作者: jui8048 (啟端) 看板: NTUCH-102 標題: [情報] 物化整理補完計畫(粒子在盒子中的運動、簡諧振子) 時間: Sun Mar 27 22:52:21 2011 文件連結如下： http://0rz.tw/yFlTl 因為時間緊迫，因此這份內容其實蠻精簡的，也算是最後一份整理 也因此可能會有些地方講得不夠清楚 如果有任何疑問可以立刻詢問或是嘗試自己想想看 如果想通了，就會是自己真正學到的=) 想不通也歡迎詢問別人或我，討論可以複習以及獲得更多新的想法 祝明天起一週大家都能安然度過 謝謝大家 馮啟瑞 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.42.116.134 ※ 編輯: jui8048 來自: 114.42.116.134 (03/27 22:52) 推 q510724:推 辛苦了 03/27 23:02 推 toogi123:推 03/27 23:04 推 glen19901115:推一個！ 大家考試加油！ 03/27 23:07 推 and0514:辛苦囉~~ 03/27 23:21 物化二－量子化學整理與心得：粒子在盒子中的運動，簡諧振子 B98203046 化學二 馮啟瑞 前言： 考量到時間問題，於是原先該分成兩份的內容就精簡成這份了，也是這次期中考範圍預計 的最後一份，也因為我考 量到這部分需要很多推導的部分，而這部分相信各位筆記都有抄詳細，跟已經花一點時間 去理解，因此這份內容我會比 較著重在一些該注意的細節跟試圖把一些我知道的物理意義打進去，也因此會簡略不少。 另外，之前的規則可以適用在 這份整理中，不過我會減少許多廢言，多花點時間在正文上。只是我還是免不了想說一句 ，Particle in a box 的中文翻譯 是參照CEIBA 的，所以對名子有疑問就請教老師吧XD。 我覺得這部分該著重在： 推導過程：如何從Schrdinger Equation 以 及邊界條件(Boundary condition)推導出粒子 在盒子中的運動(Particle in a Box)的 eigenvalues、eigenfunctions，再進一步推廣 到三維空間的情況。 解完Particle in a Box這個系統之後得到的物 理意義：包括能階、節點、各個物理量的期 望值代表的意涵、甚至是測不準原理等。 同理，簡諧振子Harmonic Oscillator 的推導 過程(這部分YCC 沒有多提，是因為用到級數解、遞 迴關係，相對複雜地多，知道推導過程的大致步 驟即可)、以及使用Ladder Operator Method 解出簡諧振子的eigenfunction、eigenvalue 也是同理，解完Harmonic Osillator 這個系統 之後得到的物理意義：包括能階、節點、各 個物理量的期望值代表的意涵、甚至是測不 準原理等。 （一）為什麼要解這兩個系統？ 這部份我簡單帶過，直接舉例會好理解，在 巨觀世界中物體的基本運動模式有移動、振動、 轉動三種模式，同理，量子的世界中也有這些模 式，而描述移動的模型就是Particle in a Box、振 動則是Harmonic Oscillator、轉動則是Rigid Rotor。 透過理解那些模型，可以更進一步了解量子力 學。 （二）Particle in a One-dimensional Box 這邊先嘮叨一下，解薛丁格方程式的過程中 可以發現：解薛丁格方程式這個微分方程本身可 以得到General Solution，而導致量子力學之所以 是量子力學在於Boundary Conditions的限制下 產生，Boundary Condition 視物理的情境不同而有 所不同，也導致不同的結果，而Normalization 則決定了General solution 的係數。 解完後得到的結果是能量的量子化、以及只 有特定的eigenfunctions 才能滿足 time-independent Schrdinger Equation，可以發現 它的能量由box 的長度、particle 質量、以及所處 的能階量子數(quantum number)所影響，box 越 長、質量越大、量子數越小則能階的能量越低， 但是特別地是，不同於巨觀世界的粒子可以有總 能為零的情況，Particle in a 1-D box 的particle至 少得有一定的能量(zero-point energy)，不能是0， 這是導因於Heisenberg uncertainty principle所致， 若能量是0，由於Hamiltonian項裡面只有動能項， 即： = 2m + 0 = 2m 這也意味著動量以及動量平方必須是0，那麼就 會導致動量的不準度Δp = 0，違反測不準原理。 除了最低 >不為零，代表這個particle就平均來 講有一個偏向某個方向的動量，那麼最後會發生 什麼事？會發生這個particle跑出box外的現象， 這與我們所設的邊界條件是矛盾的，當時所設為 無窮的位能井，使之完全無法脫離box。因此動 量的期望值必須為0。 （三）Particle in a Three-dimensional Box 其實大致內容跟一維很相近，不過比較不同 的是，解薛丁格方程式的過程用到了偏微分方程 中常用的分離變數法。以及Normalization constant 有所不同，以及各個維度各有一個 quantum number 而總計有三個量子數，還有能階 會受到盒子的長寬高所影響。 其中比較特別的是，如果盒子的長寬高其中 至少有兩者是等長的，就會有簡併態(degenerate state)的發生，簡併態是指能階相同但是系統卻是 處於不同的狀態，很常見的例子就是p 軌域，這 不多提了。 （四）Harmonic Oscillator 同樣地先嘮叨一下，不同於Particle in a Box 的情況，Harmonic oscillator 的Hamiltonian operator是有位能項的（其實我是要暗指，算動 量平方的期望值時，不能像particle in a box般輕 鬆解決），這也導致直接用微分方程解出 eigenfunctions及eigenvalues比起Particle in a Box 是件更困難的事。所幸剛好有ladder operator method 可以簡化許多繁雜的過程。另外之後學 到Angular Momentum時會再用到ladder operator method，因此要好好理解它的操作方 式。 那麼我盡量快地把一些該注意的細節講過 去，先講講跟Particle in a Box 相異的部分。首先 是eigenvalue 的部分，可發現Harmonic Oscillator 的能階（energy level）是呈現等差的，即英文所 謂的equally spaced，Particle in a Box 我猜測這也跟 ladder operator 能夠applied 在H.O.有關。至於 eigenfunction 的部分，相較於Particle in a Box都 是奇函數(Odd function)而言，Harmonic Oscillator 的eigenfunction 則由Hermite Polynomial決定是 否為奇函數(Odd function)。 而另外與Particle in a Box 的不同點在於 Harmonic Oscillator一定會有穿隧效應(tunneling effect)，tunneling effect 簡單說就是指particle有 機率會在古典力學中不可能出現的地方(classical forbidden region )出現。題外話一下，由於波函數 在classical forbidden region是對距離呈現 exponential decay(不完整描述就是遞減很快的意 思)，而使得在掃描式電子顯微鏡STM(Scanning Tunneling Microscopy)中探針對距離的敏感度 (sensitivity)很高，也因此提升它的解析度 (resolution)。而Particle in a Box 的話，則只要把 位能井(potential well)的位能為一個非無窮大的 定值就可以有穿隧效應。 以及最後我能想到的不同點在於：Harmonic Oscillator 的ground state，其位置不準度跟動量 不準度的乘積剛好是測不準原理的最小值，據 YCC 的說法是因為Ground state 的eigenstate 為 simple Gaussian 造成，希望另能有高明解釋。 Harmonic Oscillator 跟Particle in a Box（這邊 都是指一維空間而言）相同之處在於，它們的節 點數跟能階的量子數成正比，動量的期望值也都 是0。而且都沒有簡併態的現象（超過一個維度 時也就都會發生簡併態）。此外，Harmonic Oscillator 以及Particle in a Box 的eigenfunctions 都滿足正交歸一化(Orthonormal)。 至於Ladder Operator，強烈希望能熟悉它的 操作方式，不只是因為它的重要性在於可以簡化 求解、而且之後也會碰到，以及現實點的說法， 我覺得還會考的機率不小這樣子XD。不過要注意 的是，由於Ladder Operator 可以表達出x、p，也 因此所有的operators、observables都可以用 Ladder operator表達。而且Ladder operator得到 的eigenvalue為system處在哪一個state。 量子力學的公設部分，我覺得課本、筆記的內容 就足夠了，因此不多花篇幅講這部分。能量，即基態(Ground State)的能階 不為0 之外，還可以發現eigenfunction(或 eigenstate)會隨著量子數n 的值而伴隨出現n個 節點(node)，節點的意思就是該粒子出現機率為 0 的位置。而且當n 值接近無窮大的時候，其實 可以把它視為在box 中可以在任何地方發現 particle，這也就跟古典力學、巨觀世界一致了。 另外一個值得注意的部分是，這些滿足 time-independent Schrdinger Equation 的 eigenfunctions，它們都是穩定的狀態(stationary state)，換言之，即particle的state並不會隨著 時間而改變。然而，它們的線性組合就不是 stationary state（相關推導請見筆記），這也像先 前提到的，它反映了不是所有的解都滿足 time-independent Schrdinger Equation。 而關於期望值的部分，先延續上面所說的部 分，如果將時間的函數考量進去，仍舊可以得到 能量的期望值不隨時間而改變，這代表能量守恆 的意涵在裡頭。另外可以發現不管是 eigenfunction，或者是它們的線性組合(即一般在 這個系統下可能有的wavefunction)，其動量的期 望值都為0，為什麼會如此？不妨這樣考慮看看， 如果說< PP +V= TH
Saturday, August 18, 2012
Particle in a Box 量子化學整理與心得：粒子在盒子中的運動，簡諧振子
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
No comments:
Post a Comment