第M卷 第l期 力 学 进 展
Vol.14No.l
ADVANCES IN
MECHANICS lTcb. 25，， 1984
1984年 2 月 25
日
关 于 非 线 性 振 天津大学
陈予摊 ~
机械振动是工程技术、
物理科学中十分广泛的现象. 研究各种系统的振动规律， 可延长
其使用寿命， 改善产品性能,
提高舒适性， 降低噪声; 另外， 利用振动可提高劳动生产率.
系统的振动的方程是非线性微分方程时，
我们称这种振动为非线性振动. 多自由度系统
非线性振动方程的…般形式…为
其中咖为常数， 8为小参数,
fs和FS为… 的以 额为周期的周期函数， 且Fs为X的多项
式和为8的解析函数.
严格说来，
自然界中一切动力学现象都是非线性的. 振动理论的发展和生产力的发展有
十分密切的联系，
在其发展的初期往往将系统线性化， 因而线性振动理论早在 18 世纪就发
展和完善了.
由于科学技术发展的需要， 提出了线性振动理论不能说明 的 一些现象和 特
薰吉麒「z一4〕
夏
1. 线性系统中的叠加原理，
对非线性系统是不适用的. 命 各
2.
在非线性系统中对应于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个， 需研究的稳定
性问题,
才能确定哪一个在生产实际中能实现，
3在线性系统中， 由于有阻尼存在,
自由振动总是被衰减掉， 只有在外干扰力作用下，
才有定常的周期振动.
在非线性系统中， 如自激振动系统， 在存在阻尼的情况下即使无外干
扰力也有定常的周期振动，
4 . 在线性系统中，
强迫振动的频率和干扰力的相同. 在非线性系统中， 在单频干扰力
作用下,
其定常强迫振动解中除有和干扰力同频成分外， 还有与之成倍数的频率成分存在.
5. 在线性系统中，
固有频率和起始条件及振幅无关. 在非线性系统中， 固有频率则和
振幅有关， 保守系统中， 振幅、
频率、 相位又和起始条件有关.
6.
非线性系统的参数或初始值微小变化引起系统相位状态变化的现象叫分叉现象. 它
是不同于线性系统的很重要的一种现象.
7.
非理想(具有有限功率能源)的系统, 自同步系统等不少系统不能线性化， 必须研 霞
究其非线性振动方程才能了解其振动规律.
本
本文曾在中田力学学会全国非线性力学会议( 1982年10月 18-22 日, 无锡)全体会议上报告.
l
，59，
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在振物理论的发展巾遇到的这些特点，
以及从准世纪洲年代起, 山于主业技术发展的霹
要,
特别是兀线电技术发展的需要， 非线性振动理论获得丁迅速的发展. 但在非线性振动理
论中，
日前尚无适应各种不同类型的非线性振动方程的通用的解析方法， 仅有少数非线性振
动方程有精确解.人们为了尽可能深入了解振动系统的非线性特性，己研究出不少有效的近似
方法g 如定性方法中的相平而法;
定量方法中的数值解法和近似解析解法.
数值解法， 栏要有迭代法，
有限元法和配置法等…， 其中如欧拉法薰 隘格-库达法， 阿
达木斯法， 米尔恩法，
变分法等等. 一般来说， 非线性振动方程的数值解法费机时较多, 因
此近似解析解法仍在蓬勃发展，
其主要方法有:
1. 摄动法(也称小参数法) 对
8:0时，系统有频率为侧 的周期振动， 这种带有 E的小
项是对系统周期振动的一种摄动.
把解按小参致 8 的幂级数展开, 可求出满足…定误差要求
的近似解、 这种方法称力摄动法，
它是由 Poincar邑于 1892 年研究行星运动时提出来的， 所
以又称 PolnL-aI邑灌去…
. 为了消除近似中的永年项， 后径 LindstCdt … 等把振动频率也按
小参数展开，
即引进叫个新的自变量(或称时间尺度)T=叫， 其中@是E的幂级数， 即对
出现永年项的自变量进行坐标变换.
JTHnyHoB灬 引入丁 “本征时间” 变换t= 2兀 乏研 使
解对本征时间来说，
其周期为2冗. A， H- HpHnoBE9」 采用了将解和频率的平万按小参数展
开的方法，
使计算得到较大的简化. ManKHH…]系统地发展了小参数法， 使之适应各种不
同类型的非线性振动方程的需要.BnexMaHHll在研究自同步理论问题时发展了
Ma皿酣关
肝研究多自由度系统周期解稳定性的理论.
Sturlok〔3〕将解设成为 soZ, 芒艺，…多个时间尺度
的函数， 提出了多尺度法，
它使小参数法不但能方便地处理阻尼系统， 而且可以处理非定常
过程等问题. ~
~
2. 渐近法(或称三级数法)
VHn der Po]官l2耳1926年在解决门激振动(振荡器)问
题时， 首先引入缓变系数法，
即认为演化系统的解的振幅和相位， 是时间 z 的慢变函数， 把
它作为原非线性方程的近似解.
H- M- HpbIJZoB和BOroJI!05oB〔… 从本世纪 30 年代起对该
法进行矿系统的研究，
他们首先将振动方程化成标准形式， 然后进行变换(现在文献上称为
HBM变换)，
得到解的墓波的振幅和相位角的导数都是0(吩量级的不显含 z 的困数， 因此
可用一个周期的平均值代替该函数的近似值，
故称此法为平均法. 他们于1947年提出了叶种
求任何阶近似的渐近法(兰级数法)，
Boronm5oB 和 MHTponoJTbcKH边灬] 对此方法作
了严格的证明. 后
BoroJIIo5oB卢又用渐近法解决了多自由度非线性系统的单频振动 问题,
MHTpOIToJT玉cKH宽H5l于1955年将该法发展后,
用它解决了具有缓变参数的非线性系统的非
定常的问题.
CaMo加eHKo…〕 进一步发展了 HBM 法, 从理论上完整地解决了多自由度
系统的多频振动问题，
从50年代以来， KoHoHeHKo〔l7l应用三三级数法， 系统地解决了舆有
非理想能源的机械系统的非线性振动问题，
他为三级数法在力学系统中的应用做了大量的工
作.
3. 点映射法
它是一种基于数学变换理论的方法， 属于拓扑学和近代微分儿何学的
范畴. 点映射法出现得很早，
它是由 Poircir邑…】提出来 的. 自从 八H工正poHoBH町特别是
H乏1y着isI1iIzol和Hsu，
C. S. …正 等人开始应用此法研究非线性振动之后， 该法在非线性振动
理论中才厂泛地受到重视，
点映射法研究非线性振动方程， 包括强非线性振动系统， 是一个
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十分有效的方法，
它在研究系统的全局性态、 具有周期系数的非自治系统等问题方面， 都有
其优越性.
其他如谐波平衡法、
直接变分法(包括 Ritz法和 「anepIcHH法)， 也都是经常应用的
方法,
特别是对具有强非线性项的系统进行分析时， 它们都是很有效的析方法.
频闪法…〕,
模拟计算机的应用等方法， 在研究非线性系统的性态方面， 也具有很大的
优越性. 另外，
非线性振动的实验研究〔…， 不但是发展和验证理论的必需， 而且可直接得
到复杂非线性系统的各种规律.
以上这些方法都有自己的特点， 同时也再局限性. 为了扩大
它们的应用范围,
还需做大量的研究工作. 麒
其他还有积分流形方法，
泛函方法等灬些数学理论万法薰
第9届国际非线性振茄盒议于
阻81年8月在苏联基辅举行. 会议的目的是， 进行从第
8届会议以夹华线性振动理论及其澶用方面研究工作的总结，
讨论非线性振动进一步发展的
方向，
解决各个研究中心工作的协调和扩大合作的问题等. 会议的成果代表着当前世界非线
性振动研究的水平.
会议主要学术报告的基本内容如下， 全体会议上的 5个报告为c
苏联MH'fpoIIoJIbcKH彭I…l做^]，
“平均法的发展” 的报告. 他将平均法用来研究带慢变
参数的振动系统之后，
又应用于不可导右端的系统， 带时滞变量的系二， 奇异摄动系统, 函空间的方程组， 以及接近双曲线型的偏微分方程等方面， 取得了重大成就.
他的其他重要
成果见〔25〕.
娜
日本HayaShi…] 做了
“映象法在某些类型非线性微分方程中的应用” 的报告. 映象
法在解具有周期干扰力的微分方程时也很有效.
在前几届国际会议报告的基础上， 这次着重
研究了周期解的分叉(bifurcation)
以及浑沌状态(chaotic states) 的出现. 根据对两个例
子的研究结果得知，
当周期解变成不稳定时， 一个反不稳定固定点就出现, 因而发生周期
的分叉， 结果产生低阶亚谐振.
在某些条件下, 分叉现象陆续发生， 导致振动的混乱状态，
实验证实了这些结果.
波兰fI工I工eBopcKa一PoHeBHLI〔27耳做了
“广义周期系统” 的报告. 研究了方程组
其中D为线性空间X
中的正反算符, 么40，必11 为在X 中的线性算符， B0,B1 为X 中的线性
空间彻 中的线性算符， 而Si
为作者定义的位移. 对上述方程组建立了可控性和检测性的准
则.
也可研究更复杂的和具有位移非线性 S& 的系统.
比利时 M皇lwhinE叫做了
“某些非线性波系统的周期振动” 的报告. 对方程组
拿美国CrandHll灬l做了
“稳态随机振动的非高斯闭合方法” 的报告. 在宽带随机信号所
激发的非线性系统中，
统计线性化的方法是经常应用的, 其中高斯分布中的未知参数可根据
从振动方程导出的恒等时间间断而计算.
这个方法的系统推广就是非高斯闭合方法， 其中恒
等时间间断增加的数目,
是利用非高斯响应分布族中计算的附加参数确定的.
会议的学术报告分四个大组进行.
第一大组是非线性振动理论的分析方法. 在本组的报
Q
Q
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告中，
以渐近法和平均法的迸一步发展， 积分微分方程， 偏微分方程， 在Banach空间中的
微分方程， 奇异摄动微分方程，
随机微分方程等为中心内容.
关卡研究具有复杂非线性特性系统振动的报告，研究具有小参数非线性问题的线性方法,
研究奇异摄功咬统的定常解和在物理学中应用积分流形方法等问题的报告引起了很
大的兴
趣.
女厦ICaMo赫JIeHKoi…做的 “非线性力学系统中的渐近法” 的报告， 发展了由HI5M 所建
立的渐近法,
从理论上完整地决了多自由度系统的多频振动问题， 证明具有多维不变圆环
是多自由度方程组存在…个频率振动的必要条件.
在第 6 薰 7 ， 8届国际非辑性振动会议上，
作者报告主以下的问题:
在不变圆环啊 的邻域中引入局部坐标的问题， 在 叉、a豇ePKHH法的
基础上建立不变圆环宙…的问题,
在稳定不变圆环的邻域内研穷轨迹的性质的问题, 以及渐
近稳定平衡位置的分叉问腿~
并给出了求多自山度非线性多频振动解的方法.
Hpaclioce.n!薰叮L<H蚤言「3'′〕
做了 “具有复杂非线性系统的振动” 的报告. 提出丁 研究具有
不连续和内附滞
后非线性系统的强迫振动的新方法， 求得T尤滑动时 ( 包括不连续表面的干
扰)周期存在的条件，
发展了求的迭代法. 他提出低强度噪声对具有不连续环节系统的
功力学影响的计算方法.
MHuIIcHc〔sl〕儡l萱艾ˉjˉ
“非线性…维连续介质中的周期振动” 的报告. 研究 「灬维连续 介
质纵向振动的方程，
得到了空间驻波的表达式和求驻波解的实际方法， 研究下内、 外阻尼对
振动特性的影响.
所得结果町以用来研究长铁轨的纵向功力学问题.
Ku, Y. H. …罩做f
“非线性随机系统的分析方法” 的报告. 报告的第…一部分是对问时
其有随机输入和随机参数的非线性系统的Taylor-GHuchy
变换方法的推广, 可解多自由度非
线性系统.第二部分是关于问时具有随机输入和随机参数的非线性系统的V0ltc1~Ta-Wiencf灌乏
函方法的推广.
第三部分综述了关于 WicnC1' 理论及其在综合和识别方面的最新应用.
切
第二大组是非线性振动理论的定性方法. 报告的大多数是关于发展微分分布和微分泛函
方程的定性方法.
有很多报告是关卡动力学系统的理论， 分叉理论, 稳定性理论， 周期和概
周期解的理论.
不少报告涉及微分方程定性理论高速发展的方向一奇异吸引功力学系′ˉ，
以及应用它们来模拟复杂的振动现象.
PyMgHLxeBI33〕 做了
“非完整系统的几个振动和稳定问题” 的报告. 研究 门祥完整保守
系平衡的和定常运动的稳定性问题,
以及在其稳定状态邻域内振动的问题. 给出该类系统根
拂景JTHIIyHOB定义的临界状态稳定性问题的新研究结果.
l儡e边MapIc…耳做了
“杂乱的和随机的自激振动” 的报告. 综述王动力学系统的杂乱随
机振动的复杂稳态运动研究工作.
叙述了杂乱的、 随机的振动的物理机制. 乡合琶H响扛义I学、 电
学、
化学和生物学中实现该类运动的简单例于. 在柑空间中研究了杂乱的和随机的自激振动
问题和派生分又等问题.
YoShiz乏睾W廿i〔35i做瀹]′
“非自治系统渐近特性” 的报告， 他指出很多作者处理THnnyaoB
函数y〈扫珊沿解有…个负定导数这样灬个削弱的条件;
LHSaHc利用解的正有限集合的不变
性质推广孓自治系统稳定性定理，
他的问题是寻求在什么地方解的正有限集合是确定的. 对
非自治系/，
作者对封闭集合给了一个充分条件后讨论了这个问题， 此处萧‖，刀)的边界是假
定的.
此后出现了很多关于函数汉协对为弱边界条件的论文， 文中包括对这个方向的简单回
顾和一些新的结果.
楚
.62.
灬灬咖 灬薰 @
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Hsu; c二 S.…]做了
幽非线性系统全局分析的域映象法(ce1l to cell mapping)” 的
报告， 作者指出，
一个非线性系统常常有很多局部的渐近稳定状态和周期运动. 对这些问题
来说,
决定它们的吸引区是非常重要的. 解决这个问题， 有效的方法是近两年才发展起来的
域映象法.
用域映象法可研究平衡状态， 周期解和映象的吸引区域, 该法用来研究非线性系
统的振动问题是非常有效和省机时的.
第三大组是力学系统中的非线性振动问题.
本组报告的主要内容有g 能源问题中非线性
振动理论的发展,
卫星动力学非线性振动问题的研究, 在机械系统中控制振动问题的研究，
研究物体在具有自由表面的液体中的非线性动力学问题的解法,
陀螺仪系统 线性振动问
题,
空间实验室稳定工作条件的研究等. 命
(DponoB[3e，371
做了 “考虑能源时非线性振动理论的发展” 的报告. 能源功率与机械动
载荷所需功率的可比性，
提出了考虑它们相互影响的必要性. 报告综述了这种相互影响过程
的各种不同勃理模型.
研究了单自由度系统、 多自由度系统、 参数系统及具有液体的 系统
等,
同时研究了系统参数随机变化时的振动特性. 研究了具有双能源 ( 其特性不同 ) 系统的
振动规律，
给出了单层非线性共振筛和能源相互影响的研究结果.
BJlexMaH…l 做了
“拉格朗日一第利赫里关于平衡位置稳定性定理对某些周期运动和旋
转运动的推广” 的报告.
作者运用对有势系来说， 稳定运动对应于极小值的概念, 研究了弱
联系的刚体的同步旋转运动，
其中包括和振动系统相联系的不平衡轴系， 围绕重心旋转的柑
互吸引的质点等，
并讨论了某些天文学现象.
ITHcapeHKo…〕做了
“具有非线性滞后特性的运动学激振机械系统的振动 问题” 的 报
告.
作者利用非线性力学的渐近法， 对具有集中质量， 考虑弹性变形时有非线性滞后能量损
失的弹性杆和板组成的非保守系统的强迫振动进行了研究，
激振形式是运动学的， 且激振器
的固定点随着时间按周期规律进行变化.
`
Tondl…〕 做了
“非线性系统惯性激振的一种法” 的报告. 作者对位于…面为硬弹黄
而另一面为软弹篝之间的质量较大惯性物体的振动系统进行了研究.
该系统的振动方程是具
有周期系数的非线性微分方程.
得到了参数振动的一些有兴趣的结果，
JTyKoBcKH茵Hll做了
“盛有自由表面液体的有限物体非线性动力学问题的一…种直接解
法” 的报告.
作者假设物体作空间运动， 从非线性的角度研究了装有部分不可压缩理想液体
的物体和液体的相互影响.
作者建议了一种直接法， 在其基础上对流体动力学给了 时 个
〇cTporpa皿1cIcH边
形式的变分原理， 并指出在第一类动力学问题的情况下， 哈密顿变分原理
可导出波的非线性理论的方程,
同时包括液体自由表面的非线性运动学的边界条件.
t壬epHoycLKo〔… 做了
“机械振动的最佳控制问题葵 的报告. 作者研究了小参数微分方
程所描述的非线牲振动控制系统.
将方程组化成具有快速旋转相角的控制系统的形式， 提出
了最佳控制的问题, 并在
IIoHTp珏rHH的最大原理和 KBM 法的基础上进行研究， 制定了求
最佳控制的渐近解的方法.
利用该法研究了控制绕质心转动刚体的最佳或近似最佳振动参数
的方法. 命
，
SChmidL…l做jˉ
“自激、 强迫和参数振动相互影响” 的报告， 具有非线性弹性恢复力
和非线性阻尼的一个自由度系统的强迫振动,
其周期性、 非线性参数振动和自激振动的相互
影响问题已经研究过了.
作者研究了直齿齿轮的节距误差、 外形误差等制造误差, 和偏心距
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等将引起强迫振动;
啮合刚度的周期振动激起系统的参数振动; 啮合的齿面之间的干摩擦
起自激振动.
系统的振幅表示这些因素相互影响的结果， 依此可找到齿轮传动中减小振谨撰
可能性.
遭
H……g…] 做了
“机构中弹性连杆的非线性振动问题” 的报告. 作者曾研究了机构的删
体功力学问题，
在本文中发展了机构中弹性连杆的振动分析方法. 机构中弹性连杆的振动方
程是非线性的，
该方程用I奄BM法来解. 将方程化成标准方程后， 以 Hammhg 的校正数值
方法解之. 作为例子，
用数值方法解了具有…个弹性连杆的曲柄滑烘机构的振动问题. 乎
第四大组是关于非线性振动理论在物理学、
电子学。 生物学中的应用问题. 本组报告表
明， 生态学的非线性振动、
细胞运动的自融机制和其他生理过程的力学研究有了很 大的发
展.
不少报告还讨论了电子技术和乜子学中具有自随机特性系统的分析方法.
MHHaIco琦aHs一 做~了
“具有不能通约的自激振动系统的同步过程” 的报告. 作者指出蒂
在研究自激振动系统估相互作用时,
研究自激振动和接近于振动的倍频而不能通约的振动之
间的相互作用是很有兴趣的.
这种情况是在接入电路具有高品质因数( 〇值)的共振元件时
发生的.
与自激振动系统中具有谐振有关的非线性相互作用， 确定了在不同步和同步状态宇
运动的多频性.
一
AsfHr…〕 做了
“多自由度自激振动系统对多频激振的响应” 9 告. 作者研究了在多频
干扰力作用下两个自由度自激振动系统:
包括机械系统， 如弹性转子系统的振动问题， 切削
刀具的二维振动， 电路系统，
如两个线性耦合 van dCr Pol 振荡器, 以及许多其他物理系
统，
作者用多尺度法研究了以上系统的以次近似， 分析了不同参数对振动规律的影响.
PoMaHoBcKH边 做了
“细胞运动自激机制” 的报告. ROJIeCoB 做「 “数崎模拟生态学的
非线性振动问题” 的报告.
BmKoB， B. 峥做了 “化学反应中复杂振动问题” 的报告. 这些
报告都引起了与会者很大的兴趣.
=
我国代表首次参加了这一学术会议，
做五一个洲分钟的和三个扭分钟的学术报告.
闻帮椿在
“非线性振动理论在力学中的应用” 小组会上做了 “非线性自问步振动机频率
俘获的研究” …覃和
“具有冲击、 干摩擦、 分段质量的非线性系统的强迫振动” …]两个报
′此
忆
陈予恕在
“非线性振动理论分析方法” 小组会上做了 “多自由度非线性系统交叉解及其
应用” …]的报告. 并在
“非线性振动理论在力学中的应用” 大组会上， 做了题为 “大型非
线性共振筛振动特性现场实验研究”
衅町的30分钟的报告， 我们的报告受到r与会者的赞
赏.一
最近儿年我国非线性振动研究工作的发展很迅速.
我国已经举行了第 1届和第2届非线
性振动学术交流会. 第
1届全国非线性振动学术交流会于 1979年12月在济南举行. 参加妻
议的高等院校和科研单位共25个,
代表46 人. 山东工学院、 天津大学为这次会议的召开做
了大量的工作. 第
2届全国非线性振动学术交流会于 1981年11月在安徽黄山召开. 有75个
尚等院校和科研单位的108名代表参加.
从代表的组成和数量看, 较第 l届会议有f迅速的
扩大.
不少报告密切联系国民经济各部门所提出的实际问题， 取得了可喜的成果. 参加第9
届国际非线性振动会议的代表向第2届全国非线性振动学术交流会做了
“会议情况” 和 “会
议学术报告内容简介”
的报告i
6 64
.
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第2届全国非线性振动学术交流会分两个阶段进行.
第一阶段是学术交流， 共宣读交流
了67篇学术论文，论文的内容比较广泛，涉及数学[…、近代物理…]、
一般力学…]、流体
力学灬] 以及机械、 电机、
建筑结构等工程中的非线性振动问题， 无论从论文的数量和质量
看, 均较第
1届全国非线性振动学术交流会有显著的进展. 在非线性微分方程的分析方法和
定性理论研究方面，
参数振动，结构非线性振动等某些方面，都有了较深入的研究. 对振动机
械…1、 转子动力学、
电力输送和交通运输机械某些非线性振动问题的研究取得了有意义的
成果，
部分成果为我国四化建设解决了某些重大振动理论问题〔55l皿 二比同时， 非线性振动
理论研究的某些新的分支，
在会上也有所反应. ，
第二阶段是专题报告,共讲了
12个专题. 报告者系统地介绍了非线性振动理论中的点映
象法、 频闪法、 数值法麒
参数振协、 随机振动、 振功工程、 结构振动、 叫般力学中的非线
性方法和非线性振动埋论庄刚体方学与在加速器中的应用,
其内容包括非线性振动中的基本
理论和方法薰
以皮最近的发展成果. 霞
马鞍山钢铁学 遭、 东北工学院、
天津大学为这次柄争议的召开做了大量的工作，
我们知道，
由于在自然界中见到的大部分动力学过程都是属于非线性振动范畴的， 所以
从30年代起非线性振动得到了迅速的发展.
随着科学技术的发展，非线性振动必将获得更快
的发展.
不对广泛存在的非线性振动现象进行深入的研究， 热核反应、 微电子学薰 青学、 光
学、 流体力学、 机械动力学、
生物学等学科就不可能继续很快发展g 因此对目前尚未了的
振动运动进行基本研究，
以便发现和描述它们, 是非线性振动发展的方向. 1
参 考 文
献
1 陈予恕，
求真削王晨;个循环吧标的拟线能运动方程组概周期解的一个方法及其应用办学学报， v. 8, 3(1965).
薰 2 Stoker， I.
I.， NonHncaf vibrations in nlechanical and electrical sySten1s: 1"12rSc1e"CE
1Jz11Tz1S112rS
薰汀C.
(195D).
3 Nayfeh, A.
11.， 111o()k, D. T., Non1inear oscilations，
1Vi1ey一Interscience(1979).
Ser. 3, V. 了
(1881).
石
厚
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