波
在空间以特定形式传播的物理量或物理量的扰动。由于是以特定的形式传播，这个物理量（或其扰动，下同）成为空间位置和时间的函数,而且是这样的函数,即在时间t出现在空间r处周围的分布,会在时间(t+t┡)出现在空间(r+vt┡)的周围。
v一般说是个常矢量,就是有关物理量（或其扰动）的传播速度。物理量函数称为波函数，数学上它是一个叫波动方程的在特定边界条件下的解。
编辑摘要
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某一物理量的扰动或振动在空间逐点传递时形成的运动。不同形式的波虽然在产生机制、传播方式和与物质的相互作用等方面存在很大差别，但在传播时却表现出多方面的共性，可用相同的数学方法描述和处理。
波动是物质运动的重要形式，广泛存在于自然界。被传递的物理量扰动或振动有多种形式，机械振动的传递构成机械波，电磁场振动的传递构成电磁波(包括光波)，温度变化的传递构成温度波（见液态氦），晶体点阵振动的传递构成点阵波（见点阵动力学），自旋磁矩的扰动在铁磁体内传播时形成自旋波（见固体物理学），实际上任何一个宏观的或微观的物理量所受扰动在空间传递时都可形成波。最常见的机械波是构成介质的质点的机械运动（引起位移、密度、压强等物理量的变化）在空间的传播过程，例如弦线中的波、水面波、空气或固体中的声波等。产生这些波的前提是介质的相邻质点间存在弹性力或准弹性力的相互作用，正是借助于这种相互作用力才使某一点的振动传递给邻近质点，故这些波亦称弹性波。电磁场的振动在空间传递时依靠的是电磁场本身的规律，毋需任何介质的存在，故电磁波（包括光波）可在真空中传播。振动物理量可以是标量，相应的波称为标量波（如空气中的声波），也可以是矢量，相应的波称为矢量波（如电磁波）。振动方向与波的传播方向一致的称纵波，相垂直的称横。[1]
波的形式是多种多样的。它赖以传播的空间可以是充满物质的，也可以是真空（对电磁波而言）。有些形式的波能为人们的感官所感觉，有些却不能。人们最熟悉的是水面波,它有几种类型。例如,在深水的表面，有主要以重力为恢复力的表面波，典型波长为1米到100米;有主要以表面张力为恢复力的涟波,波长约短于0.07米。这两种波常具有正弦形状。在深水内部则有内重力波，出现在海洋内有密度分层的区域。
波在空间和时间的分布，也就是波函数的函数形状。波函数一般可写成F(r±vt),其中r是矢径的幅值，＋号和－号分别表示波沿正和负r方向传播，v是波的传播速率。F可以是各种各样的函数。 平面波、柱面波和球面波
F 函数的形式有多种多样。一种很简单的函数是正弦或余弦，即波函数F(r±vt)是
实际波的波形在时空上可以是重复变化的，但不会没完没了地重复。它们一般并非正、余弦形的，例如可以是锯齿波。
行波动力学方程
将平面波的波函数对空间和时间求导，可得
——波动方程，各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。 若 y1，y2 分别是它的解，则 （y1＋y2）也是它的解， 即上述波动方程遵从叠加原理。
波动方程推导（以一维纵波为例）
取棒中任一小质元原长 dx，质量为 dm=ρSdx 受其它部分的弹性力为 f 和 f+df， 质元的运动学方程为：
根据弹性模量的定义：
代入运动方程得：
这是波（确切地讲指线性波，见下文）的一个很重要的属性。如果有两列以上的同类波在空间相遇，在共存的空间内，总的波是各个分波的矢量和（即相加时不仅考虑振幅，还考虑相位），而各个分波相互并不影响，分开后仍然保持各自的性质不变。叠加性的依据是，（线性）波的方程的几个解之和仍然是这个方程的解；这个原理称叠加原理。
干涉
波在传播中遇到有很大障碍物或遇到大障碍物中的孔隙时，会绕过障碍物的边缘或孔隙的边缘，呈现路径弯曲，在障碍物或孔隙边缘的背后展衍，这种现象称为波的衍射。波长相对障碍物或孔隙越大，衍射效应越强。图2中给出了光波遇到圆孔时所产生的衍射。衍射是波叠加的一个重要例子。边缘附近的波阵面分解为许多点波源,这些点波源各自发射子波,而这些子波之间相互叠加，从而在障碍物的几何阴影区内产生衍射图案。这里子波的概念，是更普适的惠更斯原理的一个应用。
惠更斯原理
波阵面上的各点可以看作是许多子波的波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。原理的示意图见图3（见惠更斯－菲涅耳原理）。
以弹性棒中的简谐横波为例来分析：
有一行波：
质元的速度：
质量为 Δm 的媒质其动能为：
单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变平方乘积的一半
代入上式得在 ΔV 体积内其势能为： 总机械能为：
波的强度
能流P—单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
设波速为 u，在 Δt 时间内通过垂直于波速截面 ΔS 的能量:
w—能量密度，所以能流为：
能流随时间周期性变化，总为正值，在一个周期内能流的平均值称为平均能流
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。
（声学中声强就是上述定义之一例 ） 能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
波的某些性质，包括波的叠加性，是有条件的。主要条件是波要是线性的。上面，以及通常，没有强调这个条件，是因为通常讨论的波，如一般的声波和光波，几乎全是线性的。但实际中也有不少波是非线性的。这时情况就有些变动。
提起波时一般含意指不断前进的波，但在特殊情况，也可以建立起似乎囚禁在某个空间的波。为了区分，称前者为行波，称后者为驻波。
两列振幅和频率都相同，而传播方向相反的同类波叠加起来就形成驻波。常用的建立方法是让一列入射波受到媒质边界的反射，以产生满足条件的反向波，让二者叠加形成驻波。例如，简谐波在驻波腔（图5）内来回反射，驻波腔的长度是半波长的整数倍，腔端每个界面在反射时产生π相位差。驻波中振幅恒为零的点称为波节，相邻波节相距半个波长，两个波节之间的振幅按正弦形分布。振幅最大的点称为波腹。
驻波的应用也很广，如管弦乐器便利用了驻波。此外它还导出了一个重要的概念，即频率的分立。要求两个界面之间的距离(d)是半波长的整数倍(n)，可以理解为，只有那些频率为n(v/2d) 的波才能建立驻波。这个频率分立的概念对量子力学的创立曾起了启发作用。
波在传播过程中，除在真空中，是不可能维持它的振幅不变的。在媒质中传播中，波所带的能量总会因某种机理或快或慢地转换成热能或其他形式的能量，从而不断衰弱，终至消失。反过来，有时可以人为地把其他形式的能量连续供给传播中的波，如微波行波管中的慢电磁波或压电半导体内的超声波，使这些波不仅不减弱，而且还增强。但是，如不补给能量，媒质中传播的波总会逐渐衰减的。不同种类的波在不同种类媒质中的衰减机理是很不一样的。即使同一种波在同一种媒质里传播时，衰减的机理也可能随频率而异。
均匀（宏观看）而各向同性的媒质是简单的传播媒质，不少的媒质要复杂些。有些媒质是各向同性的但是不均匀。一个简单的例子是海洋中的水，由于温度、盐度、随深度而增长的压强等因素，海水带是分层的。声波的传播速度是这些因素的函数，因此随层而异，其结果是声波的传播途径远不是直线。有可能在声源前方海洋中出现没有声波的区域。比分层更不均匀的媒质，在海洋中以及在其他环境中，也是常见的。 媒质又可能是均匀但各向异性的。单晶是这类媒质。一束光射入像方解石那样的单轴晶体时，会分裂成两束光，其中一束遵守普通的折射定律，称寻常光，另一束则不遵守，称非寻常光。寻常光和非寻常光的偏振面是互相垂直的。这个现象叫双折射。同它相类似，有所谓锥形折射现象，这发生在光沿着晶体的光轴射入像霰石那样的双轴晶体时。当细束光垂直射入这样一个平块晶体，会因锥形折射而在晶体的背面出射成一圈光。可以指出，对于声波同样能观察到这样的形象。
波以它的叠加、干涉、衍射、能量在空间和时间上连续铺展等特征而在通常概念中区别于具有集中质量的粒子,像雨滴、枪弹那样的粒子。可是,在20世纪初期，一些实验和理论表明,已确定为波的光,在和物质作用时，却表现出粒子的性质。在黑体辐射、光电效应、X 射线的自由电子散射（康普顿效应）等实验现象中，不把光看作粒子，便无法解释这些现象。例如，在光电效应中，用波的概念无法解释为什么光电子的最大动能和入射光的强度并无关系,却和光的频率有关,为什么光电子会在光入射的刹那间从金属表面射出等等现象。在上述实验情况下，光的能量是不连续的，是量子化的。也就是说，光是量子，称为光子,它的能量是hv，h是普朗克常数，v是光的频率。 同光类似，一般称为声波的声，当波长很短时，也明显表现为粒子，称为声子。不过电子只存在于物质中，是物质振动的整体效应，与光子是不同类型的。
因此，波又有粒子性，在碰撞时遵守能量和动量守恒定律。这种情况一般发生在波与物质有相互作用时。另一方面，静止值量不为零的微观粒子，在传播时也会具有波的特性。这样扩大了波的范围。
波动方程以数学语言来表达波的特征，它给出了波函数随空间坐标和时间的变化关系。通过对带有特定的边界条件的波动方程求解，能够深入刻划波的传播规律，认识波的本质。波动方程可以分为经典的和量子力学的两类。
经典的波动方程 是线性二次偏微分方程，它的一般形式是
，
这里v是带有速度量纲的参量，F(r
,t)是一个可观测的物理量，即波函数，r
是空间坐标，t是时间,墷是拉普拉斯算符，根据需要可用不同的坐标表示。对于具体的问题，波动方程可能简化。例如，对于均匀各向同性的媒质中的点波源，波函数只同矢径有关，这时波动方程可以简化成
,
弦上的波动方程是最简单的一类
,
ξ(x,t)是质点位移。ξ在流体中传播的平面声波的波动方程也具有相同的形式。
。
电磁波的波动方程可以写为
，
，
E和H分别是电场强度和磁场强度，v是相速，在真空中v＝с，是为2.99792458×10米／秒的常数，在介质中v＝с/n，n是介质的折射率。
，
①在不同介质的界面上能产生反射和折射，对各向同性介质的界面，遵守反射定律和折射定律（见反射定律、折射定律）；
②通常的线性波叠加时遵守波的叠加原理（见光的独立传播原理）；
③两束或两束以上的波在一定条件下叠加时能产生干涉现象（见光的干涉）；
④波在传播路径上遇到障碍物时能产生衍射现象（见光的衍射）；
⑤横波能产生偏振现象（见光的偏振）。
波的传播总伴随着能量的传输，机械波传输机械能，电磁波传输电磁能。单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的能量称为波的能流密度，常用来描述波的强度，能流密度与振幅的平方成正比。一般情况下必须区分波的相位传播方向和能量传播方向。相同相位（即波面）的传播方向与波面垂直，称为波的法线方向，相位（或波面）的传播速度称为相速度或法线速度。对各向同性介质，波的法线方向与能量传递方向合二为一，相速度和能量传播速度也相同。对各向异性介质，波的法线方向与能量传播方向一般不重合，相速度与能量传播速度也不相等。 在波动过程中，媒质的各个质点只是在平衡位置附近振动，并不沿着振动传播的方向迁移。因此，波是振动状态的传播，不是物质本身的传播。
物理上分类：
按性质分：两种---------机械波、电磁波。机械波是由扰动的传播所导致的在物质中动量和能量的传输。一般的物体都是由大量相互作用着的质点所组成的，当物体的某一部分发生振动时，其余各部分由于质点的相互作用也会相继振动起来，物质本身没有相应的大块的移动。例如，沿着弦或弹簧传播的波、声波、水波。我们称传播波的物质叫介质，它们是可形变的或弹性的和连绵延展的。对于电磁波或引力波，介质并不是必要的，传播的扰动不是介质的移动而是场。
按振动方向与传播方向的关系来分：三种--------横波、纵波、球面波。质点振动的方向跟波的传播方向垂直的波叫横波，质点振动的方向跟波的传播方向平行的波叫纵波。
按波的形状来分：不定，波的形状象什么，就叫什么波。如方波(有的也叫矩形波)、锯齿波、脉冲波、正弦波、余弦波等。
按波长来分：长波、中波、中短波及微波。
按强度来分：常波(普通波)、冲击波。
波动是物质运动的重要形式，广泛存在于自然界。被传递的物理量扰动或振动有多种形式，机械振动的传递构成机械波，电磁场振动的传递构成电磁波(包括光波)，温度变化的传递构成温度波（见液态氦），晶体点阵振动的传递构成点阵波（见点阵动力学），自旋磁矩的扰动在铁磁体内传播时形成自旋波（见固体物理学），实际上任何一个宏观的或微观的物理量所受扰动在空间传递时都可形成波。最常见的机械波是构成介质的质点的机械运动（引起位移、密度、压强等物理量的变化）在空间的传播过程，例如弦线中的波、水面波、空气或固体中的声波等。产生这些波的前提是介质的相邻质点间存在弹性力或准弹性力的相互作用，正是借助于这种相互作用力才使某一点的振动传递给邻近质点，故这些波亦称弹性波。电磁场的振动在空间传递时依靠的是电磁场本身的规律，毋需任何介质的存在，故电磁波（包括光波）可在真空中传播。振动物理量可以是标量，相应的波称为标量波（如空气中的声波），也可以是矢量，相应的波称为矢量波（如电磁波）。振动方向与波的传播方向一致的称纵波，相垂直的称横。[1]
波的形式是多种多样的。它赖以传播的空间可以是充满物质的，也可以是真空（对电磁波而言）。有些形式的波能为人们的感官所感觉，有些却不能。人们最熟悉的是水面波,它有几种类型。例如,在深水的表面，有主要以重力为恢复力的表面波，典型波长为1米到100米;有主要以表面张力为恢复力的涟波,波长约短于0.07米。这两种波常具有正弦形状。在深水内部则有内重力波，出现在海洋内有密度分层的区域。
固体里不断发生着波动。从大的实物讲，如地球上经常出现地震波；从小的实物讲，如晶体的原子点阵间无时不在传动的点阵波。对具有特殊物理性质的固体材料，还可以激发一些特殊的波：如在压电材料里可有电声表面波；在铁磁材料里可有自旋波、磁弹波等。在等离子体里也可以激发一些不同类型的波。在地球的电离层内,由于随流体运动的磁场线对流体施加磁压,并由于流体压能够自动调整以平衡变化着的磁压，于是可以激发沿着磁场线传播的一种磁声波。这只是等离子体内可以产生的许多类型波之一。等离子气体内还可以有，例如，等离子体-电子波，等离子体-离子波等等。固体里也可以充满载流子，形成等离子体，因而可以激发一些具有特征的波，如阿
包括光波的电磁波，是同人类生活关系最密切的波之一。它不仅可以在流体、固体和等离子体内传播，在真空中会照样传播。宇宙中充塞各种光和各种射电。广义相对论还预言存在引力波。据认为，一种较强的引力波源是双星体系。有质量的粒子也具有波的性质，于是有所谓物质波，如电子波、中子波（见波粒二象性）。
波是宇宙中极广泛的现象。波的概念是物理学中少数极其重要的统一概念之一；实用上，波是信息的载体。 波在空间和时间的分布，也就是波函数的函数形状。波函数一般可写成F(r±vt),其中r是矢径的幅值，＋号和－号分别表示波沿正和负r方向传播，v是波的传播速率。F可以是各种各样的函数。 平面波、柱面波和球面波
空间直角坐标系(x,y,z)中，如果r＝x,则在同一个y-z平面上,波在任一点都有同样的值，这种波叫平面波。如果
，这时形成柱面波。如果
，这时就形成球面波，一个点波源所辐射的波，一般是球面波。三类波见图1。波传播方向的单位矢量叫波矢。波源总是在一定的时间开始发射波的，因此波总有前沿。波的前沿曲面叫波阵面。
简谐波 ，这时形成柱面波。如果，这时就形成球面波，一个点波源所辐射的波，一般是球面波。三类波见图1。波传播方向的单位矢量叫波矢。波源总是在一定的时间开始发射波的，因此波总有前沿。波的前沿曲面叫波阵面。 
F 函数的形式有多种多样。一种很简单的函数是正弦或余弦，即波函数F(r±vt)是
这种波叫简谐波。这种波在空间和时间上都是无限地重复变化的;在空间以波长λ重复,在时间上以
重复，T称周期。
称频率,频率是个很重要的量,光波的颜色便决定于频率。A称幅度或振幅,变量
称相位,v称相速度,
称波数,ω＝2πf是圆频率。零时刻的相位称初相位。正弦形式和余弦形式的简谐波只相差一个
的初相位，并没有实质性差别。在某个时刻其上各点相位取等值的曲面称为等相面，平面波、柱面波和球面波的等相面分别是平面、柱面和球面。波的波阵面一般是等相面。
简谐波具有时空上无限重复的波形，这只能是理想的波，或说数学上简化的波，因为实际的波不可能在空间无头无尾,在时间上无始无终。因此,单一频率也是理想化的概念，实际上只有近似的单频波或准单色波。但这个理想化的波十分重要，因为任何实际存在的波可以看作是许多不同简谐波的和。
重复，T称周期。称频率,频率是个很重要的量,光波的颜色便决定于频率。A称幅度或振幅,变量称相位,v称相速度,称波数,ω＝2πf是圆频率。零时刻的相位称初相位。正弦形式和余弦形式的简谐波只相差一个的初相位，并没有实质性差别。在某个时刻其上各点相位取等值的曲面称为等相面，平面波、柱面波和球面波的等相面分别是平面、柱面和球面。波的波阵面一般是等相面。
实际波的波形在时空上可以是重复变化的，但不会没完没了地重复。它们一般并非正、余弦形的，例如可以是锯齿波。
行波动力学方程
将平面波的波函数对空间和时间求导，可得
——波动方程，各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。 若 y1，y2 分别是它的解，则 （y1＋y2）也是它的解， 即上述波动方程遵从叠加原理。
波动方程推导（以一维纵波为例）
取棒中任一小质元原长 dx，质量为 dm=ρSdx 受其它部分的弹性力为 f 和 f+df， 质元的运动学方程为：
根据弹性模量的定义：
代入运动方程得：
结论：任何物理量只要满足上述方程，则它一定按波的形式传播。而且对时间偏导数系数的倒数就是波速的平方。[2]
波函数所表示的物理量（或其扰动）可以是标量,也可以是矢量，所以F可以是矢量。电磁波的有关物理量是电场或磁场，而这些都是矢量。固体中声波的质点位移也是矢量。波的这个物理量如果同波的传播方向（波矢）是平行的，波称为纵波，如流体中的声波；如果是垂直的，波称为横波，如光波。有时相应物理量既有平行于传播方向的成分,也有垂直的成分,如波导内电磁波的电场或磁场。
波具有一些独特的性质，从经典物理学的角度看，明显地不同于粒子。这些性质主要包括波的叠加性、干涉现象、衍射现象等。
叠加性 
这是波（确切地讲指线性波，见下文）的一个很重要的属性。如果有两列以上的同类波在空间相遇，在共存的空间内，总的波是各个分波的矢量和（即相加时不仅考虑振幅，还考虑相位），而各个分波相互并不影响，分开后仍然保持各自的性质不变。叠加性的依据是，（线性）波的方程的几个解之和仍然是这个方程的解；这个原理称叠加原理。
干涉
由于叠加，两列或两列以上具有相同频率、固定相位差的同类波在空间共存时，会形成振幅相互加强或相互减弱的现象，称为干涉。相互加强时称为相长干涉，相互减弱时称为相消干涉。
衍射 波在传播中遇到有很大障碍物或遇到大障碍物中的孔隙时，会绕过障碍物的边缘或孔隙的边缘，呈现路径弯曲，在障碍物或孔隙边缘的背后展衍，这种现象称为波的衍射。波长相对障碍物或孔隙越大，衍射效应越强。图2中给出了光波遇到圆孔时所产生的衍射。衍射是波叠加的一个重要例子。边缘附近的波阵面分解为许多点波源,这些点波源各自发射子波,而这些子波之间相互叠加，从而在障碍物的几何阴影区内产生衍射图案。这里子波的概念，是更普适的惠更斯原理的一个应用。
惠更斯原理
波阵面上的各点可以看作是许多子波的波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。原理的示意图见图3（见惠更斯－菲涅耳原理）。
相干性
同干涉有关的是波的相干性。这是在激光出现前后，特别是之后，引起人们重视的一个概念。并不是任意的两列波都可以产生干涉，而需要满足一定的条件，称为相干条件，主要是要有相同的频率和固定的相位差。两个普通光源产生的光波很难产生干涉。因为光源有一定的面积，包含了许多的发光中心，而对于普通光源，这些发光中心发光时并不协调，相互间并无联系。为此，在经典的杨氏干涉实验中，有必要从同一个光源分出两束光波，以取得干涉。激光器则不然，它的多发光中心是相位关联的，它所发射的波虽还不是单频，但频带非常窄。这样，人们说普通光源所辐射的波相干性差，而激光器所辐射的则相干性好。一个波的相干性实际上是这个波能够到什么精确程度用简谐波来代表的描述。这是个定性的提法。要定量地描述相干性（严格讲是相干程度），需要用统计观点，用两点上不同时刻间扰动的时间平均。可以在一定程度上把相干性分成两个部分：一个是空间相干性，起因于光源占据有限空间；一个是时间相干性，起因于辐射波的有限频宽。 几个波可以叠合成一个总的波,反之,一个波也可以分解为几个波之和。根据傅里叶级数表示法，任何一个函数都可以表示为一系列不同频率正弦和余弦函数之和，所以任何波形的波都可以归结为一系列不同频率简谐波的叠加。这种分析方法称频谱分析法，它为认识一些复杂的波动现象提供了一个有力的工具。 波的能量
所有的波都携带能量。水面波把水面的上下振动传给波阵面前方原来是静止的水面，这意味着波带有动能和势能。波所携带的能量常用波内单位体积所具有的能量来计量，叫波的能量密度。在单位时间内通过垂直于波矢的单位面积所传递的能量叫波的强度或能流密度，它是波的能量密度和波的传播速度的乘积。
当弹性波传播到介质中的某处时,该处原来不动的质点开始振动,因而具有动能,同时该处的介质也将产生形变,因而也具有势能以弹性棒中的简谐横波为例来分析：
有一行波：
质元的速度：
质量为 Δm 的媒质其动能为：
单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变平方乘积的一半
代入上式得在 ΔV 体积内其势能为： 总机械能为：
波的强度
能流P—单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
设波速为 u，在 Δt 时间内通过垂直于波速截面 ΔS 的能量:
w—能量密度，所以能流为：
能流随时间周期性变化，总为正值，在一个周期内能流的平均值称为平均能流
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。
（声学中声强就是上述定义之一例 ） 能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
波的某些性质，包括波的叠加性，是有条件的。主要条件是波要是线性的。上面，以及通常，没有强调这个条件，是因为通常讨论的波，如一般的声波和光波，几乎全是线性的。但实际中也有不少波是非线性的。这时情况就有些变动。
线性是个数学名词。应变量与自变量成正比这么一个关系叫线性关系；否则是非线性关系。波里的物理量（或其扰动）如果足够小，以致运动方程中物理量的二次项和高于二次的项，比起一次项来可以忽略不计，那么，对波的性质和行为起决定作用的，是一次项。按照线性的含意，这种波称线性波。自然界不那么简单，把一些现象限制在线性范围内。但凑巧，在许多种类的波中，人类生活中最常遇到的，正是这种用线性关系可以表达的波，如一般的（不是所有的）水波、声波、光波等。这样，在人们对波的了解过程中，首先突出了线性波。
在对于常见的波取得了一定的认识之后，人们对其他的实际波着手探讨，发现不少是非线性波。即使习见的一些波也有时是非线性的。人们用来谈话的声波是线性波。飞机以超声速运行所形成的冲击波或轰声却是非线性波。又如，大振幅电磁波在某些晶体内会产生倍频、参量振荡、参量放大等等，这就不是普通的线性电磁波所能做到的了。近年来引人重视的孤立子，是早在19世纪就注意到的非线性水波的延伸。和前面关于线性波的讨论相比，非线性波的一个突出的性质是叠加原理不成立。
[3]
波在不同的环境中的传播情况不尽相同。
反射、折射和散射 
在均匀的媒质中，波沿直线传播。传播中波可能遇到新的环境。一个简单的情况是波由一种均匀的媒质射向另一种均匀媒质，而且两个媒质的界面是平面的。入射到界面的波（入射波），一部分在界面上被反射回第一媒质（称为反射波），另一部分则折入第二媒质(称为折射波)。众所周知，反射角恒等于入射角，而折射角的大小依赖于两个媒质的有关物理量的比。对于电磁波，这个物理量是介电常数同磁导率的乘积的平方根。对于其他的波有时情况要复杂些。例如，当固体中声波从一个固体媒质投射到另一固体媒质时，在第一媒质中，入射波将被反射出两个波，而不是一个，其中一个是纵波，一个是横波。进入第二媒质时也将折射出两个波（图4）。两种反射波的反射角和两种折射波的折射角都有一定的规律。
当波在传播中遇到一个实物，这时不仅出现单纯的反射和折射，还将出现其他分布复杂的波，包括衍射波。这种现象统称散射（在有些文献里，散射同衍射两个概念是不严格区分的）。用雷达追踪飞机，用声呐探寻潜艇，便属于这个情况。
行波和驻波 提起波时一般含意指不断前进的波，但在特殊情况，也可以建立起似乎囚禁在某个空间的波。为了区分，称前者为行波，称后者为驻波。
两列振幅和频率都相同，而传播方向相反的同类波叠加起来就形成驻波。常用的建立方法是让一列入射波受到媒质边界的反射，以产生满足条件的反向波，让二者叠加形成驻波。例如，简谐波在驻波腔（图5）内来回反射，驻波腔的长度是半波长的整数倍，腔端每个界面在反射时产生π相位差。驻波中振幅恒为零的点称为波节，相邻波节相距半个波长，两个波节之间的振幅按正弦形分布。振幅最大的点称为波腹。
驻波的应用也很广，如管弦乐器便利用了驻波。此外它还导出了一个重要的概念，即频率的分立。要求两个界面之间的距离(d)是半波长的整数倍(n)，可以理解为，只有那些频率为n(v/2d) 的波才能建立驻波。这个频率分立的概念对量子力学的创立曾起了启发作用。
色散和群速度
在通常的媒质中，简谐波的相速度是个常数。例如,不论什么颜色的光在真空中的相速,总是恒量，等于 2.99792458×10米／秒。但在某些媒质中，相速度因频率（或波长）而异。这种现象称为色散或频散。而对于非线性波，相速度还是振幅的函数。 波的色散由媒质的特性决定，因此常把媒质分为色散的或非色散的。媒质会导致波的色散，一个原因是它的尺寸有限，这种色散叫位形色散。例如，在尺寸比波长大得多的固体块内，弹性波的相速度是常数,可是,对于沿直径同波长可比拟的棒面传播的弹性波，同样材料的棒便是色散的了。
媒质是色散的另一个起因在于它的内部的微观结构。有的媒质不论其形状如何，对于某些频率范围的某些种类的波总是色散的。例如,有些媒质内部的带电粒子(如电子),受入射可见光的电场激励而振动，从而反作用于这个光，导致它的色散（见电子论）。正由于水的色散性，雨后才有可能映出彩虹。
单一频率的波，它的传播速度是它的相速度。实际存在的波则不是单频的，如果媒质对这个波又是色散的，那么，传播中的波，由于各不同频率的成分运动快慢不一致，会出现“扩散”。但假若这个波是由一群频率差别不大的简谐波组成，这时在相当长的传播途程中总的波仍将维持为一个整体，以一个固定的速度运行。这个特殊的波群称波包，这个速度称为群速度。与相速度不同，群速度的值比波包的中心相速度要小，二者的差同中心相速度随波长而变化的平均率成正比。群速度是波包的能量传播速率，也是波包所表达信号的传播速率。
波在传播过程中，除在真空中，是不可能维持它的振幅不变的。在媒质中传播中，波所带的能量总会因某种机理或快或慢地转换成热能或其他形式的能量，从而不断衰弱，终至消失。反过来，有时可以人为地把其他形式的能量连续供给传播中的波，如微波行波管中的慢电磁波或压电半导体内的超声波，使这些波不仅不减弱，而且还增强。但是，如不补给能量，媒质中传播的波总会逐渐衰减的。不同种类的波在不同种类媒质中的衰减机理是很不一样的。即使同一种波在同一种媒质里传播时，衰减的机理也可能随频率而异。
波同媒质内部某些微观结构的相互作用，引起波的衰减，而这个相互作用也同时导致色散。在这种情况下，衰减和色散是相关联的。关于这种相互作用，可以提到一个相当普遍存在的规律，叫弛豫现象。弛豫是指两个态的平衡需要有限的时间，而不是在一瞬间来完成。并不是所有的波的衰减都由于微观因素。波的衰减也有起源于宏观的原因的，例如，声波在粘滞流体中衰减的部分原因是摩擦生热（见声吸收）。
还有的时候，波是分散了，而不是真正的衰弱，一个例是平面波被途中许多小障碍物所折射，一部分转了向，从平面波的原来运动方向看，波的能量变小了。 均匀（宏观看）而各向同性的媒质是简单的传播媒质，不少的媒质要复杂些。有些媒质是各向同性的但是不均匀。一个简单的例子是海洋中的水，由于温度、盐度、随深度而增长的压强等因素，海水带是分层的。声波的传播速度是这些因素的函数，因此随层而异，其结果是声波的传播途径远不是直线。有可能在声源前方海洋中出现没有声波的区域。比分层更不均匀的媒质，在海洋中以及在其他环境中，也是常见的。 媒质又可能是均匀但各向异性的。单晶是这类媒质。一束光射入像方解石那样的单轴晶体时，会分裂成两束光，其中一束遵守普通的折射定律，称寻常光，另一束则不遵守，称非寻常光。寻常光和非寻常光的偏振面是互相垂直的。这个现象叫双折射。同它相类似，有所谓锥形折射现象，这发生在光沿着晶体的光轴射入像霰石那样的双轴晶体时。当细束光垂直射入这样一个平块晶体，会因锥形折射而在晶体的背面出射成一圈光。可以指出，对于声波同样能观察到这样的形象。
对某些种类的媒质，有时还可以施加外场以影响和控制媒质内部的波传播。M.法拉第早在一百多年前便发现，对高折射率的各向同性材料施加强磁场，可以旋转材料中传播的光的偏振面。还可以有其他一些媒质情况，例如
不同种类的波在不同条件下的传播，在细节上是千变万化的，但在大的方面也常有类似之处。其中，日常生活中经常接触到的电磁波和（空气中）声波尤其近似，若干问题的数学处理也是互通或互相启发的。实际上在19世纪，曾经有一段时期把光看作以太的弹性波。
波以它的叠加、干涉、衍射、能量在空间和时间上连续铺展等特征而在通常概念中区别于具有集中质量的粒子,像雨滴、枪弹那样的粒子。可是,在20世纪初期，一些实验和理论表明,已确定为波的光,在和物质作用时，却表现出粒子的性质。在黑体辐射、光电效应、X 射线的自由电子散射（康普顿效应）等实验现象中，不把光看作粒子，便无法解释这些现象。例如，在光电效应中，用波的概念无法解释为什么光电子的最大动能和入射光的强度并无关系,却和光的频率有关,为什么光电子会在光入射的刹那间从金属表面射出等等现象。在上述实验情况下，光的能量是不连续的，是量子化的。也就是说，光是量子，称为光子,它的能量是hv，h是普朗克常数，v是光的频率。 同光类似，一般称为声波的声，当波长很短时，也明显表现为粒子，称为声子。不过电子只存在于物质中，是物质振动的整体效应，与光子是不同类型的。
因此，波又有粒子性，在碰撞时遵守能量和动量守恒定律。这种情况一般发生在波与物质有相互作用时。另一方面，静止值量不为零的微观粒子，在传播时也会具有波的特性。这样扩大了波的范围。
波动方程以数学语言来表达波的特征，它给出了波函数随空间坐标和时间的变化关系。通过对带有特定的边界条件的波动方程求解，能够深入刻划波的传播规律，认识波的本质。波动方程可以分为经典的和量子力学的两类。
经典的波动方程 是线性二次偏微分方程，它的一般形式是
，,,。，，，
其中啚是普朗克常数h除以2π，m是粒子质量,V是势函数，
。
各种形式的波的共同特征是具有周期性。受扰动物理量变化时具有时间周期性，即同一点的物理量在经过一个周期后完全恢复为原来的值；在空间传递时又具有空间周期性，即沿波的传播方向经过某一空间距离后会出现同一振动状态（例如质点的位移和速度）。因此，受扰动物理量u既是时间t，又是空间位置r的周期函数，函数u（t，r）称为波函数或波动表示式，是定量描述波动过程的数学表达式。广义地说，凡是描述运动状态的函数具有时间周期性和空间周期性特征的都可称为波，如引力波，微观粒子的概率波（见波粒二象性）等。
各种波的共同特性还有：。
①在不同介质的界面上能产生反射和折射，对各向同性介质的界面，遵守反射定律和折射定律（见反射定律、折射定律）；
②通常的线性波叠加时遵守波的叠加原理（见光的独立传播原理）；
③两束或两束以上的波在一定条件下叠加时能产生干涉现象（见光的干涉）；
④波在传播路径上遇到障碍物时能产生衍射现象（见光的衍射）；
⑤横波能产生偏振现象（见光的偏振）。
波的传播总伴随着能量的传输，机械波传输机械能，电磁波传输电磁能。单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的能量称为波的能流密度，常用来描述波的强度，能流密度与振幅的平方成正比。一般情况下必须区分波的相位传播方向和能量传播方向。相同相位（即波面）的传播方向与波面垂直，称为波的法线方向，相位（或波面）的传播速度称为相速度或法线速度。对各向同性介质，波的法线方向与能量传递方向合二为一，相速度和能量传播速度也相同。对各向异性介质，波的法线方向与能量传播方向一般不重合，相速度与能量传播速度也不相等。 在波动过程中，媒质的各个质点只是在平衡位置附近振动，并不沿着振动传播的方向迁移。因此，波是振动状态的传播，不是物质本身的传播。
物理上分类：
按性质分：两种---------机械波、电磁波。机械波是由扰动的传播所导致的在物质中动量和能量的传输。一般的物体都是由大量相互作用着的质点所组成的，当物体的某一部分发生振动时，其余各部分由于质点的相互作用也会相继振动起来，物质本身没有相应的大块的移动。例如，沿着弦或弹簧传播的波、声波、水波。我们称传播波的物质叫介质，它们是可形变的或弹性的和连绵延展的。对于电磁波或引力波，介质并不是必要的，传播的扰动不是介质的移动而是场。
按振动方向与传播方向的关系来分：三种--------横波、纵波、球面波。质点振动的方向跟波的传播方向垂直的波叫横波，质点振动的方向跟波的传播方向平行的波叫纵波。
按波的形状来分：不定，波的形状象什么，就叫什么波。如方波(有的也叫矩形波)、锯齿波、脉冲波、正弦波、余弦波等。
按波长来分：长波、中波、中短波及微波。
按强度来分：常波(普通波)、冲击波。
(其中在声波中还有超声波和次声波)等等，没有统一的要求，一般在什么条件下用什么分类方法
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