第8章平面电磁波_百度文库
- 2012年6月18日 – 波动方程在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变电磁场的方程为2 ? ... O 电场强度随着时间t 及空间z 的变化波形如图所示。 ... 1 ?? ? vp 在理想介质中均匀平面波
的波面是无限大的平面，波面上各点的场强振幅又均匀分布，因而波面上各点的能流密度相同，可见这种 ....1 的频率称为界淡海硅水水0.22 890 15 ?
第四章 微振动
微振动：很常见的一种物理现象
定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位
形)的某种周期性偏离。
§1.4.1 一个自由度的微振动
一、自由振动
平衡位置：系统势能U(q)具有最小值的位置。
(此时：系统最稳定)
例：长为l的单摆的拉格朗日函数为
其中：
平衡位置：
微振动：质点对平衡位置的偏离不大
在平衡位置附近对L作泰勒展开：
推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标。
拉格朗日函数：
设： ——系统的平衡位置，则
对U在 附近作泰勒展开，只保留到二阶小量：
——二阶小量 (势能：平滑不陡峭；
若 大，则单位时间运动的距离大
振动不是微振动)
则 a(q)只需展开到零阶小量：
略去对运动方程无关的常数项 (相当于选新
的零势能点)，且令：
则
由拉格朗日方程：
得到运动方程：
二、自由振动方程的解
自由振动：无外力、强迫力、无阻尼的振动。
方程 的解：
积分常数：A—振幅； 角频率； —初相位。其中振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
自由振动系统：保守系 能量守恒
即
方程解的复数形式(指数形式)：
令 ，则：
问题：什么条件下用复数运算？
数学上：
1．对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算
更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；
2．进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等)
时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部；
3．反例：非线性运算。
例：电磁场中坡印廷矢量 ，不是
三、受迫振动
设：振子受到一个随时间变化的外场力 的作用
则：
在平衡位置附近展开 ：
(确定平衡位置时，不考虑外场)
上式中， 只是t的函数，对方程无贡献，略去。
令 ，则
由拉格朗日方程，得到运动方程：
因
令
——关于X的一阶微分方程
由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程：
再通过变易系数法解得非齐次方程的解：
讨论：
若：外力场为周期性外场
则：
选 ，使： ，则积分下限为零。
令
——按本征频率 的振动和按强迫力频率 的振动
的叠加
四、拍
1．当强迫力的频率 =本征频率 ——共振现象，(I)
式不能用 (待讨论)。
2．当 和 接近相等时，设
——共振区。 (I)式的指数形式为：
在一个本征振动周期 内，
改变很少
(对 求微分)
(II)式中：
——振幅(随t变化)；
——频率
设： 则 振幅A在 与 之间变化；变化的频率是强迫力的频率与本征振动频率之差 ——拍现象。
§1.4.2 阻尼振动 共振
一、无阻尼的共振
出发点：
改写为：
注意：此处的 不同于第一式的
。
当 时：
则
——共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大
讨论：
1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；
2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。
二、阻尼振动
实际的振动：存在阻尼。
阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使机械运动停止(无外力时)。
此时：
1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；
2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度
的函数(因为此时要考虑介质本身的运动，介质和物
体内部的热状态)。
力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)。
但： 在某些情况——频率比介质中的内耗过程的特征
频率小，即振动周期比内耗过程的周期长
认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”。
办法：在运动方程中加进阻力项。
若：速度又很小，则：按速度的方次来展开阻力
( ：较小)
考虑到阻力和运动方向相反，有：
运动方程：
解的形式：
特征方程：
其中：
：弹力>阻力； ：弹力<阻力
通解：
——频率为 而振幅按指数衰减的振动
三、有阻尼情况下的共振
有阻尼情况下强迫振动的运动方程：
复数形式：
通解：
其中：
：初始条件决定
由通解，可以看到，长时间后，系统以本征频率的
振动衰减，只剩下第二项。
即：
1.有阻尼的受迫振子，经过足够长时间后，完全按强迫
力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位(因
为 )；
2.当 时：c取极大值，发生共振(并不随t的增长而
无限增长)。
四、通过共振时的相位变化
接近共振时：
( 很小 小量)
共振时：
远离共振时 :
由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相
位改变
共振点相位：
振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时：
振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量通过吸收外力源能量来补充。
单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力
在单位时间内做的功。即
一个周期( )内能量的平均值：
——吸收对频率的依赖关系(色散)
：平均能量吸收率
当共振时 ：
达到极大值 ——共振吸收
当 时， 降到最大值的一半。
若用S表示与 类似的某一物理量，它依赖与外来
频率 。设S在 时达到共振，则
——布雷特－维格纳分布
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