斯托克斯公式 S与L 都是有向的，故 是有向长度微元

          外  微  分

                              尹 小 玲

 

以下仅在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算

微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分 ， ， ，其外积运算用 表示，如 与 的外积记为 ，它们满足以下运算法则：

（1） ，（ 是实数）；

（2）外积运算对加法有分配律，如 ；

（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如 ；

（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如 ；

（5）结合律， ；

， ， 在几何上可以理解为有向长度微元。

在几何上可以理解为有向面积微元， 在几何上可以理解为有向体积微元。因此，它们与 ， 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算 相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。而 在几何上是以 为边的平行四边形的面积，对应于

， ，

二、外微分式及其外微分式的外积运算

设 都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式

                                                         （1）

                                                     （2）

                                        （3）

                                                         （4）

例   阶外微分式与 阶外微分式的外积是 阶外微分式，当 时，外积为0。

证  两个一阶外微分式的外积

        

        

一阶外微分式与二阶外微分式的外积

         

       

         

         

        

其余显然成立。

 

三、多变量积分中的积分微元代换公式

利用外积运算，可以推导多变量积分变量代换公式中，微元的代换公式。

（1）二重积分中极坐标变换下的面积微元

在极坐标变换 ， 下，有公式

        

其中，面积微元有关系式     

自然它不是通过 的普通乘积得到的，但它可以用 的外积运算得到：

  

  

故                   

 （2）二重积分一般变量代换中的面积微元

在变换 ， 下，有公式

          

其中，面积微元有关系式：

   

同样，它符合 的外微分运算。事实上，

故        

（3）三重积分变量代换中的体积微元

     完全类似二重积分情形，（略）。

（4）第二型曲面积分计算公式

设曲面方程为      ， ，

则有公式

 

 

 

其中符号 视 的方向而定。注意到这里 都是有向的，而等式右边的 是无向的，利用二重积分变量代换中已证得的面积微元关系，有

， ，

取绝对值后，立即得到上述公式。

（5）第一型曲面积分中的面积微元

设曲面 的方程为 ， ，则有

               

其中 ， ， 。

因为

， ，

而 分别是 在三坐标面上的投影，则

      

特别，若曲面方程为     ， ，则

故

 

四、各阶外微分式的外微分运算

在三维空间中，对于系数是可微函数的各阶外微分式（1）~（4），定义其外微分：

    

 

注1  对基本外微分式的外微分，规定

         

在这个规定下，外微分算子 的作用类似与普通微分算子，即对每一项进行运算，在每一项中又分别对每个因子进行运算，其余因子不动。所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算，而普通微分算子在运算后进行普通乘积。例如

 

                   

注2  零阶外微分式的外微分就是普通的微分。

性质： 阶外微分式的外微分是 阶外微分式，三阶外微分式的外微分等于0，且它们与场论中的三度（梯度，旋度，散度）有如下联系：

   （1）

   ­（2）

                         

（3）

证 （1）显然成立。

（2）

 

     

（3）

 

五、牛顿-莱布尼兹公式，斯托克斯公式，格林公式，高斯公式的统一描述

（1）      牛顿-莱布尼兹公式

                     

其中 是 在 上的一个原函数。

若记 ，则 ，则牛顿-莱布尼兹公式可写为

                     

（2）      斯托克斯公式

或           

其中 是以分段光滑曲线 为边界的光滑曲面， 与 的方向遵从右手法则。

在这个公式中，由于 与 都是有向的，故 是有向长度微元， 是有向面积微元，若记 ，则

故斯托克斯公式可写为

 

格林公式作为斯托克斯公式的特殊情形，自然也具有上述形式。

（3）      高斯公式

        

或       

其中空间闭区域 以分片光滑曲面 为边界，曲面 取外侧。

在这个公式中，由于 是有向的，故 也可看作有向的。若记

则                 

故高斯公式可写为

 

综合上述，可以将上述各公式统一为

其中， 是 维区域，而 是 的边界（因而是 维的）， 是 阶外微分（因而 是 阶外微分）。

 

六、庞加莱（Poincare)引理及其逆

性质1 （庞加莱（Poincare)引理）设 是三维空间中任意外微分式，其系数有二阶连续偏导数，则

 

证 因为 ，

（1） 是零阶外微分式

（2） 是一阶外微分式

       

（3） 是二阶外微分式，则 是三阶外微分式，从而 。

（4） 是三阶外微分式，则，故 。

性质2 （庞加莱引理之逆）设 是三维空间中的 阶外微分式，其系数有一阶连续偏导数，且 ，则存在一个 阶外微分式，使得 。

证 （1）设 是一阶外微分式

故      

因为    是无旋场 是梯度场

存在零阶外微分式 ，使得

于是 

（2）设 是二阶外微分式 ，且

故        

因为   是无源场 是管量场

存在矢量 ，使得

记 ，则 是一阶外微分式，且    

。

（3）设 是三阶外微分式 ，且

令 ， 则 。

  从证明过程可见，庞加莱引理中 ，当 是零阶外微分式时，等价于场论中的 ；而当 是一阶外微分式时，等价于场论中的 。