Tuesday, December 11, 2012

泛函:向量空间到数域的映射,物体的真实轨迹的作用量（满足拉格朗日方程），那么就可以将他看成坐标和时间的函数,坐标的微分是S的梯度，也就是动量

泛函的定义不就是向量空间到数域的映射么。。。作用量就是\int L dt，是L到数域的一个映射。。泛函是不管怎么回避不掉的。。。
不过我感觉和这个问题没什么太大关系。。。

如果是一个物体的真实轨迹的作用量（满足拉格朗日方程），那么就可以将他看成坐标和时间的函数，全微分之后会有两个大项， 一项是坐标的微分，一项是时间的微分。。

坐标的微分是S的梯度，也就是动量。对时间的偏导得到的是负的哈密顿函数。。




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小问题：经典质点力学中的作用量，究竟是几个自变量的函数？

注意是经典的质点力学，所以此问题以S=∫Ldt为定义式，与泛函什么的无关。
我现在想搞明白的是，如果我将S写成S=∫pdq-Hdt的形式，我是否可以说S是以所有正则坐标加上时间为自变量的函数？
  • 1楼
  • 2011-04-20 17:16
大丈夫，没问题~~

既然写出了H，也就是真实轨迹的运动了（满足拉格朗日方程）。。因此q和dq/dt也就不是独立的变量了。。。

顺带一提，朗道的《力学》中就是这么处理，而得出\partial S/\partial t = -H的。。
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  • 2楼
  • 2011-04-20 17:43
在位形空间看，作用量是q(t)的泛函；扩展到相空间，作用量是q(t)、p(t)的泛函。
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  • 3楼
  • 2011-04-20 17:50
S 在变分得到运动方程之前是泛函, 在其它情况则不一定是什麼函数, 视目的而定.
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  • 4楼
  • 2011-04-20 19:54
说来说去到底还是泛函呵。。。= =
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  • 5楼
  • 2011-04-20 21:40
其实问这个问题，主要是想知道如果将作用量进行全微分，总共应该有几项。
如果本身把这东西全微分就没有意义，或者说有什么别的问题，那么也就不存在这个问题了。。。
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  • 6楼
  • 2011-04-20 21:42
我个人认为S=∫Ldt和S=S(p,q,t)只是在轨迹为真实轨迹时的值相等。从来源上来说实际上有一些区别，S=∫Ldt是最小作用量原理里面的泛函，而S=S(p,q,t)实际上是正则变换的母函数，二者在q=q(t)及p=p(t)取真实轨迹时相等。
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  • 7楼
  • 2011-04-20 21:53
泛函的定义不就是向量空间到数域的映射么。。。作用量就是\int L dt，是L到数域的一个映射。。泛函是不管怎么回避不掉的。。。
不过我感觉和这个问题没什么太大关系。。。

如果是一个物体的真实轨迹的作用量（满足拉格朗日方程），那么就可以将他看成坐标和时间的函数，全微分之后会有两个大项， 一项是坐标的微分，一项是时间的微分。。

坐标的微分是S的梯度，也就是动量。对时间的偏导得到的是负的哈密顿函数。。
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  • 8楼
  • 2011-04-20 21:56
嗯，我有时候也在想，运动轨迹都确定了，p、q(或q，q·)还能有作为自变量的意义吗？
不过我并不打算去啃泛函分析，所以我在想可不可以无视专门的泛函分析，单把作用量这东西搞明白就行。
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  • 9楼
  • 2011-04-20 21:58
回复：9楼
有啊，轨迹虽然确定了。。
但是在不同的位置或者不同时间的时候S的值不一样啊。。所以S仍然是位置和时间的函数。。。
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      回复：10楼
      问题就在这了，既然轨迹确定了，那么一个时刻就对应一个位置，所以真正的自变量未必有两个吧。。。
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          回复：11楼

          不一定。。。假如轨迹确定了，是(0,0)到(1,1)的一条直线。。。
          但是这上面完全没有时间的事情。。。物体可以花5秒钟过，也可以1秒中，可以匀速，也可以非匀速。。。时间仍然是另一个变量。。。
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              作用量本来就是泛函，这是它的定义...所以它只有变分的份，没有微分的份~~
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                  这是根据需要而定的，不一定。
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                      回复：4楼
                      也许PIPI老师的意思是，一旦完成变分问题的求解，就可以求出实际运动过程的作用量泛函值。不过，个人觉得那个实际作用量值作为泛函的极值（严格说是驻定值）没有任何力学价值；况且，在路径积分量子化时，涉及各种路径传播的贡献，最终有意义的还是作为泛函的作用量。
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                          回复：13楼

                          话说那个变分的长相和微分的差不多。。。假如不引进泛函的概念，只是简单的看成函数的函数的话。。。其实也就差不多啦~~方便理解（不严格，大家表拍俺啊~~）
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                              回复：16楼
                              你要是作为一种理解方式，当然你可以这么理解，但是如果定量计算的话，作用量只能取变分，不能算微分。变分和微分还是有很大差别的~~
                              回复
                                  变分和微分的区别我大致能理解一些。。。不过到具体的数学操作上我容易糊涂= =
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                                      回复：17楼
                                      恩哈~了解了~~

                                      回复：18楼

                                      再想了下，在引进了（q一点）=dq/dt之后，确实就只剩下了一个变量了。。
                                      不过现在就当做只有拉格朗日方程这个条件来看吧~~
                                      回复
                                          回复：18楼
                                          这个只有定量算一下才会理解，比如一个场量，它变化的时候不但自变量要变，场量本身也要变。场量的变化贡献的是变分，自变量的变化贡献的是微分~~
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                                              符号 S 在 "最小作用原理" 里叫 "作用量"(action), 是路径的泛函; 在 Hamilton-Jacobi 方程里叫 "哈密顿主函数"(Hamilton's principal function), 是 q 与 t 的函数.
                                              回复
                                                  哈密顿主函数。。。明白了，谢谢~
                                                  回复
                                                      回复：21楼
                                                      嗯 两者的意义不一样~
                                                      回复
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