將外微分形式漸變為調和形式，因而給出 Hodge 理論一個簡單的證明;Atiyah-Singer 指標定理的局部證明

一個古典問題：

在一個領域  的邊界上給定一個函數 f ，我們希望將 f 延拓到  裏，使得 極小，這叫 Dirichlet 邊值問題，這樣得到的 f 叫調和函數，它滿足  f = 0 。

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一個構造調和函數的方法為 Perron 方法，就是不斷的取函數的局部平均值， 直至它變為調和函數為止。

以後發現一個更好的辦法是解熱方程：

我們任意延拓 f 到領域  中，使得我們有給定的在邊界上的值，然後解以下的熱方程


此處  為 Laplace 算子。
這方程描述在時間為零時，熱的分佈由 f 給出，而到 t > 0 ，則由上述方程的解給出。

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當時間趨於無窮時，此問題的解會趨向於一個調和函數，並且保持 f 的邊值，因而解決了 Dirichlet 邊值問題。

這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要的地位，它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式，因而給出 Hodge 理論一個簡單的證明。

這個證明也可以應用於 Atiyah-Singer 指標定理的局部證明。 Atiyah 和 Singer 研究一階橢圓線性微分算子 D 的解空間的維數。這個算子有對偶算子 D* ，我們也可考慮它的解空間的維數，兩個維數的差叫做算子 D 的指標。

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我們考慮算子 exp (-t D*D) – exp (-t DD*) 的迹 (trace)。當時間很大時，它給出算子的指標，但我們發覺在 0 < t <  ，它與時間 t 無關，因此它又可在 t  0 時計算。

在 t  0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標可由曲率表示，而後者一般可由陳氏類來表達