外微分 外积 有向面积微元

有向面积微元

    外  微  分

                              尹 小 玲

 

以下仅在三维空间中讨论。

一、微分的外积运算

微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分 ， ， ，其外积运算用 表示，如 与 的外积记为 ，它们满足以下运算法则：

（1） ，（ 是实数）；

（2）外积运算对加法有分配律，如 ；

（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如 ；

（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如 ；

（5）结合律， ；

， ， 在几何上可以理解为有向长度微元。

在几何上可以理解为有向面积微元， 在几何上可以理解为有向体积微元。因此，它们与 ， 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。

把微分的外积运算与向量的外积运算 相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。而 在几何上是以 为边的平行四边形的面积，对应于

， ，