作者: Pendry (John Pendry) 看板: NCKU_MEPhC 標題: [轉錄]Re: [問題] 還是想不通... 時間: Tue Nov 9 02:39:32 2010 ※ [本文轉錄自 Physics 看板 #18lGiNA9 ] 作者: zweisteine (聖人見微以知萌) 看板: Physics 標題: Re: [問題] 還是想不通... 時間: Tue Sep 2 17:44:53 2008 ※ 引述《Qubit (逼巴你個隆地咚啊)》之銘言： : 請問四維空間座標裡 : 第四個基底是時間？ : 還是無法想通耶 : 為什麼第一二三個基底 : 都是空間(x,y,z) : 為什麼第四維就是時間 : 而且用三維的眼光來看二維 : 其實也可以幾乎同時在一個地方 : 但卻不需要用到時間來描述 : 為什麼四維就需要了呢 先花一分鐘想一下這個問題： 為什麼相對論提出來之前沒有人講過時空這個東西？ 為什麼牛頓力學一樣有時間的概念， 卻沒有人說它是四維時空？ 座標系是人定的， 所以物理定律不會受到x軸往哪個方向而改變。 當我們把某個物理量用某座標系的數值來表示的時候， 這個物理量會在座標系上有某種對稱性。 所以我們利用向量來描述這些物理量， 利用線性空間的對稱性來滿足物理上的對稱性。 牛頓力學的架構，就是這些物理量有三維空間的旋轉對稱： 以位移來說， 座標系轉一個角度，分量雖然會改變， 但是大小不會改變。 也就是存在一個不變量ds^2=dx^2+dy^2+dz^2， 這時我們會說位移向量在三維空間旋轉下協變(covariant)。 另外速度、加速度、力這些物理量也全部都是用同樣的方式變換， 而且也都有類似的不變量(就是速率、加速度的大小、力的大小)。 以數學上的說法來說就是牛頓力學的架構在SO(3)的變換下具有不變性。 所以時間是和空間無關的另一個物理量，就像溫度一樣。 當然可以定義一種五個分量的東西，像是(x,y,z,t,T)， 在數學上這東西當然是R^5裡面的向量， 但是就像前面所說，物理上使用向量就是因為這些物理量有某些特殊的對稱性， SO(3)xO(1)xO(1)並沒有比SO(3)多出什麼有趣的東西， 所以除了表示上方便的特殊情形外， 不會用五維空間向量來表示這個物理量。 那麼到了狹義相對論發生了什麼事？ 首先，伽利略變換不再適用，取而代之的是落倫茲變換。 座標系O'沿著座標系O的x軸相對運動的時候， O'的x'座標和t'座標是O座標系x和t的某種線性組合， 先姑且把這種變換叫做x方向的boost， 除此之外當然還有沿著y方向和z方向的boost。 另外可能的座標變換就是牛頓力學中已經有的， 沿著某個軸的三維空間旋轉。 然後我們可以發現，我們可以連續做好幾個不同方向的boost， 甚至在中間穿插一堆旋轉， 然而-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2這個量卻永遠都是不變(注意時間那項前面的負號)， 情形就像在牛頓力學中，位移的大小不受座標旋轉有所改變一樣。 接著我們可以發現，把能量和動量湊在一起寫成一個四分量的東西(E/c,Px,Py,Pz)， 這東西居然和(ct,x,y,z)用一樣的方式變換，而且有一個類似的不變量： -(mc^2)^2=-E^2+(cPx)^2+(cPy)^2+(cPz)^2 (boost到靜止座標系，就是E=mc^2這道有名的式子) 實際上，三個方向的boost和三個方向的旋轉形成一個群，也就是SO(3,1)， (時間,位置)和(能量,動量)這兩個東西在SO(3,1)的變換下存在不變量， 我們可以把這兩個量定義成一個特別的線性空間的向量， 在這定義下這個不變量就是這些向量自己和自己內積。 這個線性空間的自由度是4，就是所謂的四維時空。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.166.51.11 ※ 編輯: zweisteine 來自: 218.166.51.11 (09/02 17:45) 推 sukeda:大推 09/02 17:50 推 louis925:喔~~又學到了一些東西，不過群還不太懂。感謝~~ 09/02 18:13 推 exponential7:push 09/02 19:46 推 eric19861025:哇~~推推推~~整理的真好^^~棒--高手 09/02 23:13 推 Qubit:喔喔 謝謝 有頭緒了 09/03 04:01 推 poorboat:真不愧是zweisteine啊 09/03 06:26 推 SamLucien:很棒!!推~~ 09/03 13:04 推 comlcs:push 09/03 16:36 推 sputtering:z大有沒有考慮要出書啊,我覺得版上觀念像你講得這麼清 09/03 21:19 → sputtering:楚得很少,希望你多多發言,造福後進 09/03 21:20 → zweisteine:樓上過獎了，我不會的東西也還多得數不清 09/03 21:54 → gmbear:我也受益很多 雖然離開那部份已經三年多 回頭看你的解釋 09/04 00:10 → gmbear:讓我更了解了....觀念真棒..^^ 09/04 00:10 推 Lysandria:太棒了! 比以前易富國講的還容易懂 大推 09/04 08:56 推 adaw:易富國XD 09/05 21:39 → zweisteine:黑鬍子XD 09/06 13:44 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.116.155.57 → Pendry:一個對四維時空的基本概念，講解蠻淺顯易懂的 11/09 02:51
Friday, August 3, 2012
O'的x'座標和t'座標是O座標系x和t的某種線性組合,這種變換叫做x方向的boost,三個方向的boost和三個方向的旋轉形成一個群，也就是SO(3,1)，在這定義下這個不變量就是這些向量自己和自己內積。
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