随感杂谈
关于弯曲时空的对话
·艾 丁·
甲：最近看到一些关于弯曲时空的讨论。我是学社会科学的，只具备高中水平的数学和物理知识，对于相对论的概念只是略知皮毛，所以许多文章我读起来不得要领。你是物理教师，能否做个科普介绍？
乙：我试试看。我虽然做过物理教师，但从未教过相对论。我尽可能少用专业术语。如果你有疑问，请随时提出。
甲：我猜想，在欧氏几何与非欧几何中，直线应当有不同的定义。
乙：在几何学里，所谓“下定义”，就是用已经具备确定含义的概念来界定尚未定义的概念。例如，你如何定义“三角形”？
甲：我把三角形定义为“首尾相接的三条线段构成的几何图形”。可以吗？
乙：当然可以。但是这个定义必须在界定“线段”之后才有意义。什么是“线段”呢？
甲：我记得中学的几何课本里说过，"线段是直线上任意两点间的部分”。
乙：什么是“点”，什么是“直线”呢？
甲：我不知道。但是我明白你是在说，几何体系中，“下定义”的链条势必有个终点，总有一些概念是无法“下定义”的。
乙：是这样。“点”，“直线”和“平面”就是无法在几何理论体系中定义的。当然，在几何体系之外，它们可能有某种形式的定义。
甲：在几何学中，这些无法定义的概念是如何被界定的呢？
乙：这些概念是用几何公理来界定的。
甲：我在中学读书时了解到一些。例如，“如果一条直线上有两个点在某一平面内，则这条直线上的所有点都在该平面内”，“不在同一直线上的三点确定一平面”，都是公理。
乙：就像这两个公理那样，所有的公理都没有直接定义“点”，“直线”和“平面”，但是它们描述了“点”，“直线”和“平面”之间的相互关系。所有公理一起，严格界定了这些在几何中原本无法定义的概念。
甲：我记得，在欧几里德几何中，第五公理就是所谓“平行公理”。这条公理是说，“在同一平面内，过直线外的一点可作且只可作一条直线与已知直线平行”。
乙：对。如果把第五公理改成，“在同一平面内，过直线外的一点至少可作两条直线与已知直线平行”，或者“在同一平面内，过直线外的一点的所有直线都与已知直线相交”，就得到不同种类的非欧几何。
甲：中学读书时，觉得这些公理可有可无，所说的都是显而易见的事实。
乙：这是中学生常有的误解。在几何学中，这些公理是至关重要的，并非可有可无。几何学的所有定理都是由这些公理推导出来的。任何一种几何学的公理，就是这种几何学的“宪法”。说到“显而易见”，那是因为你先入为主，把你早已被灌输的“点”，“直线”和“平面”的印象当成了几何中的“点”，“直线”和“平面”。
甲：我理解的“直线”就是“两端无限延长的，很直的，很细的线”，难道不对吗？
乙：既对又不对。在欧几里德几何中，直线的概念也许就是从“两端无限延长的，很直的，很细的线”抽象出来的。但是，当几何学的公理体系完成之后，事情就起了变化：直线可能看上去不“直”，平面可以看上去不“平”。
甲：找你的说法，在非欧几何中，直线未必是看起来“两端无限延长的，很直的，很细的线”。
乙：在几何中判断一条线“直”或“不直”，不是用直观，而应当以这种几何理论的公理为准。只要你选择来作为“点”，“直线”和“平面”的模型满足所有公理，那么几何学从这些公理推出的所有定理就都是成立的。
甲：有这样的“不直的直线”和“不平的平面”满足所有公理吗？你能举一个例子吗？
乙：例如，把球面当成“平面”，把球面上的大圆弧当成“直线”，把第五组公理写成，“在同一平面内，过直线外的一点的所有直线都与已知直线相交”，这样的球面就是一个二维的非欧空间。
甲：我有点明白了。但是，这个非欧几里德二维空间不就是三维欧几里德空间里的一个球面吗？有欧几里德几何就够用了。
乙：在这个例子里，的确既可以用欧氏几何，也可以用非欧几何来讨论。但是像这种低维非欧空间镶嵌在高维欧氏空间中的例子很少见。在一般情况下，想要用欧氏几何来讨论非欧空间，是不现实的。
甲：同样是地球表面的大圆或大圆弧，如果把地球表面看成二维非欧几里德空间，它就是直线；相反，如果把地球表面看成在三维欧几里德空间中球面，它就不是直线。哪种说法是正确的？
乙：两种说法都是正确的。从欧几里德几何观点看来，欧几里德空间中的直线是直的，非欧几里德空间中的直线是弯的。反过来，在非欧几何学中，则认为欧几里德空间中的直线是弯的，非欧几里德空间中的直线才是直的。
甲：那为什么人们常把欧几里德空间中的直线称为直线，把非欧几里德空间中的直线看成是弯曲的？
乙：这大概是因为科学史上先有欧氏几何，后有非欧几何，就造成了这种习惯。但欧氏几何和每种非欧几何之间是互相独立的，非欧几何无需在欧氏几何的基础上建立。原则上没有任何理由把一种“习惯”在理论上放在“优先”地位。
甲：能不能在非欧空间里划一条符合欧几里德几何要求的“直线”，以它为“标准”来判断非欧空间里的“直线”是否弯曲？
乙：不能。欧几里德空间中的直线是欧几里德空间中“最直”的线；非欧几里德空间中的直线也是该非欧几里德空间中“最直”的线。在非欧几里德空间中不存在比它更直的线。想要在非欧空间里划出符合欧几里德几何要求的“直线”，是办不到的。就像在地球表面不可能划出任何欧几里德几何意义上的直线。
甲：地球表面两点之间，难道不能透过地表划一条直线吗？
乙：透过地表划出直线已经在二维非欧几里德空间之外了。既然把地球表面看成二维非欧几里德空间，那么所有直线或曲线都被限制在这个二维空间里。事实上，大圆（或大圆弧）就是这个二维空间里“最直”的线。
甲：能不能用“两点之间距离最短的线”作为直线的定义呢？
乙：在几何学的公理体系里，不能用距离来定义直线，因为要先有“直线”的概念之后才可以定义“距离”。“两点之间以直线距离为最短”这一命题是一个定理而不是公理。它的最简单特例是“三角形任意两边之和大于第三边”，在中学平面几何教科书可以找到它的证明。
甲：在地球表面上，仅通过几何测量能够发现地球表面不是欧氏空间吗？
乙：理论上是可以的。例如，在欧几里德空间里，直角三角形的三条边长满足勾股定理，所谓“勾三股四弦五”。如果通过精确测量发现这个空间里的直角三角形边长与勾股定理不一致，就可以知道空间不是欧几里德空间。
甲：我想可以这样做。拿一个地球仪，在赤道上取一点A，从A出发沿赤道移动4个单位长度到B。这里的长度单位可以是1厘米，也可以是10厘米，但最好短于赤道长度的四分之一。从B点沿经线向北移动3个单位长度到C。沿大圆的走向，测量A和C两点间的距离。AC的长度应当小于勾股定理预言的5个单位长。从AC长度与勾股定理预言的差别，可以计算出地球仪的半径。
乙：我说的就是这个意思。当然其他一些定理也可以用来发现地球表面的弯曲。例如，测量圆的周长与直径之比，会发现比值小于圆周率3.14159...。如果测量一系列同心圆的周长与半径之比，就会发现圆越大，周长与半径之比就越小。
甲：我想，测量三角形的三内角和，会发现地球表面三角形的三内角和大于180度。
乙：无论用哪个定理来判断，测量手段必须达到足够的精度才行。
甲：正因为对精度的要求很高，古代人没有能力通过这样的途径发现地球表面的弯曲。
乙：在几何空间的数学理论中，如果采用不同的第五公理，就得到不同的几何体系。在数学中所强调的，就是自圆其说，没有自相矛盾。这些几何空间的公理体系不一定是现实空间中所满足的，但一定是可能满足的体系。
甲：我相信，非欧几何理论的建立，是数学史上的大手笔之一。但是在非欧几何理论建立之时，数学家也认为我们周围的空间是欧几里德空间，未曾预见到非欧几何有任何用武之地。
乙：数学家讨论着抽象的直线，并不在意真正的直线是什么；数学家讨论着抽象的空间，可能并不关心周围的空间是什么空间。但是，物理学必须正面回答，什么是直线，我们周围的空间是什么空间。
甲：数学家面对的可以是抽象的世界，但是物理学家面对的只能是真实的世界。
乙：物理中的时空弯曲的概念，始于爱因斯坦的广义相对论。我们知道在惯性参照系中的引力场的作用，可以等价地看成参照系在作加速运动。所以，在物理学中，可以完全避免“引力”的概念。爱因斯坦正是沿着这一思路，试图重新考虑引力的作用。这一思想引起了时空观的革命。
甲：我希望从基本问题谈起。例如，什么是物理中的直线？
乙：与几何学中直线的“定义”问题类似，在物理学中，我们必须谈论如何划出一条直线。比方说，你怎样在纸上画一条直线？
甲：我可以借助一根直尺划出一条直线。
乙：那么你应当问自己，这根“直尺”是“直”的吗？它是如何被校正的？
甲：用来校正“直线”的工具仍然需要被校正。照这样穷追下去，人做不出任何直线。
乙：归根结底，除了采用某一种物理现象作为“直线“之外，别无选择。
甲：中学物理中说过，光在真空中的路径是直线。
乙：物理学家早就注意到，光的波长很短，波动性在许多条件下的确可以被忽略。因此，把光在真空中的路径是当作直线，是一种方便而且实用的选择。但是，严格地说，定义直线的物理现象，应当是运动方程的解。
甲：在牛顿力学中，运动方程是牛顿第二定律F=ma。公式中的F是外力，包括万有引力。a是加速度。物体在空间的分布决定了物体之间的万有引力，反过来物体受力又决定了物体的加速度，从而确定物体的运动。
乙：在不受外力时，物体作匀速直线运动，这也可以作为在经典力学中的直线定义。在惯性参照系中，这个定义与光在真空中沿直线传播是一致的。
甲：在广义相对论里，运动方程是什么呢？
乙：是爱因斯坦场方程。在这个方程式中，引力项根本不出现。引力的作用是通过度量张量来体现的。度量张量是一个二阶四维对称张量，共有10个独立分量。如果度量张量是单位张量，空间就是欧几里德空间。如果度量张量在时空里不均匀，就反映了时空弯曲。
甲：我不很明白度量张量的概念。按我的理解，度量张量应大致是满足某种运算法则的量，它的10个独立分量分别描述了该点在各方向上的伸缩或扭曲变形。
乙：如果你只是想笼统地了解广义相对论，这样理解度量张量已经够了。
甲：时空的弯曲与物体的运动有什么关系呢？
乙：物体在时空的分布决定了时空每一处的度量张量，反过来，度量张量决定了物体如何运动。所以，在广义相对论中，运动的物体决定了时空如何弯曲，反过来，弯曲的时空决定了物体如何运动。
甲：你能不能说一下，爱因斯坦场方程怎样定义直线呢？
乙：这要用到张量分析理论中的一个概念，叫做“测地线”。在广义相对论中，测地线是由度量张量来定义的。如果物体除引力之外不受其他外力作用，它在四维时空里的轨迹就是一条“测地线”。
甲：在牛顿力学中，不受外力时物体运动的轨迹是直线。四维时空里的测地线好像可以看成在有引力存在条件下的直线的推广。你能举个“测地线”的例子吗？
乙：例如人造卫星绕地球转，除引力之外它不受其他外力作用。假定卫星在三维空间里的轨迹是圆，它在四维时空中的轨迹就是一条螺旋线。螺旋线相邻两圈之间的间隔，就是卫星绕地球一周所用的时间。这条螺旋线就是一条测地线。我们所观察到的卫星在三维空间里的轨迹，是四维时空中测地线在三维空间里的投影。
甲：光在四维时空里的轨迹也是一条“测地线”吗？
乙：光在四维时空里的轨迹也是一条“测地线”，而且是特殊的测地线，称为“零测地线”。如果光传播的过程中引力场没有发生变化，零测地线在三维空间里的投影就是我们在三维空间里观察到的直线。这个定义和前面的“光在真空中的轨迹是直线”的说法是一致的。
甲：我虽然没有完全理解测地线，但好像明白一些了。怎样更直观地描述时空弯曲的现象呢？
乙：在各处放许多同样的“尺”和同样的“摆”，用来测量各地的长度和时间。为了简化我们的叙述，这里只用三把尺和一只摆来代表度量张量。暂且假定这三把尺能自动调整方向，一把尺平行于引力场强度，另两把尺垂直于引力场强度，近似反映出空间不同方向的收缩。
甲：你是希望用这些尺和摆来近似描述时空度量张量吧？这样的描述好像不很严格。度量张量有10个独立分量，三把尺和一只摆，最多只能代表四个分量。
乙：三根尺加上一只摆的确不能完全描述度量张量。有时候尽管尺和摆都没有改变，度量张量仍然可能改变了。但是如果尺或摆改变了，则度量张量一定改变了。这个例子的目标只是定性地描述时空弯曲的现象，而不是做定量的计算。尽管这样的描述不很严格，但是比较直观，因此有助理解基本概念。
甲：有道理。
乙：如果整个空间没有引力场，那么所有的尺都是等长的，所有的摆都是同步的，我们把这样的时空称作是“平直”的，或者“均匀”的。
甲：这是因为引力场不存在时，参照系就是惯性参照系。
乙：如果整个空间的引力场强度都相同，但不是零，那么平行于引力场的所有尺仍然等长，垂直于引力场的所有尺也仍然等长，所有的摆仍然同步。但是由于引力场的存在，所有摆都比惯性坐标系里的摆慢，平行引力场的尺同垂直引力场的尺长度不会相等，它们中至少有一个比惯性坐标系里的尺短。
甲：于是，时空是弯曲的，但由于引力场强度是均匀的，所以空间是“均匀”弯曲的。
乙：这样的时空可以通过一个坐标变换，把整个空间的引力场强度都变成零。变换后的时空仍然是平直的。
甲：这里说到的“没有引力场”或“均匀引力场”都是假想的条件。但是，我们周围的空间不满足这样的条件。
乙：我们知道，宇宙是非常不均匀的，巨大恒星的周围引力场很强，而远离星球的空间的引力场很弱。引力场强度在各处差别极大。所以各地的尺就不再等长，摆就不再同步。
甲：这就是说，我们生活在弯曲的空间里，它不是欧几里德空间。
乙：当然，以上的讨论实际上仍然使用三维空间的图像。如果这个理念用在四维时空中，引力场强度不仅与空间有关，也与时间有关，时空弯曲的概念就更准确了。
甲：对于这样的弯曲时空，能否通过一个坐标变换，把整个时空的引力场强度都变成零？
乙：不能把整个时空的引力场强度都变成零，但是可以把一小块局域时空的引力场强度近似变成零。这就是爱因斯坦说过的局域惯性参照系。例如，人造卫星就是一个很好的局域惯性参照系。
甲：四维时空不容易想象。如果你能举一个三维时空的例子，就更好了。
乙：设想一个很大的圆盘，参照系就固定在圆盘上。圆盘是个二维空间，加上时间轴，就是三维时空。三维时空里的度量张量有6个独立分量。从圆盘中心到圆盘的边缘，沿半径取一系列观测点，在每个观测点放上一把同样的尺和一只同样的摆。尺要沿垂直于半径的方向摆放。如果圆盘静止，所有的尺都是等长的，所有的摆都是同步的。
甲：这是因为圆盘是惯性参照系，而且整个空间没有引力场。
乙：为了让参照系中出现引力场，可以让圆盘以圆心为轴匀速转动。匀速转动的参照系里就有惯性离心力。离心力从圆心沿半径指向圆外。惯性离心力就起到引力场的作用。离圆心越远，离心力越大，所以引力场不是均匀的。
甲：你能不能就这个三维时空例子进一步讲解一下测地线的概念？
乙：停在圆盘中心不动的物体，在三维时空里的轨迹是一条平行于时间轴的直线，这就是静止物体的“测地线”。
甲：如果圆盘中心的物体有一个初速度，速度方向当然指向圆盘外沿。物体会怎样运动呢？
乙：圆盘外沿的线速度比较大，所以这个物体向外沿运动的时候会逐渐跟不上圆盘的转动而滞后，在圆盘上留下曲线轨迹。你能想象测地线的样子吗？
甲：这条轨迹上的每个点都对应着物体经过该点的时刻。如果把轨迹上的每个点都沿时间轴相应移动，就得到测地线。
乙：正确。物体的初速度越大，它的运动轨迹的滞后就越小，同时测地线在时间轴方向的移动也越小。
甲：如果一束光从圆盘中心发出，就得到光的测地线。它在时间轴的方向也有相应的移动。但是，与那些以日常生活中常见的速度运动的物体的测地线相比，光的测地线在时间轴的方向的移动微乎其微。
乙：对。光的测地线就是“零测地线”。零测地线在二维空间里的投影就定义了直线。
甲：我现在比较明白测地线的概念了。
乙：不论是通过广义相对论的计算，还是通过精心设计的实验测量，结论都是，离圆盘中心越远的地方，尺越短，摆越慢。放在圆心的尺的长度不变，摆的周期也不变，与惯性参照系里的尺等长，摆同步。所以，在旋转的参照系中，时空不再是均匀的。
甲：你曾经说，光在真空中走直线。但人们常说，光在引力场中会弯曲。那么，光究竟走直线还是不走直线？
乙：物理中把光在真空的路径当作直线，这实际上是物理中给直线下的“定义”。引力场中的光的路径仍然是某种非欧几何中的直线。至于通常说光在引力场中弯曲，是遵照人们的习惯，把欧几里德空间中的直线称为直线，把非欧几里德空间中的直线看成是弯曲的。
甲：既然在引力场中光的路径会弯曲，能不能用其他方式划出一条更“直”的线来呢？
乙：不能。由于引力场的存在，空间已经不再是欧几里德空间了。前面曾经讨论过，非欧几里德空间中的直线是该空间中“最直”的线，不存在比它更直的线。想要在非欧空间里划出符合欧几里德几何要求的“直线”，是办不到的。
甲：在刚才讨论过的旋转圆盘参照系中，能通过几何测量发现时空弯曲吗？
乙：可以。由于离圆盘中心越远的地方，尺越短，所以圆的周长收缩了。只要测量一系列同心圆的周长与半径之比，就会发现圆越大，周长与半径之比就越小。
甲：我想起来了。这个现象与人们在地球表面测量地面弯曲的例子很相似。这说明，圆盘匀速转动的时候，圆心附近的平面变成了曲面。
乙：对。你还有什么问题吗？
甲：如果，我是说“如果”，在宇宙诞生之际，有一种不“和谐”的机制，造成太阳系与现在所见到的不同。第一，地球没有任何卫星，地球是太阳系唯一的行星，地球绕太阳的轨道是严格的圆，而且地球自转的周期恰好等于公转的周期。第二，就是光的速度只有现在的光速的万分之一。在这种条件下，我们会怎样认识周围的世界呢？
乙：我明白你说的第一条在于强调，除了地球表面上物体运动之外，其他因素在地球周围造成的引力场是恒定的，不随时间发生变化。而第二条在于强调引力场的影响十分明显，不可忽视。
甲：是这样。
乙：这是个很有趣的问题。我恐怕做不出圆满的答案。让我们一起来讨论吧。
甲：首先，人们依然会以光在真空中的轨迹作为直线。
乙：我同意，因为没有任何其他物理现象可以更好地定义直线。在这个星球上，中学生在数学课堂上学习的就应当是非欧几何，例如某种罗巴切夫斯基几何，物理课堂上学习的应当是爱因斯坦广义相对论在恒定引力场中的特殊情况。中学生人手一册“地球表面度量张量表”。
甲：后来欧几里德发现，把第五公理改写成“在同一平面内，过直线外的一点可作且只可作一条直线与已知直线平行”，就可以得到一种全新的几何学，即“非罗几何学”。但是数学系的学生普遍反映非罗几何学很难懂。
乙：不久以后，牛顿从苹果落地的现象得到启发，发现自由落体运动可能造成局域惯性参照系，在这种参照系里，空间的度量张量可以用“万有引力”来代替，于是物理定律有极为简单的表达。但是，在惯性坐标系里，“直线”不是直的，空间是弯曲的，非罗几何才是适合惯性参照系的几何学。物理系的学生觉得牛顿力学是物理学中最头疼的部分。
甲：好了，我们杜撰的故事到此为止吧。这次讨论对我很有帮助。谢谢你的详细讲解。
乙：不客气。我只是介绍了自己对非欧几何和弯曲时空的理解，错误在所难免。希望你有机会得到真正行家的指点。
□ 读者投稿
刊登在 2011
华夏快递 kd110303.
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