Wednesday, August 8, 2012

为了避免它对控制系统的影响，必须将积累的角动量“释放”，称之为角动量卸载。卸载可以通过磁力矩器、喷气系统等实现

动量交换装置进行姿态控制时，都需要解决角动量卸载的问题。在航天器飞
行过程中，由于干扰力矩的长期影响，角动量将产生积累。随着这一角动量的增大，飞
轮的控制效率、控制精度也随之降低，严重者可导致动量交换系统长期处于奇异状态并
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最终丧失控制能力。为了避免它对控制系统的影响，必须将积累的角动量“释放”，称
之为角动量卸载。卸载可以通过磁力矩器、喷气系统等实现。
文献[3]研究了微小卫星反作用飞轮控制方法，根据卫星姿态运动学和动力学模型，
提出采用反作用飞轮的控制算法，并证明了该控制算法的稳定性。结果表明，采用该控
制方式的卫星能迅速实现姿态捕获，但不足之处是微小卫星本身质量较小，携带反作用
飞轮负载较大，效率不高。另外还需携带飞轮卸载装置和备份，对偏心率较大的轨道，
控制效果不是很好。且作者仅仅关注了飞轮控制精度，并未针对飞轮卸载进行研究。文
献[4]研究了以变惯量反作用飞轮作为执行机构的小卫星的大角度姿态机动控制问题。变
惯量反作用飞轮是一种新型的动量交换装置，不仅可以通过改变飞轮转速输出力矩，还
可以通过改变其转动惯量实现大范围的力矩输出。文中建立了带有变惯量反作用飞轮的
星体姿态动力学方程，设计了姿态控制律和飞轮的操纵律。与一般反作用飞轮相比，当
小卫星大角度机动时变惯量飞轮的转速更不容易饱和，且力矩的输出范围变宽，可以同
时满足小卫星高精度稳定和快速大角度姿态机动的双重要求。
(3) 其他控制方式
其他控制方式还包括利用空间环境力矩进行姿态控制，比如利用磁力矩、重力梯度
及太阳辐射压力矩的姿态控制技术。
利用卫星上磁体的磁矩与卫星所处位置的地磁场相互作用产生的力矩，已经成功地
用于自旋卫星、双自旋卫星及三轴稳定卫星的姿态控制。近期较成功的应用例证有 Ithaco
公司的磁控-动量扫描轮组合控制以及 RCA 公司的 Satcom 同步轨道磁控与偏置动量轮
组合控制，它们均获得较高的指向精度。中国的“风云一号”卫星在抢救过程中也充分
利用了磁控。目前长寿命卫星大都有磁控系统。由于磁强计与磁力矩器体积小、重量轻、
功耗少、寿命长，加上对地磁模型、剩磁补偿及软件算法的进展，地磁资源在航天控制
中得到进一步开发和应用。目前工程中，小卫星的姿态控制系统基本都使用磁力矩器。
在利用地磁力矩卸载方面[5]，卸载方法主要有三种:一是在不考虑外界干扰力矩条件
下根据飞轮所需卸载的角动量设计控制律[6，7]，目前绝大多数磁卸载卫星采用了此种卸
载法;二是通过估算卫星的非周期干扰力矩设计磁卸载控制律[8，9]
;文献[10]用线性二次型
理论设计飞轮卸载控制律。前两种方法是基于当前时刻飞轮所需卸载角动量大小和方向
提出的控制律，实现简单、但耗能多;第三种方法是采用最优控制理论设计飞轮卸载控制
律，这种方法耗能最少，但其中的权矩阵选择、黎卡提方程求解和磁矩矢量控制受限使
之实现的难度较大。
第一章 绪论
4
重力梯度稳定方式具有简单可靠、耗能小甚至不耗能等优点，在航天器发展的初期
就被重视，其应用场合十分广泛。至今发射的小卫星大部分采用重力梯度稳定。重力梯
度稳定加磁控可满足小卫星对重量轻、体积小、功耗低、价格廉、简单可靠及寿命长的
固有要求，而且指向精度也可以达到2°左右[2]。进入80年代中期， 现代小型卫星技术
得到迅速发展。现代小型卫星要求质量轻、体积小、成本低、性能高、研制周期短， 而
这些要求， 绝大部分都可以从重力梯度卫星找到。因为这些年来卫星设计和技术水平
有很大提高， 材料和制造工艺不断改进以及广泛在星上采用计算机与微电子技术， 特
别是卫星质量和转动惯量大幅度降低，就使重力梯度力矩更能有效抑制扰动力矩; 若再
加上采用磁控(磁强计与磁力矩器)，可以提高对地指向精度，使现代重力梯度稳定小型
卫星姿态指向精度达到1°左右。为此重力梯度姿态稳定技术，或者重力梯度与磁控和
偏置动量轮组合方案被广泛应用在当前小型卫星姿态控制系统[11-12]。重力梯度稳定有三
种方式[13]，即重力梯度方式、重力梯度+偏置动量轮方式和重力梯度+磁控+飞轮方式。
重力梯度加主动磁控方案使卫星最大限度地利用了自然资源[14]，在国外已有很多成
功的应用，在中国也有不少专家学者进行过深入的研究[15]。主动磁控系统是有约束的姿
控系统[16]，寻找有效的控制方法已成为该系统的一个重要课题。
利用太阳辐射压力矩控制航天器姿态是上世纪 70 年代热门的话题。Naguyen 提出
了一种采用太阳辐射力矩对空间探测器进行三轴姿态控制的方案。但更多的应用是在自
旋卫星上利用太阳辐射力矩进行进动与章动控制[2]。
迄今为止，无论是重力梯度稳定、磁稳定或太阳帆等，不但有大量的研究文章[17，18]，
而且在实用卫星中也不乏成功范例[19]。 表已给出了各种姿态控制方式及其特点。
表 1 不同姿态控制方式应用特点列举
控制方式
应用范围
控制精度等级
具体应用
喷气控制
各种指向要
求的卫星
高精度
姿态消初偏，速率阻尼，
姿态捕获，姿态机动，姿
态稳定，返回和交会对接。
动量交换装置
长寿命高精
度的三轴姿
态稳定卫星
高精度
姿态机动，姿态稳定，动
量卸载
磁力矩（利用空
间环境）
自旋、双自旋
及三轴稳定
2°左右（粗控）
磁定姿与磁控制，卫星抢
救，飞轮卸载
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控制方式
应用范围
控制精度等级
具体应用
重力梯度（利用
空间环境）
小卫星为主
的各种卫星
2°左右（粗控）
小卫星姿态控制，大型航
天器动量管理，力矩平衡
太阳辐射压（利
用空间环境）
力矩不大的
自旋卫星等
高精度
自旋卫星的进动与章动控
制，空间探测器姿态控制
目前国内外实际应用的小卫星姿态控制方式如下：
POSAT-1 是 Surrey 大学为葡萄牙研制的小卫星，其姿态控制主要采用无源方式，
由重力梯度稳定和磁力矩稳定相结合，卫星在轨道上绕 Z 轴缓慢地自旋[1]。瑞典空间物
理研究所( ISF) 研制的纳卫星 Munin，它的重量只有 5kg，它的姿态稳定采用的是磁力
矩稳定[1]。巴西国家空间研究所研制的科学实验微小卫星 SACI-1，总重量为 60kg，有
效载荷 28kg，姿态控制采用自旋稳定和地磁稳定相结合，指向精度为 1°[1]。南非
Stellenbosch 大学制造的微小卫星 SUNSAT，其姿态控制主要采用的是重力梯度稳定、
反作用飞轮、磁力矩器结合的方式[1]。我国从 80 年代中后期开始进行小卫星的研究工
作，最典型的是清华大学与英国萨瑞大学联合研制的微小卫星“清华一号”，卫星的姿
态控制主要采用反作用轮实现三轴稳定控制，磁力矩器辅助姿态控制，重力梯度杆(备
份)。
1.2.2 大角度姿态机动
在航天器的一些典型任务中，如姿态捕获、消除翻滚、再定向、空间对接等过程中，
航天器都需要进行大角度姿态机动。要实现大角度姿态机动，除了应用喷气控制以外，
还可以应用飞轮或控制力矩陀螺。
(1) 相平面法
对于典型二阶非线性系统，常常利用相平面进行分析研究[1]。随着现代控制理论的
发展和计算机在卫星控制系统中的应用，当前已经可以采用较复杂的基于相平面的开关
控制律来实现喷气控制。这不仅可以提高控制精度，而且还能减少喷气推进剂的消耗量。
而且在姿态角及姿态角速度都较小的时候，相平面法可以得到较为准确而直观的结果。
在卫星姿态动力学与控制教科书中都详细提到相平面控制率设计，包括分区域喷气，喷
气条件，喷气长度，开关线的设计等。文献[20] 研究了基于误差四元数的非线性姿态跟
踪问题，还利用相平面方法分析了闭环系统的鲁棒稳定性。目前相平面方法在姿态机动
中应用比较成熟。
(2) 其他非线性控制方法
第一章 绪论
6
在大角度姿态机动控制方面，一些基于Lyapunov方法[21,22]及基于滑动模态技术[22-24]
的算法也已经被提出。虽然这些控制算法是有效的，但通常要求较大的初始控制力矩，
从而要求姿态控制执行机构提供较大力矩，这将导致执行机构的体积、重量的增加(如
喷气机构)或转速的增高(如飞轮)，从而增加卫星的成本。徐世杰[25] 提出了一种基于
Lyapunov 方法的四元数形大角度姿态机动控制律，其中考虑了动力学方程中的不确定性
和非线性，这个控制器具有按指数规律变化的增益，它大大减小了对初始力矩的要求。
航天器大角度姿态机动的自适应滑模控制一文中，靳永强[26]针对航天器大角度姿态
机动过程中的严重非线性、航天器惯量的不确定性及外界干扰，基于 Lyapunov 函数方
法提出了一种自适应滑模控制律。
清华大学李俊峰和林原[27]针对重力梯度稳定小卫星的大角度姿态机动问题，通过选
择一类滑动流形，设计了变结构控制律，并将误差四元数引入控制律。
徐敏和李峻峰[28]研究了重力梯度稳定微小卫星大角度机动问题，应用 Pontryagin 极
大值原理进行了最优控制律设计问题，并将遗传算法引入求解最短时间控制问题和能量
最优控制问题，提高了计算效率。
为大角度姿态机动设计的控制系统往往具有非线性强耦合特点，这使得传统的假设
的近似线性化处理方法难以应用。王庆超和李达[29]针对动能拦截器进入末制导阶段时采
用的大角度姿态机动问题，基于反馈线性化理论，提出一种 PID 神经网络自适应逆控制
方法，该方法将 PID 神经网络控制与自适应逆控制相结合，对于拦截器姿态控制系统中
的建模误差以及外部干扰具有较强的适应能力。韩艳铧、周凤岐和周军[30]应用反馈线性
化方法，将航天器姿态线性化并解耦，然后设计了滑动模态分散控制器，提高了系统的
鲁棒性。
姿态机动控制律的设计往往得到时域连续函数，而在工程应用中除动量交换装置可
提供连续力矩，喷气控制需要的是脉冲控制函数，数字控制系统本身为离散控制，这就
需要将连续的控制信号转化为离散脉冲控制信号。文献[31]应用 PWPF(脉宽脉频)调制技
术研究了空间动能拦截器的末制导律设计问题，并且针对 PWPF 调节器参数设置上的局
限性，提出了一种非线性优化目标函数，综合考虑了 PWPF 调节器的线性工作区要求及
脱靶量、燃料消耗量等制导系统的性能指标要求。利用提出的优化目标函数，应用遗传
算法对 PWPF 调节器参数进行优化设计。利用 PWPF 调制技术可使所设计的控制律用开
关式喷气作用实现，利用数值方法对参数进行快速确定同样可以适用于其他控制律设
计，具有很好的借鉴意义。
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7
近些年来，模糊控制用于航天器的姿态控制也成为航天技术领域的热门研究课题之
一。目前，模糊控制用于卫星姿态稳定控制的研究较为充分，如文献[32]设计了一个模
糊神经网络 bang-bang 控制器用于以推力器为执行机构的卫星姿态稳定控制，文献[33]
则设计了一种综合自适应模糊和 H2/H∞姿态稳定控制器。将模糊控制方法用于卫星的
大角度姿态机动控制的研究相对较少，文献[34]设计了一种输入输出线性化结合自适应
模糊控制的姿态机动控制器，它是以输入输出线性化方法为主、辅以自适应模糊来处理
不确定性的控制方法。目前以模糊控制为主的卫星姿态机动控制方法的讨论很少。
姿态机动控制系统设计的要求是快速、稳定并准确达到目标姿态角。从概念上分析，
模糊控制应能满足姿态机动控制的要求。由于模糊控制器的设计不依赖被控对象数学模
型，它对被控对象模型参数变化有很强的适应性，甚至同一控制器可用于不同航天器的
控制，其出色的鲁棒性用传统控制方法很难达到。以模糊控制为主的姿态机动控制方法
的研究是很有实用价值的。
基于模糊控制的卫星大角度姿态机动控制方法研究[35]的目的就是验证以模糊控制
方法为姿态机动控制律的可行性并研究控制效果。文献[36]利用传统姿态机动控制的经
验设计了一个典型 Mamdani 类 PD 型模糊控制器，以一类带一对太阳帆板的卫星为对象
进行仿真，执行机构是飞轮。通过仿真，分析了模糊控制器的参数对控制性能的影响，
与传统 I/O 解耦 PID 控制器比较，验证了模糊控制器的鲁棒性。
1.3 相关的研究方法
1.3.1 利用遗传算法对 Lyapunov 控制器进行优化
本文以我国日地空间环境探测编队卫星群为背景，以其中的三轴稳定卫星为基本研
究对象，针对该卫星需要完成的太阳捕获、对地定向、安全模式等飞行任务，研究微小
卫星大角度姿态机动问题。
一般说来，在系统参数变化和外部干扰下，卫星应具有快速目标捕获和保持稳定姿
态的特点。对于利用反作用推力或力矩进行姿态控制的微小卫星，燃料/能量消耗是一个
必须要考虑的因素。因此，设计节省能量、具有鲁棒性且能在规定时间内达到控制要求
的姿态控制器就越来越重要。Lyapunov 方法[21,22]和滑模变结构控制方法[22-24]保证了姿态
控制的稳定性，然而，Lyapunov 控制器中的一些决定其性能的重要参数并不能唯一确定。
在实际应用中，往往为了满足某些工程上给出的限制，例如发动机最大转矩的限制，
需要通过试凑的方法先给定一组参数，然后经仿真试验调整后确定。这样做的结果显然
难以达到最佳控制效果，尤其是当一些条件限制不能通过仿真直接观察得到，或者当多
第一章 绪论
8
个条件需要同时满足时，手动调节就显得十分笨拙。
针对此问题，本文提出一种非线性优化目标函数，综合考虑了控制时间、控制精度
及能量消耗等性能要求，利用提出的优化目标函数，采用遗传算法对 Lyapunov 控制器
中的参数进行优化。文中首先建立了该卫星的姿态动力学模型，并采用四元数[21,23,37]来
描述卫星的姿态。文中设计了 Lyapunov 控制器，并利用遗传算法[38]在保证控制精度和
满足输出力矩约束条件下得到令能量最优的控制器参数。理论分析和数值仿真都表明控
制律可以有效控制卫星姿态，优化后的控制器能够实现能量消耗最少的目标。
1.3.2 基于反馈线性化的滑模变结构控制方法
众所周知，航天器姿态运动方程是非线性的，而且各通道之间存在耦合作用，这样
的受控对象是复杂的。为了简化问题，通常假设航天器姿态角变化较小，从而可将其运
动方程在“工作点”附近进行泰勒展开，得到近似线性化模型后，再运用经典控制理论
和成熟的多变量线性系统理论进行姿态控制系统的初步设计，然后再考虑大姿态角所带
来的非线性和耦合作用的影响，进行仿真和校验，直到控制系统符合期望的性能指标。
这种设计方法有两个缺点：一是对初步设计好的控制系统进行仿真和校验，很大程度上
倚赖于设计者的工程经验，所以不可避免地带有一定的盲目性，造成仿真和校验往往需
要重复多次，效益较低；二是将非线性因素和耦合因素当作施加于线性系统的扰动进行
处理时，损失掉了这种非线性和耦合因素所携带的“具体信息”，导致最终设计出来的
控制系统保守性较大。文献[39]对当前不确定非线性系统鲁棒控制的主要设计方法和应
用领域进行了综述和评论。
本文基于反馈线性化思想[40, 41]和分散滑动模态变结构控制理论[42]，首先将航天
器姿态运动方程进行“精确线性化”，同时实现三通道的解耦，然后对各控制通道独立
设计滑模变结构控制器。此种设计方法的优点有二：一是对原非线性模型进行线性化时
完全考虑了其各阶非线性因素和所有耦合因素，得到的线性模型是“精确的”，所以没
有损失任何“具体信息”，从而设计出来的控制系统保守性大大减小；二是滑模变结构
控制器的采用有效地克服了原系统参数摄动和外部扰动所带来的不利影响，控制系统具
有对参数摄动和外部扰动的鲁棒性甚至不变性。
变结构控制最突出的优点是系统的滑模运动对系统不确定性具有很强的鲁棒性。当
不确定性满足匹配条件时，滑模运动完全不受不确定性的影响，这称为滑模运动的不变
性[43]。当然，在实际的工程系统中匹配条件并非总能得到满足。当系统中存在非匹配
不确定性时滑模运动的不变性不复存在。变结构控制器本身无法克服系统中的非匹配不
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确定性[44]，但是通过合理地设计滑动面，仍可使系统的滑模运动具有较强的鲁棒性[45]
和所期望的动态性能[46, 47]。所幸的是，我们通过反馈线性化解耦得到三个独立的子系
统，每个系统都是单输入单输出且状态变量为相变量的线性系统，此时滑模运动的不变
性条件自动成立[42]。理论上讲，这种情况下若某个通道进入滑动模态，其状态运动仅
取决于相应的滑动面的参数。
1.3.3 脉宽脉频(PWPF)调制方法
由于推力器产生的推力是属于开关型的控制量，因而采用相平面开关曲线方法设计
的控制律获得广泛应用。近年来，长寿命，高可靠性，重复性能好的推力器系统投入使
用，其极限的开关次数高达数百万次。因此如果采用脉冲调制技术，把连续性控制量调
制成开关型控制量，则控制律较为简单而不需要复杂的计算[48]。
脉宽调制技术最初就是为了解决发动机燃油消耗问题的[49]，现已广泛应用于电力
电子、航空航天等领域。PWPF 技术在脉宽调制技术的基础上，增加了设计自由度。在
利用 PWPF 技术设计发动机的开关逻辑方面，文献[50]利用动量等价原理首先实现了“数
字变推力”的效果。文献[51]、[52]在此方面进一步开展了仿真研究。然而，PWPF 调节
器中的一些决定其性能的重要参数并不能通过物理关系唯一确定，往往通过试凑选取。
PWPF 调节器由一阶惯性环节、继电器的滞回特性环节以及反馈回路组成，在调节
器内部有反馈回路，因此 PWPF 实际上就是设计发动机的开关逻辑。通常 PWPF 调节器
的频率或动态响应很快，其运动特性可以由脉冲工作时间或脉冲宽度
on
T 、脉冲周期T 最
小脉冲宽度∆以及占空比 DC 来描述。
1.3.4 太阳捕获阶段控制策略
航天器进入预定轨道以后，需要尽快完成姿态的初始化，初始化过程一般主要包括
速率阻尼模式和太阳捕获模式两个阶段。一般情况下，当航天器初始轨控完成后，星体
角速度都比较大，需要对三轴稳定卫星进行速率阻尼控制，使得三轴角速度降为零。之
后进入太阳捕获模式，尽量使星上太阳能电池板的正法线方向与太阳矢量重合以确保较
大的充电效率。如果此时没有捕获到太阳，则需要进行主动全天球扫描。星上敏感器一
旦捕获到太阳就进行姿态机动，使得探测器太阳能帆板对准太阳。
工程实际中，卫星从运载器释放后具有一定的角速度，需要依次经历速率阻尼，太
阳捕获，对地定向等阶段后进入工作模式。太阳捕获阶段既可以利用释放后的角速度对
日扫描，即速率阻尼与太阳捕获同步进行，也可以先速率阻尼，将卫星三轴角速度降为
第一章 绪论
10
很小以后进行全天球扫描太阳。前者的优点是节省燃料，但释放角速度如果过快会使太
阳敏感器测量误差较大；后者虽然在速率阻尼后仍需要姿态机动进行扫描，比较费燃料，
但测量误差较小且可靠性高。
本文采用的太阳捕获方案是先速率阻尼后姿态机动进行全天球扫描。
控制策略可描述为：
（1）三轴速率阻尼完成后，如三轴角速度均已很小，根据 0-1 式太阳敏感器输出
信息判断是否进行扫描。如 0-1 式太阳敏感器无任何信号输出，则绕本体 x 轴转 90°。
（2）如果三轴角速度均已很小，判断在绕 x 轴旋转 90 度后是否太阳敏感器有信
号输出。如果没有则选择再继续绕 y 轴转 90 度。
（3）如果三轴角速度均已很小，判断在绕 y 轴旋转 90 度后是否太阳敏感期有信
号输出。如果仍无信号输出则重复（2）、（3）步骤。此时除非在阴影区内，否则 0-1 式
太阳敏感器一定有信号输出。
1.4 主要内容和章节安排
本论文的主要内容和章节安排如下：
第一章为绪论，介绍课题的研究背景、意义及目的，以及国内外研究状况综述，介
绍了本论文相关的研究方法。
第二章是航天器轨道姿态动力学建模，根据本文中理论研究的需要介绍了常用的参
考坐标系，并介绍了使用欧拉角描述的姿态运动学方程及工程上常用的姿态四元数表示
运动学方程。之后介绍了四元数，以及四元数与欧拉角之间的转换。
第三章为大角度姿态机动设计了姿态控制器，首先介绍了 Lyapunov 控制方法，然
后利用非线性控制方法设计Lyapunov控制器,并利用遗传算法在保证控制精度和满足输
出力矩约束条件下得到能量最优的控制器参数。最后利用 MATLAB/Simulink 联合仿真，
在 MATLAB 程序中进行参数优化，利用 simulink 搭建控制器模型。
第四章针对大角度姿态机动设计了基于反馈线性化方法的姿态控制器。运用反馈线
性化方法，将航天器姿态通道线性化解耦成三个单输入单输出系统，然后运用分散滑动
模态控制理论对每个通道分别设计控制器，以使系统获得对参数摄动和外部扰动的鲁棒
性。
第五章研究太阳捕获控制策略问题，首先设计太阳敏感器布局，推导出由这个布局
决定的敏感器输出参数的表达式，再根据布局设计控制逻辑，进行大角度姿态机动。敏
感器的布局设计要满足在惯性系下卫星全盲情况下可以寻找到太阳矢量，并保证卫星的
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11
太阳帆板正法线方向与太阳矢量夹角在规定范围内。
最后给出本文的结论，必要的参考文献附于其后。
第二章 航天器姿态动力学建模
12
第二章 航天器姿态动力学建模
2.1 航天器姿态运动方程
航天器的姿态运动学只研究航天器运动的几何性质，不涉及产生运动和改变运动的
原因；航天器的姿态动力学则研究航天器绕其质心运动的状态和性质。所以航天器姿态
动力学建模须考虑两个部分，一部分为通过坐标变换关系得出的运动学方程，另一部分
则是动力学方程。
2.1.1 常用参考坐标系
在描述航天器运动的过程中，本文主要用到两种不同的坐标系：惯性坐标系
)(i
iiii
SzyxO 、航天器的本体坐标系
)(b
bbb
SzyOx （见图 1）。
图 1 惯性坐标系与本体坐标系示意图
各坐标系定义如下：
1、惯性坐标系
)(i
iiii
SzyxO
原点
i
O 位于地心，
i
x 轴指向春分点方向，
i
z 轴指向北极，
i
y 轴由右手定则确定。
2、航天器的本体坐标系
)(b
bbb
SzyOx
原点 O 在航天器质心，
b
x 轴沿航天器纵轴指向前，
b
y 轴垂直于对称平面指向右，
b
z
轴在纵对称平面内，垂直于纵轴指向下。一般来说，
b
x 轴、
b
y 轴、
b
z 轴为航天器的惯
量主轴。其中
b
x 轴为滚动轴（roll）、 b
y 轴为俯仰轴（pitch）、 b
z 轴为偏航轴（yaw）。
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13
2.1.2 基于欧拉角的姿态描述
根据欧拉定理，刚体绕固定点的位移不但可以由绕该点的一次单轴旋转完成，同时
也可以是由绕该点的若干次有限转动来合成。在欧拉旋转中，就是将参考坐标系（下面
记为
rrr
zyOx 或
r
S ）转动三次后与航天器本体坐标系重合，三次转动的角度即为三个姿
态角：绕 x 轴的滚动角 φ、绕 y 轴的俯仰角 θ 和绕 z 轴的偏航角 ψ。采用欧拉角进行姿
态描述的最大好处是其使用简单，几何意义明显，并且三个姿态角能够用姿态敏感器直
接测量出来。更具体地，根据三次欧拉旋转顺序的不同，工程上常采用的描述方案一般
有以下两种。
第一个方案，即第一套姿态角或称 3-2-1 顺序姿态角，是通过如下的旋转顺序来定
义的（如图 2）：
( )
( )
( )
S
y
x
z
L
L
L
r
b
S
θ
φ
ψ
---→• ---→• ---→
图 2 第一套姿态角：3-2-1 顺序
这时，从
r
S 到
b
S 的坐标变换矩阵为：
( ) ( ) ( )
cos cos
cos sin
sin
cos sin
sin sin cos
cos cos
sin sin sin
sin cos
sin sin
cos sin cos
sin cos
cos sin sin
cos cos
br
x
y
z
ϕ
θ
ψ
θ
ψ
θ ψ
θ
ϕ ψ
ϕ
θ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
θ
ψ
ϕ
θ
ϕ ψ
ϕ
θ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
θ ψ
ϕ
θ
=
-
⌈
⌉
│
│
= -
+
+
│
│
│
│
+
-
+
⌊
⌋
L
L
L
L
(2.1)
第二个方案，即第二套姿态角或称 3-1-2 顺序姿态角，其三轴旋转方式为（如图 3）：
( )
( )
( )
S
y
x
z
L
L
L
r
b
S
θ
φ
ψ
---→• ---→• ---→
r
z
r
x
r
y
b
y
b
x
b
z

S
'
z
'
x
'
y
φ
θ
θ
ψ
ψ
φ
第二章 航天器姿态动力学建模
14
图 3 第二套姿态角：3-1-2 顺序
这时，从
r
S 到
b
S 的坐标变换矩阵为：
│
│
│
⌋
⌉
│
│
│
⌊
⌈
-
+
-
-
+
-
=
=
φ
θ
ψ
φ
θ
ψ
θ
ψ
φ
θ
ψ
θ
φ
ψ
φ
ψ
φ
φ
θ
ψ
φ
θ
ψ
θ
ψ
φ
θ
φ
θ
ψ
φ
θ
cos
cos
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
sin
cos
sin
sin
sin
cos
cos
)()()(
z
x
y
br
L
L
L
L
(2.2)
2.1.3 基于四元数的运动学方程
在传统的飞行力学中，航天器相对参考系的姿态是用欧拉角来定义的，但这个做法
不适宜大幅度的姿态运动。因为在某些特殊情况下，某个姿态角成为无定义的，并且在
运动学方程中出现奇异性。为了克服这个障碍，采用四元数（Quaternion 或 Euler
parameters）代替欧拉角来定义航天器姿态。
图 4 四元数示意图
r
z
r
x
r
y
b
y
b
x
b
z
S
'
z
'
x
'
y
φ
θ
θ
ψ
ψ
φ
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设坐标系
)(a
aa
a
SzyOx 围绕ON 转过角σ 后与坐标系
)(b
bbb
SzyOx 重合，见图 4。轴
ON 与轴
a
a
a
zyx
,, （也是与轴
b
b
b
zyx
,, ）之间的角是
3
2
1,,β
β

β
。因而
b
S 相对于
a
S 的取向
（或姿态）可以用角
3
2
1
,,,β
β
β
σ
完全地确定，也就是用四元数完全的确定，即
q
k
j
i
Q
+
=
+
+
+
=
0
3
2
1
0
q
q
q
qq
(2.3)
式中：
⎩
⎨
⎧
=
=
=
)3,2,1(
cos)2/
sin(
)2/
cos(
0
i
q
q
i
i
β
σ
σ
(2.4)
(
)T
q
qq
3
2
1
=
q
，则四元数也可表示为
(
) (
)T
T
q
qqqq
T
q
Q
0
3
2
1
0
=
=
，
显然它们满足如下的约束条件：
1
2
3
2
2
2
1
2
0
=
+
+
+
q
q
q
q
(2.5)
所以在代表旋转的四元数四个元素中只有三个是独立的。
旋转四元数又可以表示成
n
)2/
sin(
)2/
cos(
σ
σ
+
=
Q
(2.6)
式中：
b
a
k
j
i
k
j
i
n
3
2
1
3
2
1
cos
cos
cos
cos
cos
cos
β
β
β
β
β
β
+
+
=
+
+
=
b
b
a
a
(2.7)
为了更加明显起见，从
a
S 到
b
S 的四元数以 )(
QC （即四元数姿态矩阵）表示。
根据欧拉旋转及四元数定义，四元数姿态矩阵可表示为
[ ]
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) (
) (
) │
│
│
⌋
⌉
│
│
│
⌊
⌈
-
+
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
=
-
+
-
=
×
1
2
2
2
21
2
2
2
21
2
2
2
)
()(
2
1
2
0
10
32
20
31
10
32
2
1
2
0
30
21
20
31
30
21
2
1
2
0
0
2
2
0
q
q
qqqq
qqqq
qqqq
q
q
qqqq
qqqq
qqqq
q
q
q
q
q
qq
Eq
QC
T
(2.8)
其中，E 为33
× 单位矩阵。
注意到四元数姿态矩阵是由四元数 Q 的二次项组成，因此对于四元数
T
q
Q
)
( 0
T
q
-
-
=
-
，也可以得到(2.8)式所示的姿态矩阵。四元数的这种非唯一性是与
欧拉轴/角的非唯一性相一致的。例如，假设欧拉旋转角分别为 0 和 π2 ，则相应的四元
数分别为
T
)0001( 和
T
)0001(

-
，但物理意义上这两者实际代表同一种姿态、
同一种旋转，并无区别。一般取四元数的正值进行计算。
对任意四元数P、Q ，定义四元数乘积为
PQ
QP
QP
)(
)(
mati
mat
=
=
⊗
，其中⊗ 表
示四元数乘法，并且
第二章 航天器姿态动力学建模
16
│
│
│
│
⌋
⌉
│
│
│
│
⌊
⌈
-
-
-
-
-
-
=
0
1
2
3
1
0
3
2
2
3
0
1
3
2
1
0
)(
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
mat P
，
│
│
│
│
⌋
⌉
│
│
│
│
⌊
⌈
-
-
-
-
-
-
=
0
1
2
3
1
0
3
2
2
3
0
1
3
2
1
0
)(
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
mati Q
根据四元数乘积的定义，对四元数Q 可以方便地定义其轭数四元数为：
*
-
=
-
=
-
-
-
=
Q
Q
TT
T
q
q
q
q
q
q
)
(
)
(
0
3
2
1
0
1
，
其中 *
Q 是Q 的共轭数。
类似于欧拉角合成法则，四元数表示的姿态矩阵的合成法则可表示为：
)()(
)(
1
2
3
QCQC
QC =
(2.9)
将(2.8)带入上式，展开求解，可得到四元数的合成法则
2
1
3
Q
Q
Q
⊗
=
(2.10)
注意四元数与姿态矩阵的合成顺序正好相反。假设已知初始四元数及目标四元数，
则由(2.9)式很容易确定所需的机动四元数
目标
初始
机动
Q
Q
Q
⊗
=
-1
(2.11)
设Q 是惯性系下的四元数矢量，采用四元数表示法，则卫星的姿态运动学方程可表
示为：
i
i
1
1
/
( )
( )
( )
2
2
=
⊗
=
⊗
Q
Q
ω
ω
d dt
G
G q
A
(2.12)
矩阵表示为
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
3
2
1
1
0
3
2
2
2
3
1
2
2
3
0
1
3
3
2
1
3
3
2
1
0
/
0
0
/
0
1
1
/
0
2
2
/
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
-
-
-
-
-
-
⌈
⌉
⌈
⌉ ⌈ ⌉
⌈
⌉ ⌈
⌉
│
│
│
│ │ │
│
│ │
│
-
│
│
│
│ │ │
│
│ │
│
=
=
│
│
│
│ │ │
│
│ │
│
-
-
│
│
│
│ │ │
│
│ │
│
-
-
⌊
⌋
⌊
⌋ ⌊ ⌋
⌊
⌋ ⌊
⌋
ix
iy
iz
dq dt
q
q
q
q
q
dq dt
q
q
q
q
q
dq dt
q
q
q
q
q
dq dt
q
q
q
q
q
(2.13)
其中 ( ) 0 ( )
ω
⌈
⌉
=
⌊
⌋
ω
T
T
i
i
A
。ωi 为本体坐标系相对惯性坐标系的角速度，
(2.14)
如果欧拉角按轨道坐标系
2
13→
→
旋转到本体坐标系，则每次旋转所对应的四元
数分别为
( )
T
T
T
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
│
⌋
⌉
│
⌊
⌈
=
0
2
sin
0
2
cos
00
2
sin
2
cos
)(
2
sin
00
2
cos
)(
3
2
1
θ
θ
θ
φ
φ
φ
ψ
ψ
ψ
Q
Q
Q
(2.15)
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