场的势能。反过来空间的维数当然是采取空间形式存在的能量的更详细结构。 §3.2浪浪的空间性质 狭义相对论质量公式 mso-application
沈惠川：//热力学和相对论：从统计力学看热力学
热力学和相对论都是物理学中属于“原理性”（如爱因斯坦所说）的学问；它们二者相碰撞，会擦出什么样的“爱情”火花来呢？
关于热力学。热力学这门学科很有意思：一般人都认为热力学中的所有结论都是绝对正确的、不可能有歧义的；但是从统计力学来看，热力学中的公式实际上分成两种；其中第一种反映了能量守恒或转换的，因而具有某种程度上的普遍性；另一种只对（非相对论的）理想气体和非理想气体有效。在拙著《统计力学题谱》附录C中，C.1内诸题就是第一种，而C.2和C.3内诸题就是第二种。
即使是“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式，对“广义相对论”也不适用，因为在广义相对论中，没有单独的能量表示（但“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式是用能量来表示的），而只有“能量－动量张量”表示。
于是，首先得承认第一点：在热力学公式中必须排除可以应用于广义相对论的可能性。所有在宇宙大尺度范围中谈论热力学的论述都是错误的，至多仅仅只有近似的意义。同时，将热力学公式写成用“度规”表示的形式也是错误的。
接着是第二点：热力学公式是否能容纳狭义相对论？
答案是肯定的。在统计力学中，将“熵”S定义为玻尔兹曼常数乘以“系综相空间数密度”的“对数”的“负”平均值（Planck公式，实际上是Gibbs公式），再加上关于“广义力”X和“能量”E（实际上是“内能”）的计算公式，就可得到“正则系综”所有的“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式（例如dE=TdS+Xdx之类，x是“广义坐标”），而这些“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的公式与气体是“非相对论的”还是“（狭义）相对论的”无关。也就是说，不管是“非相对论的”气体抑或是“（狭义）相对论的”气体，这些“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式都成立。
由此可以看出，Bazarov（《Therodynamics》，Moscow，High-Education Press，1983）关于在（狭义）相对论条件下“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式有所变化的观点（在Bazarov的理论中有些热力学量前须“乘以”一个“相对论因子”）是完全不对的。Bazarov关于能量E的“相对论形式”同样是错误的（许多论文作者都犯过类似错误）：能量E的“相对论形式”并非在通常的能量E前“乘上”一个“相对论因子”（Gama），而应是“除以”一个“相对论因子”，这是为了保证“动量”p前能够“乘上”一个“相对论因子”！这应该是在学习经典力学尤其是Lagrange力学时就必须清楚的事情。（顺便说一句：频率的“相对论形式”与能量E的“相对论形式”类似！它并非在通常的频率前“乘上”一个“相对论因子”，而应是“除以”一个“相对论因子”，原因是频率必须以因子Planck常数与能量E相联系，即保证“波矢”k前能够“乘上”一个“相对论因子”！这一问题早于1924年就已在Louis de Broglie的博士论文中得到解决。）
“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式在（狭义）相对论条件下“形式不变”这件事，也可以在“相对论流体动力学”基本微分方程组的“能量方程”中得到佐证。非平衡态热力学的基本微分方程组实际上就是流体动力学方程组，“（狭义）相对论的”非平衡态热力学的基本微分方程组实际上就是“（狭义）相对论的”流体动力学方程组；而平衡态的“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式只是“流体动力学”基本微分方程组中的“能量方程”的一个特例。
再接着是第三点。必须明确，热力学公式中有一些（即只对非相对论的理想气体和非理想气体有效的“第二种”热力学公式）对“（狭义）相对论的”气体无效。这些热力学公式是Newton力学的产物，相当于经典力学中Newton方程之对于（狭义）相对论运动方程。
从统计力学的立场来看，这些只对非相对论的理想气体和非理想气体有效的“第二种”热力学公式，来源于进入“统计权重”和“态密度”的能量－动量关系是Newton力学的，而不是（狭义）相对论力学的。在数理统计中，经常引用法国物理学家G. Lippmann（1845-1921）的话：“每个人都相信（正态近似），试验者出于，他们想这是一个数学定理，而数学家出于，他们想这是一个实验事实。”但是在统计力学中，正是由于引入了Newton力学的能量－动量关系，因而使得Maxwell的“正态分布”更像是“理论推导”，而且也更符合“非相对论”的“实验事实”。换言之，“第二种”热力学公式与“非相对论”现实世界是一致的。
于是，“第二种”热力学公式的“普遍性”是靠不住的，由这些“第二种”热力学公式得到的结论不能推定其“绝对正确”而必须重新演绎。
“第二种”热力学公式往往与气体的具体状态方程有关，而“第一种”“具有某种程度上的普遍性”的热力学公式则与气体的具体状态方程无关。从气体的具体状态方程中可以看出气体是（狭义）相对论的，还是非（狭义）相对论的。
Boltzmann在1877年10月一篇题名为“热的力学理论第二定律和几率计算或与热平衡有关的几个定律”的文章中说过一句话：“人们即刻可演绎出两个论断：第一个说的是一个物体系统经历了几个变化，其中至少有一些是不可逆的……如果在过程的开始和结束，都证明系统处于热力学平衡态，这一系统的总的熵能立刻计算出来；在两种情形中，它都等于可置换性测度的2/3。 因此，这第一个论断表达的是：在系统经历了变化后，总的熵始终要大于初始值；当然，可置换性测度也同样如此。 第二个论断说的是一种气体，它经历了一个变化，其中初态和终态都并非必然是热力学平衡的，因此人们无法计算初态和终态的熵，但人们总是能计算我们称之为可置换性测度的这个量；而这里再一次它的最终的值必然大于起始值. 人们同样可以证实，最后这个论断能毫无困难地推广到由几种气体组成的系统，推广到多原子分子系统和在外力作用下的系统。”Boltzmann说话的风格是比较罗嗦（以至于Maxwell都嫌其罗嗦）。对于Boltzmann在文中所提到的归一化因子2/3，传记作家Carlo Cercignani认为是Boltzmann未能区分内能与温度的缘故；现在由统计力学可知，系数2/3中的2和3分别是“非相对论”和“3 维空间”的标记。
这就给人们一个提醒：热力学公式中，有一部分并非“具有某种程度上的普遍性”，而是仅仅对非（狭义）相对论的气体有效！“第二种”热力学公式，亦即“与气体的具体状态方程有关”的公式，就是这样的公式。
在热力学中所罗列的各种“具体的状态方程”，实际上与人们所生活于其中的这个世界、这个宇宙有关，因而绝大部分都是“非（狭义）相对论”的。而作为“（狭义）相对论的”理想气体的典型的“光子气体”，其“具体的状态方程”是没法写“完整”的（其形式中不含体积V），原因是“光子”的总数不定且其化学势等于零。在热力学中，“光子气体”热力学量的计算必须借助于Helmholtz自由能而并非借助于“状态方程”。
由此可见，“第二种”热力学公式在“普遍性”方面，不及“第一种”热力学公式；起码在“非（狭义）相对论的”和“（狭义）相对论的”气体中，“第二种”热力学公式有不同的形式。
第四点，关于“永动机”。某种程度上，从热力学量的表达式来看，第一类“永动机”在满足一定条件（即dE=0，或dH=0；换言之所有的热能都可以转化为对外做功）时是dT=0。第二类“永动机”就是DQ=0和DQ<0（其中Q为热量；D是微分，但不是全微分），或者满足一定条件时化为dS=0和dS<0。所以，第一类“永动机”也许可以昵称为“等温永动机”，第二类“永动机”也许可以昵称为“等熵永动机”或“减熵永动机”（当然，“熵”决不可能永远减少）。
“不存在永动机”是对“非（狭义）相对论的”气体而言的；对“（狭义）相对论的”气体，例如对“光子气体”来说，“永动机”是有可能存在的。这可以由“光子气体”的统计力学结果（S~VTTT，P~TTTT等等）计算出来。
综上所述，考虑热力学公式时，必先分清气体是“非（狭义）相对论的”还是“（狭义）相对论的”。
由统计力学的结果知道，热力学公式与空间的维数s和气体“是否相对论”的指标l（小写L）有关。空间的维数一般情况下都等于3（除非特殊情况），这无需多说；但气体“是否相对论”的，则是一个需要认真对待的问题。
统计力学的“临界现象”问题中，“临界指数”除了与“空间的维数s”有关外，还与另一个“不得要领”的参数有关！这一“不得要领”的参数不再是“是否相对论”的指标l（小写L），也不像是任何量子力学中的“量子数”。它也许是人类尚未发现的新学科中的一个指标！
还有一门尚未发现的新学科！多么激动人心的好消息（那是神马）！
这么说来，统计力学的指导性意义怎么评价都不为过！
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