本征态 本征能量 周期性微扰 光照射原子就属于这种微扰

PPT]

自由度和广义坐标

211.64.32.29/include/.../20090928022315178.ppt - 轉為繁體網頁

您公開 +1 了這個項目。 復原

檔案類型: Microsoft Powerpoint - 快速檢視
粒子处于能量本征态 本征能量. 满足. 定态波函数为. 满足 方程. 当t≥0时, 加一个含时微扰. 粒子状态波函数. 满足 方程. 因为 显含时间，末态为非定态，这不同于定态微 ...

 

這是 http://211.64.32.29/include/htmleditor/uploadfile/20090928022315178.ppt 的 HTML 檔。
G o o g l e 在網路漫遊時會自動將檔案轉換成 HTML 網頁。

量子跃迁

• 主要介绍与时间有关的微扰理论，即微扰哈密顿算符 与时间有关的微扰理论。

含时微扰主要用于讨论原子能级的跃迁几率问题。光谱分析中有两个重要观测量—谱线频率与谱线强度，谱线频率取决于能级跃迁的初末态能量之差，谱线强度则与跃迁几率成比例，因此跃迁几率在光谱分析中是很重要的物理量。
§5.6 与时间有关的微扰理论
1、计算跃迁几率的量子力学描述
当t＜0时
粒子处于能量本征态 本征能量


满足

• 定态波函数为

满足 方程
当t≥0时, 加一个含时微扰

粒子状态波函数
满足 方程
因为 显含时间，末态为非定态，这不同于定态微扰！
（1）

• 把 按本征函数系 展开

• 其中 展开系数 其物理意义是什么？
• 由量子力学原理知， 时，体系处在定态 ；

时，体系处在一系列可能态 ，
t时刻处在 的几率，即从 的跃迁几率为：

• 关键是如何求出展开系数　 要严格求解薛定谔方程

通常是很困难的。一般只能采用含时微扰方法求解。
（2）


2．计算跃迁几率的含时微扰方法
将（2）式代入（1）式得

上式推导过程中运用了

将 左乘（※）式得


其中 微扰矩阵元
（3）

（※）

玻尔频率

• （3）式是一阶微分方程组，未知元为

是薛定谔方程在能量表象中的表示。

• 原则上可由初始条件 [ 时体系处在

态，这时 ]，求解（3）得

实际上无法精确求解，因为
（1）方程个数无限多；
（2）每个方程又含无限多个 ，只能近似求解。


求解方法同定态微扰中使用的方法：
将 展开成下列幂级数；

根据初始条件，求解第一式得

将其代入第二式得

对时间t积分上式

• 最后得一级近似解

所以，从 跃迁到 的跃迁几率为


含时微扰论一级近似下跃迁几率计算公式。关键是
求矩阵元 。可见，已知 本征函数、本征
值及

（4）
（5）

对于跃迁问题

§5.7 跃迁几率

1 常微扰 即0→T时间内 ；（费米黄金规则）

常见两种具体含时微扰：常微扰和周期性微扰

体系在 时处在 态， 时跃迁到 态的概率幅

为了进一步简化上式，可以利用 函数的公式得

单位时间跃迁概率

上式表明，对于常微扰，只要作用时间足够长，则跃迁速率与时间无关，且只有当末态能量 的情况下才有明显的跃迁发生。 是常微扰下体系能量守恒的反映。


上式中出现 函数， 的表观值可为无穷大，事实上上式只有当末态 连续变化时才有实际意义。
设 为末态的态密度，则在 范围内的末态数目为 ，因此由初态k到 附近一系列可能末态跃迁速率之和为

Fermi黄金规则（golden rule）

2 周期性微扰

（光照射原子就属于这种微扰）

为便于下面计算，将上式写成指数形式：

与 是未微扰前的哈密顿算符 的本征态与能量

跃迁几率公式为


先求

• 现结合具体物理情况作进一步简化

A. 当微扰频率 ~原子能级间频率
第一项忽略


对应光吸收，原子由低能级向高能级激发跃迁

• B．当微扰频率 ~原子能级间频率 ，

第二项忽略

对应原子光发射（受激发射），原子向低能级跃迁
C．当微扰频率 并不近似等于原子能级间频率 ± 时
两项都忽略，对应原子既不激发，也不跃迁。
总之，只有当外界微扰频率 与原子能级间频率
相当时，原子才会激发（吸收）或跃迁（发射）。
（满足玻尔条件的激发（吸收）或跃迁（发射）才会发生）


这样
-号对应吸收 +号对应受激发射

• 当t足够长时，利用 与 ，

得跃迁几率：



单位时间跃迁几率
的出现，反映了能级跃迁过程中的能量守恒，
因为只有

• 可以证明

即同一原子同样二个能级之间的激发或跃迁的几率一样

作业 5.4 5.5

§5.8 光的吸收与发射

• 前面介绍了在周期性微扰下原子受激发射与吸收跃迁几率的计算，但一般情况下，原子以自发发射为主，那么自发发射的跃迁几率如何计算？这涉及到原子与光子的相互作用问题，处理光子要考虑相对论效应，严格求解要用量子电动力学。现在介绍爱因斯坦的关于光的吸收与发射的半唯象理论，借助物体与辐射场平衡时的热力学关系，建立起自发辐射(或自发发射)与受激辐射（或受激发射）、吸收的关系，从而由受激辐射的几率求出自发辐射的几率。

1、 爱因斯坦的光吸收与发射理论

（1 ） 光子辐射与吸收的三种过程、三种系数

三种过程：

吸收 自发辐射 受激辐射

三种系数：

a 自发辐射系数 :----原子在单位时间自发从跃迁到 ，并发射光子 的几率。

b．受激辐射系数 -----在频率从 范围、强度为 的光波作用下，原子在单位时间从 跃迁到 ，并发射光子 的几率为 。
c．吸收系数 ------在频率从 范围、
强度为 的光波作用下, 原子在单位时间吸收光子
后从 激发到 的几率为 。
注意三种系数不是同一物理量
（2） 三种系数 、 与 之间的关系



2、由跃迁几率公式 计算 、 与

• （1） 与 、 的关系：

设 则

• 其中

受激辐射

吸收
我们只需求



（2）求

• 我们这里的含时微扰，是指在0→t时间内光照射原子。以

原子为原点，原子中电子位矢为 。设偏振单色光沿Z方
向传播，单色光的电场是：

原子中电子受到单色光的电场作用的能量为：

由于原子大小~Å，光波波长~ Å，所以z/λ~0, 所以，偏振单色光照射原子的含时微扰项为：


所以

• 说明一点：这里只考虑电场ε对电子的作用，忽略磁场B

对电子的作用，因为可以估计出前者大于后者约100多倍
（见教材P163）。

• I( )是指电磁波的能量密度，由电磁理论得

（3）推广到非单色光、非偏振光的情况

• 实际上入射的光不是单色光，其频率有一定的范围

所以应对各种频率引起的跃迁几率相加：



实际上入射的光是各向同性、无偏振光，因此要对三个方
向求平均


（4）求三个系数

• 吸收系数

这种含时微扰（一级近似）为电偶极近似，称这样的能级
跃迁为电偶极跃迁
受激辐射系数 =吸收系数
自发辐射系数

求三个系数，关键是求三个矩阵元


§5.9 选择定则

• 在原子物理中，单电子能级跃迁选择定则：

• 现在我们用量子力学给选择定则一个理论解释。
• 选择定则来自于跃迁几率是否为零，也即来自于三个辐射

系数是否为零。三个辐射系数都与矩阵元 有关。

• 所以，只要看看什么情况下 ，就可以得到上述

选择定则。
原子中电子在有心力场中运动，电子的波函数形式应与氢原
子的类似， ，只有径向部分有差别。


1.计算
利用 得

所以，只有 时
2.计算

• 利用公式

得
因此， 只有 ，时
综上1、2二点，得偶极选择定则：
说明：该选择定则是在偶极近似下成立的。可能有这样情
况，偶极近似下是禁戒跃迁，但在更高级近似下可
能是允许跃迁，则结果应是允许跃迁。

作业 5.6 5.7 5.8