纽结理论, Lorenz 系统中的周期轨道

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云南大学学报 ( 自然科学版), 2004, 26 (1): 44~ 46

CN53- 1045/N ISSN 0258- 7971

Journal of Yunnan University

Lorenz 纽结

张亚刚, 张　成

( 云南大学　物理系非线性复杂系统中心, 云南　昆明 650091)

摘要: 基于最小纽结假设, 由置换生成 Lorenz 映射对应的动力学纽结, 重构 L orenz 吸引子在三维空间中的

结构.

关键词: Lorenz 映射; 符号动力学; 最小纽结假设; 置换; 动力学纽结

中图分类号: O 415

文献标识码: A

文章编号: 0258- 7971(2004)01- 0044- 03

混沌现象中第一次观察到奇异吸引子的

Lorenz 系统曾是众多科学家研究的对象. 对于该系

统的研究已经发表了很多的学术论文和专著[1] .

作为近代数学的前沿研究热点

纽结理论, 对于

研究 Lorenz 系统中的周期轨道同样有着重要的应

用[2] . 在混沌现象的研究中, 符号动力学[3,4] 作为

一种有力的研究工具, 使得人们对动力系统的动力

学性态有了进一步的认识. 符号动力学对 Lorenz

系统的研究首先是从该系统的简化模型

Lorenz 映射开始的, 并取得了一些有意义的进展.

由于 Lorenz 映射只是 Lorenz 系统高度抽象化了的

几何模型, 它是否能真实反映 Lorenz 系统的物理

实质仍然是人们所关心的问题[ 5] . Lorenz 映射对

于原始的 Lorenz 系统而言, 其简化过程中丢失了

一些信息, 其动力学行为是否与 Lorenz 系统一致,

可以通过构造三维流来检验. 由此, 在最小纽结假

设下, 基于 Lorenz 映射的符号动力学构造其对应

的动力学纽结. 该纽结在真实 Lorenz 系统中是否

存在, 将是检验 Lorenz 映射是否真实反映 Lorenz

系统物理实质的有力证据, 至于 Lorenz 纽结在真

实空间中的存在性, 将是我们下一步的研究工作.

1 Lorenz 吸引子及 Lorenz 映射

1963 年, 美国大气物理学家 Lorenz 通过对对

流实验的研究, 得到了一个描述大气运动变化规律

的数学模型, 它是第一个表现奇异吸引子的连续动

力系统, 该系统描述了从水桶底部加热时, 桶内液

体产生对流现象, 当提供足够的热量并保持不变

时, 对流便会以不规则的和湍流的方式运动. 这个

系统经过傅立叶分解、截断, 并无量纲化, 便得到 1

个三维的常微分方程组

x =

(y- x),

y = rx - y - xy ,

z = xy - bz ,

( 1)

其中 , r, b 为正的常数, x 代表对流的强度, y 代

表上流和下流的温度差, z 代表温度分布的非线性

度. 这就是著名的 Lorenz 方程. 从这组常微分方程

出发, 经多次数值迭代, 可得到著名的 Lorenz 吸引

子. 研究表明, 许多流体力学、动力学、以及激光等

方面的问题都可以简化为这样 1 组常微分方程.

1976 年, Guckenheimer 和 Williams 首次引进

了描述大气运动变化规律的几何 Lorenz 模型, 它

是具有 Lorenz 类流系统的 Poincar 截面上的

Poincar映射, 在一定条件下可以进一步简化为 1

个一维区间自映射 f : [- 1, 1]

[- 1,1], 即

Lorenz 映射:

f(x) =

f L (x) = 1 -

L | x | + h. o. t.

x < 0,

f R (x) =- 1 +

R x + h. o. t.

x > 0,

( 2)

其中, 2 个参数 L , R> 0, 鞍点指标 > 1, h. o. t.

为高阶项. 忽略高阶项后, 可以把 Lorenz 映射一般

的写为以 x = 0 为间断点, 由 2 条单调枝构成的分

收稿日期:2003- 06- 02

基金项目: 云南省自然科学基金资助项目( 2000A0001Q) .

作者简介: 张亚刚( 1974-

) , 男, 河北人, 硕士生, 主要从事一维符号动力学方面的研究.

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段连续映射:

f(x) =

f L (x, L ),

x < 0,

f R(x, R),

x = 0.

(3)

对于映射符号动力学性态及其星花积规则的

研究, 已经取得了一些积极的结果, 详细内容可参

阅文献[ 6, 7] .

2 构造 Lorenz 纽结

由于三维流形与一维区间自映射之间存在密切

的联系, 许多高维微分流形的 Poincar截面上的首

归映射通常就是一维区间上的连续或间断的迭代自

映射, 因此, 对于 Lorenz 映射中的周期轨道, 我们可

以根据一定的规则重构其在三维空间中的结构.

周期轨道( 区间) 上点的迭代, 可以通过动力学

置换表示为辫子. 在此, 我们给出动力学置换的定

义: 将 p 周期轨道( 区间) 上的各点排序, 按从小到

大的顺序赋予自然序 1, 2 !, p, 再根据各点的迭代

关系, 给出的 p 周期轨道( 区间) 上的各点的排序

与迭代的关系就是动力学置换. 有了动力学置换,

根据相应的规则[8] , 我们可以得到与周期轨道( 符

号序列) 对应的辫子. 由于动力学置换与辫子的关

系是一对多, 为使它们成为一一对应的关系还需要

加入最小纽结假设: 由置换构造辫子时, 在周期轨

道点的迭代对应的线段中, 任意 2 条线段最多只有

1 个交点. 也就是说, 假定流在空间中没有额外的

扭转, 而且也不存在任意 2 条流线相互纠缠的情

况. 例如, 一个符号序列为 RDLC 的周期轨道, 其

动力学置换为

S 4=

1 2 3 4

2 4 1 3

与其动力学置换对应的辫子如图 1 所示.

如果我们定义辫子的 2 条截线之间的区域为

!, 截线外的区域为 ∀, 并在截线外区域 ∀中将截线

上的点 x 用曲线x

x 连接起来( 连接时根据区域

!内有向线段的上下关系, 将区域 ∀内的连线分为

2 个分叶), 并规定区域 ∀ 中的任意 2 条曲线互不

相交, 那么, 我们便可以得到与符号序列唯一对应

的动力学纽结在二维平面上的投影. 图 2 所示就是

符号序列 RDLC 相应的动力学纽结在二维平面上

的投影.

类似地, 对于符号序列为 RRLDLLRC 的周期

轨道, 其动力学置换为:

S 8=

1 2 3 4 5 6 7 8

3 5 7 8 1 2 4 6

,

相应的动力学辫子和纽结如图 3, 4 所示.

3 讨　论

建立符号动力学与纽结理论的联系是符号动

力学研究方向之一, 很多理论工作者对此进行了许

多有益的探索和尝试, 并取得了一些积极的结

果[ 9] . 在 Lorenz 映射中借助符号动力学, 通过研究

引入最小纽结假设构造的动力学纽结的空间拓扑

结构, 可以从低维空间窥探三维流的空间结构. 这

样, 我们便可以通过研究动力学纽结的性质来部分

地了解高维微分流形动力学行为的拓扑性质. 依据

最小纽结假设构造动力学纽结提供了同纬扩张

( suspension) 的一种方案. 对于最小纽结假设构造

的动力学纽结在真实空间中是否存在, 我们已经用

另一个常微分动力系统

Rssler 方程检验了单

峰映射构造的动力学纽结与空间真实轨道的对应

关系[ 10]

. 从这里可以看出, Lorenz 纽结能模拟

Lorenz 模板( 见图 5) 上的周期流, 至于一些细节还

有待进一步的研究.

图 1 符号序列 RDLC 对应的动力学辫子

Fig. 1 Braid of symbolic sequence RDLC

图 2 符号序列 RDLC 对应的纽结

Fig. 2 Knot of sequence RDLC

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第 1 期

张亚刚等: Lorenz 纽结

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图 3 符号序列 RRLDLLRC对应的动力学辫子

Fig. 3 Braid of sequence RRLDLLRC

图 4 符号序列 RRLDLLRC 对应的纽结

Fig. 4 Knot of sequence RRLDLLRC

图 5 Lorenz 模板

Fig. 5 Lorenztemplate

参考文献:

[ 1]

SPARROW C. The lorenz equations[ M ]. New York:

SpringerVerlag, 1982.

[ 2]

WILLIAMS R F. Lorenz knots are prime[ J] . Ergodic

Theor and Dyn Systems, 1982, 4: 147 163.

[ 3]

郑伟谋, 郝柏林. 实用符号动力学[M]. 上海: 上海科

技教育出版社, 1994.

[ 4]

彭守礼. 符号动力学, 星花积及其他[ J] . 云南大学学

报( 自然科学版) , 2003, 25( 3) : 221 224.

[ 5]

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tempts that failed[ J] . Physica D, 1991, 51: 267 273.

[ 6]

杜雷鸣. 一维非连续迭代系统中普适行为的符号动力

学研究[ D] . 昆明: 云南大学, 1999.

[ 7]

PENG Shou li, DU Leiming. Dual star products and

symbolic dynamics of Lorenz maps with the same en

tropy[ J] . Phys Lett A, 1999, 261: 63 73.

[ 8]

张　川. 一维符号动力学中的对称性和纽结[ D]. 昆

明: 云南大学, 2002.

[ 9]

HAO Bai lin, ZHENG Wei mou. Applied Symbolic dy

namics and chaos [ M ]. Singapore: World Scientific,

1998.

[ 10] 张　成. 纽结理论在一维符号动力学中的应用[ D] .

昆明: 云南大学, 2003.

Lorenz knots

ZHANG Yagang, ZHANG Cheng

(Center for Nonlinear Complex Systems,Department of Physics,Yunnan University,Kunming 650091, China)

Abstract: Based on the minimal braid knots assumption, dynamical knots corresponding to the Lorenz at

tractor are obtained by permutation, and structure of the Lorenz attractor is reconstructed.

Key words: Lorenz maps; symbolic dynamics; the minimal knots assumption; permutation; dynamical

knots

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云南大学学报( 自然科学版)

第 26 卷