由于牛顿运动方程对物体的坐标和动量不是线性齐次的，因此，实物的运动不满足迭加性（在数学中，只有线性齐次方程的解具有迭加性）。

由于牛顿运动方程对物体的坐标和动量不是线性齐次的，因此，实物的运动不满足迭加性（在数学中，只有线性齐次方程的解具有迭加性）。

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第一章 拉格朗日方程和哈密顿方程

1-1 自由度 约束与广义坐标

1．自由度和约束

在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。约束对各质点位置限制的条件通常可以表为力学体系中质点的坐标、速度和时间的方程.如果个质点所形成的力学体系中受有个限制其位置的约束，那就有个表示这种约束的方程，因此个坐标中就只有个是独立的，譬如一个质点原有3个独立的坐标，如果受有曲面:

的约束，那么独立坐标的数目就减为两个.

为单值地确定一个系统的位置所必须给定的独立变量的数目，叫做这个系统的“自由度”数.

2．广义坐标

独立坐标的数目叫做力学体系的自由度.令,把个不独立的坐标用个独立参数及表出，即

(1.1.1)

或 (1.1.2)

或中叫做拉格朗日广义坐标，它不一定是长度，可以是角度或其它物理量，例如面积A、体积、电极化强度、磁化强度等等.在几何约束的情况下，广义坐标的数目和自由度的数目相等.此个广义坐标，就足以规定力学体系的位置.

1-2拉格朗日方程

1、达朗伯原理

(1.2.1)

或

上式是一个力学体系的平衡方程，代表主动力、约束反力和质点因有加速度而产生有有效力（惯性力）的平衡.通过这种办法就可把动力学问题化为静力学问题来处理. 上式反映的这种平衡关系，通常叫做达朗伯原理.

2、达朗伯——拉格朗日方程

若用虚位移标乘式(1.2.1)，并对求和，在理想约束的条件下，则得

(1.2.2)

称为达朗伯——拉格朗日方程.

3、基本形式的拉格朗日方程

(1.2.3)

(1.2.4)

式（1.2.2）可改写为

即

(1.2.5)

令

(1.2.6)

又令

(1.2.7)

现在来计算.由式（1.2.6），知

(1.2.8)

又 (1.2.9)

由式（1.2.9），就可得出：

(1.2.10)

再求对的微商，得

(1.2.11)

即对时间的微商和对广义坐标的偏微商可以对易.利用（1.2.10）及（1.2.11）两式的关系，

(1.2.12)

(1.2.13)

由于是互相独立的，故得

(1.2.14)

这就是基本形式的拉格朗日方程. 叫做广义动量，叫广义速度，叫做广义力。

1-4 哈密顿函数 哈密顿方程

1、勒让德变换

如果我们把中的广义速度等换成广义动量等就可使方程组降阶，即由二阶变为一阶，而且还可具有其它的一些优点.我们现在就来进行这种变换.

如果令

(1.4.1)

作为独立变量，则可得

(1.4.2)

而由式（1.4.1），又可解出，使是,及的函数，即

(1.4.3)

这是因为原是的函数，而也仍然是的函数.

如果把式（1.4.3）中的代入拉氏函数中，则也将变为的函数，兹以表之，即

（1.4.4）

这时方程式（1.4.2）及（1.4.3）一共是个一阶微分方程组，是拉格朗日方程式的另一表达形式.但这两组方程形式并不对称，计算也不方便.进一步的研究表明，当独立变量改变时，函数本身亦宜随之改变为另一种形式的函数才好计算.这种由一组独立变数变为另一组独立变数的变换，在数学上叫做勒让德变换.

2．哈密顿函数与哈密顿方程

引入新函数，使

(1.4.10)

而 (1.4.11)

因为我们现在仍把认为是及的函数，故根据高等数学中多元函数求微分的法则，我们有

(1.4.12)

这里利用了（1.4.1）及（1.4.2）两式.把式（1.4.12）中的代入式（1.4.11）中，得

(1.4.13)

因为经过变换后，已是的函数，故根据上面所讲的同样理由，知

(1.4.14)

比较（1.4.13）及（1.4.14）两式，并因为及都是独立的，故得

(1.4.15)

又 (1.4.16)

方程式（1.4.15）通常叫做哈密顿正则方程，简称正则方程，而式（1.4.10）所定义的函数，则叫哈密顿函数，它是个变量即及的函数.

第二章 薛定谔方程

一、量子力学定义

研究对象：量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动规律的理论。其研究对象是微观粒子，研究内容是微观粒子性质及运动规律。量子力学建立于二十世纪初，公认的量子力学的诞生年是1925年。

地位和作用：量子力学是近代物理学的重要理论支柱之一。随着量子力学的出现，人们对物质微观结构的认识日益深入，从而能够较为深刻掌握物质的物理和化学性能及其变化的规律，为利用这些规律于生产实践开辟了广阔的途径。原子核、固体等的性质都能从以量子力学为基础的现代理论中得到阐明。量子力学不仅是物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中得到了广泛的应用。

二、十九世纪末物理学的发展状况

首先，我们来介绍一下二十世纪初，物理学界所发生的划时代的重大变革。

二十世纪初，物理学界发生了一场重大变革。这场变革的标志是两门重要基础理论的诞生：一门是相对论，另一门是量子力学。这是划时代的重大事件。随着这两门基础理论的诞生，整个物理学被划分为两部分：在此之前的物理学称为经典物理学，在此之后，以相对论和量子力学为理论支柱的物理学称为近代物理学。

下面来谈19世纪末期物理学的发展状况。十九世纪末期，物理学理论既取得了辉煌的成就，又遇到了无法克服的困难。具体从以下几个方面可以看出：

一方面，当时一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明：

（1） 物体的机械运动在速度远小于光速时，准确地遵守牛顿力学的规律，以牛顿运动三定律为基础的力学和声学构成了经典力学；

（2） 电磁现象的基本规律和光的波动理论（光的电磁理论）最后归结为麦克斯韦尔方程组，由电磁学和电动力学共同构成经典电磁学；

（3） 热现象的基本规律以及由大量分子构成的系统的宏观性质归结为经典热力学和统计物理学。

以上，就是十九世纪末期物理学发展所取得的辉煌成就。在这种情况下，当时不少人认为，物理学理论已经穷尽，剩下的工作只是把这些基本规律应用到各种具体问题上，进行一些计算而已。显然，这种终极理论的观点是错误的，之所以是错误，因为“在绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对的，因而在绝对真理的长河中，人们对于在各个一定发展阶段上的具体过程的认识，只具有相对的真理性。”也就是说，真理都具有相对的性质，真理都要不断发展，不可能具有什么终极理论。

另一方面，由生产力的巨大发展，对科学实验不断提出新的要求，促使科学实验从一个发展阶段进入到另一个新的发展阶段。就在经典物理取得辉煌成就的同时，人们发现了一些新的物现象：

① 黑体辐射问题。这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。这一结果用经典理论无法解释。

② 光电效应。光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

③ 原子的光谱线系。实验发现，原子所发出的光其光谱为线状光谱，且光谱分为若干线系。原子光谱这种性质和特征，用经典物理无法解释。

④ 固体在低温下的比热。实验发现，由经典的统计物理所给出的固体的定容比热公式在室温附近及较高温度很符合，但在低温时实验数值较小，而且实验的比热数值随温度降低得很快。当温度趋于绝对零度时比热也趋于零。这种现象是经典统计物理所无法解释的。

除了上述事实外，还有康普顿效应等其它一些现象是经典物理无法解释的。这些都是经典物理所遇到的困难。

三、量子力学的诞生过程

1、旧量子论的形成

由于经典物理所面临的无法克服的困难，暴露出了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下了基础。为了解释上述的物理现象，当时在物理学界出现了敢于冲破经典理论束缚的假设，这些假设构成了所谓旧量子论，即：

① 在研究黑体辐射问题时，普朗克提出了能量子假设，成功解释了黑体辐射问题，这样，能量子假说就成为旧量子论的第一条重要假设。

② 在研究光电效应问题时，爱因斯坦提出了光量子假设，成功地解释了光电效应现象，而且康普效应从实验上证明了光子的存在。这样，光子假设被称为爱因斯坦的量子论。这是旧量子论的第二条内容。

③ 为解释原子的光谱线系，玻尔提出了原子结构的量子论（定态假设、跃迁假设、量子化条件），成功解释了氢原子的光谱线系。但这个理论仅在经典理论的基础上人为加上了一些新假设，并不能反映微观世界的本质。这是旧量子论的第三部分内容。

以上三点构成了旧量子论的全部内容。

2、量子力学的建立过程

黑体辐射、光电效应、康普顿效应等现象的研究，使人们认识了光的波粒二象性。直至二十世纪二十年代，在光的波粒二象性的启发下，德布罗意提出了物质波假设，物质波的存在又被戴维逊和革未的电子衍射实验所证实。从此，人们认识了实物粒子的波粒二象性。由光的波粒二象性和实物粒子的波粒二象性进而统一为物质的二象性。在物质的波粒二象性的基础上，玻尔、玻恩、薛定谔、海森堡等人全面总结前人的研究成果，系统地提出了一整套基本假设，成功地研究了一系列微观体系的性质，从而确立量子力学理论成为近代物理的理论支柱。

需要说明的是，量子力学的诞生是物理学史上的划时代的事件。量子力学诞生之前的物理学称为经典物理，量子力学诞生之后的物理学（即以量子力学为理论基础的物理学分支学科）称为近代物理学。

3、量子力学诞生过程中的矛盾和斗争

量子力学诞生和发展的过程中，充满了新旧思想的矛盾和斗争。一方面，新现象的发现，暴露了微观过程内部的矛盾，它推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想、新的理论；另一方面，不少的人（其中也包括一些对突破经典物理学的限制作过贡献的人），他们的思想不能紧随变化了的客观情况而前进，不愿意承认经典物理学的局限性，总是千方百计地企图把新发现的现象以及为解释这些新现象而提出的新思想、新理论纳入经典物理理论的框架之内。这两种思想经历了反复的斗争和较量。从上述的几种新的物理现象的发现到量子力学的建立经过了三十余年的曲折过程，这充分说明量子力学这门理论的诞生，决不是一帆风顺的，更不是靠少数科学家在头脑中凭空臆造出来的。事实上，量子力学诞生80年来，它所预言过的物理现象，无一例外地被实验证明是正确的。

四、经典物理学关于物质运动的描述（粒子性、波动性定义）

为了便于量子力学中有关概念，我们先来回顾一下经典物理学关于物质的概念和物质运动的描述。

在经典物理中，关于物质的存在形式其基本观点是：自然界的物质分为两类，一类是实物，另一类是场，即辐射场。在经典物理中这两类物质具有截然不同的性质，它们遵守不同的运动规律，实物的运动遵守牛顿定律，辐射场的变化满足麦克斯威尔方程。对这两种不同的物质，经典物理采用了两种截然不同的描述方式，对实物的运动状态采用坐标、动量等力学量来描述，对辐射场的变化状态采用场强度（如电场强度、磁感应强度）或辐射的能量密度、能流密度等来描述。

1、实物

是由实际的原子、分子等构成的,具有一定凝聚形态的物质客体。如固体、液体、气体、等离子体等，都属于实物的范畴。

实物可以具有一定的质量、电荷等内禀属性（即固有性质）。但这些内禀属性的一个重要特点是具有可分割性。即一切实物都可以任意分割开来，对其中的任何一小部分进行独立研究，而且不论其质量大小，一律按牛顿运动定律运动，即使是分割为原子或分子，也只能按质点对待，遵守牛顿运动定律。

由于牛顿运动方程对物体的坐标和动量不是线性齐次的，因此，实物的运动不满足迭加性（在数学中，只有线性齐次方程的解具有迭加性）。

实物是指那些由原子、分子组成，具有可分割属性的物质客体。实物的运动规律不具备迭加性。物理学中称实物所具有的内禀性质的可分割性及运动规律的非迭加性为粒子性。这里粒子性是经典概念下的粒子性，这种粒子性只有实物这类物质才能够具有。

2、辐射场

辐射场是具有不可分割属性（如能量密度、能流密度、辐射场强度等都是不可分割的）的物质客体。如电磁场（电磁波）就是典型的辐射场。而光又是具有一定频率范围的电磁波，也是具有代表性的辐射场。这种不可分割属性不仅是指场本身不可能分割成各个部分进行研究，而且是指描述场的各种物理量，如场的强度、能量密度、能流密度等也是无法分割的。

任何一个辐射场，只能整体地进行研究，并且无论强度高低，一律按麦克斯威尔方程组进行变化。

由于麦克斯威尔方程组对于电场强度和磁场强度是线性齐次的，因而辐射场具有迭加性。

辐射场是具有不可分割属性的物质客体，辐射场具有迭加性。物理学中称辐射场所具有的不可分割属性和可迭加性为波动性。在经典物理中波动性是辐射场特有的性质。

由以上讨论可得出如下结论：在经典物理中，辐射场是具有波动性的物质，实物则是具有粒子性的物质。这种波动性和粒子性不可能统一于同一种物质客体上，反过来也可以这样说，任何一种物质，不可能同时具有波动性和粒子性。