| 拓扑学奇趣（续） |
| 时间:2011-9-15 点击率:1281 |
拓扑学奇趣
(续)
五、
绳圈
人类自从会使用绳子，就会打绳结，结绳圈。各种的绳结的功用可能都一样，为了稳固物体而做，但是打绳结的方法却是千奇百怪。为了研究它们在几何形状上本质的差异性，我们把绳的两端黏合起来，成为没有端点的绳圈。这个想法就像上述讨论Möbius带一样。对许许多多的绳圈而言，能不能经过一连串的连续变换，变成一种相同的绳圈呢？如果可以，那么在拓扑观点上这些绳圈也就没有分别了。
下面是两个绳结，做两个实物模型把玩一番，您就会发现它们是不同的!
如果把绳的两端黏合起来，成为具有绳结又没有端点的绳圈，那么就更容易用数学来描述它们。如下图所示，我们分别称它们为“右手三叶结”及“8字形结”。
A.
什么是纽结、链环
为了在数学上更贴切的描述绳圈，我们定义什么是“纽结”。简单地说，纽结就是三维空间中简单的闭曲线，意思是连通的(连成一体的)、封闭的(没有端点的)、不自交的(自己跟自己不相交，即没有黏合处的)曲线。所以，一个平面上的圆圈是一个纽结，它是一个未打结的纽结，我们称它为一个“平凡纽结”。
除了绳圈可以打结外，绳圈与绳圈之间还可以互相钩连、套扣，这也是日常生活中常见的现象，诸如铁链、钥匙圈等等。因此，我们再定义“链环”的概念：由许多条互不相交的简单闭曲线所构成的空间图形称为链环，并称每一条闭曲线为其“分支”。下面是具有两个分支的链环。
如果一个纽结(或链环)可以经过绳圈的移位变形变成另一个，我们就说
这两个纽结(或链环)是等价的，或同痕的，有时干脆把两个等价的纽结(或
链环)视为相同的。
B.
纽结的投影图
在现实生活中，描述空间的图形通常是用照片，而照片就是一种取适当方位投影的图像。对于纽结与链环，我们也选取它的一个投影图来描述它。但是，这种投影图要能很适切地表示纽结与链环，所以选什么样的投影图是有一定标准的，不能随意给出一张图意不清，无法辨别有几个重迭点的投影图来描述一个纽结或链环，因为这无助于进一步的判别与分析。
准确地说，我们要求投影图要满足：只有有限多个重迭点；每个重迭点都是二重点；在每个二重点处，上下两线的投影都是互相穿越交叉的。也就是说要避免下面的图像：
当我们说到投影图时，总是指已经用虚实线标示出交叉情况的图。在左下图这样一个由自身相交的闭曲线所构成的平面图形，在每个分岔点处都是四个岔的，我们称之为“四岔地图”。所以每张投影图都可以确定一张四岔地图，但是反过来说，从四岔地图却无法确定该投影图，因为每个分岔点有两种可能交叉的情况。
因此，从有n
个分岔点的四岔地图一共可以得到2n张不同的投影图，它们所代表的纽结或链环却不一定互不相同。下图是从最左边那张四岔地图所得到的几张投影图。
C. 用实验的方法来判断以下各对链环是否等价？
(a) 右手三叶结
(b) 8字形结
(c) 最简单的圈套
(d) 怀特海德链环
(e) 右手三叶结与左手三叶结
 右手三叶结
左手三叶结
(f) 方结与懒散结
 方结
懒散结
(g) 反怀特海德链环与正怀特海德链环
反怀特海德链环 正怀特海德链环
D.
投影图的三种基本变换
纽结与链环可以用投影图来确定，然而等价的链环可以有不同的投影图。因此，要利用投影图来研究纽结理论，就必须弄清楚绳圈在空间中的移动变形是如何在投影图上反映出来的。
德国数学家瑞德迈斯特(Reidemeister)在20年代指出，纽结与链环的同痕本质上是由投影图的三种基本初等变换(R1、R2、R3)来刻划的。
R1
: 消除或添加一个卷
R2 : 消除或添加一个迭置的二边形
R3 : 三角形变换
这三种初等变换是在投影图的局部进行的，在变换的那部份除了所画出的线以外不能有别的线介入。例如
不是一个合法的R1 变换，它与正确的作法所得到的结果不一样：
瑞德迈斯特指出，如果空间中的一个链环可以经过绳圈的移位变形变成另一个链环，那么第一个链环的投影图一定可以通过一连串的初等变换变成第二个链环的投影图。
此外，我们还允许投影图作“平面变形”，也就是说当把平面看成一个薄膜时，刻画在平面上的图可能随平面的伸缩、拉长，产生形变。从下图来看便可以了解到什么是平面变形了!
E.
用初等变换鉴别链环
要证实两个链环的等价性，只须用绳子各做一个模型，然后把一个变成另一个。如果要用投影图来证明它们等价，则应该找出一串由R1，R2，R3
变换及平面变形所组成的变换，把一个投影图变成另一个。原则很简单，实际却不一定容易。
简单的例子：
不轻松的任务：8 字形结与其镜像等价!
如果我们不拘泥于初等变换，那么下面的图将更容易使人相信!图中用粗实线与粗虚线表明把那条线挪到那个位置。线条只挪动了一次，其余都是平面变形。
向勇敢的读者挑战：下图两个纽结投影图各有13 交叉点，在1985
年时就已经知道它们是等价的。您能利用初等变换及平面变形给出证明吗？
问题：请利用初等变换及平面变形证明下面三个投影图代表同一个纽结。
(摘编自“九章数学网”)
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