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分析力学基础(一)
华中科技大学CAD中心 张云清
2009-12-18
机械系统动力学计算机辅助分析
分析力学基础( ) 分析力学基础(一)
一.经典力学概论 概 二.分析力学的基本概念 三.虚位移原理,达朗伯原理 四.动力学方程的三种形式 四 动力学方程的三种形式 五.分析力学的变分原理
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经典力学概论
经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物 典力学 研 象 于 体的机械运动; 牛 力学 牛顿力学 拉格朗日力学 变分原理 变 原 哈密尔顿力学 分析力学(拉格朗日力学和哈密尔顿力学) 析力学( 格 力学和 密尔 力学) 运动稳定性 刚体动力学 学 多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下 的进一步发展
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牛顿力学
1687年牛顿(Newton )《自然哲学的数学原理》出版-------〉 牛 力学; 牛顿力学; 牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律:
万有引力定律 动力学基本规律 研究这些规律的方法—微积分 力学的概念—速度,加速度,力,力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量 力学的概念 速度 加速度 力 力 矢量 牛 力学 矢量 力学; – 牛顿力学----天体运动的观测资料归纳产生的力学理论,研究对象是不受 牛顿力学 天体运动的观测资料归纳产生的力学理论,研究对象是不受 约束的自由质点; – – – –
1743年,法国的 达朗贝尔(D'Alembert)--D' Alembert原理; 1755年,1765年,瑞士的欧拉(Euler)将牛顿定律推广到刚 体和理想流体,矢量力学------Newton-Euler力学;
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拉格朗日力学
18世纪,机器产生,为受约束机械系统的运动分析,约束作 用 用可以归结为力的作用,未知约束力(未知变量)的增多, 归 为力 作用,未 约束力(未 变 ) 增多, 矢量力学处理不便; 1788年拉格朗日(Lagrange)----《分析力学》(1755年, 拉格朗日19岁写出); 以虚位移原理,达朗贝尔原理为基础,引入标量形式的广义 坐标,能量,和功等物理量,采用纯分析方法使力学建立在 建 统一的数学基础上--------产生了拉格朗日力学----分析力学避免了约束力; 拉格朗日没有认识到非完整系统的存在; 1894年 赫兹(Hertz) 1894年,赫兹(Hertz)-----将约束系统分为 完整系统与非 将约束系统分为 完整系统;
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变分原理
与牛顿力学及拉格朗日力学不同,变分原理则从另一 牛 学 朗 学 变 种方式解释物质的机械运动规律,变分原理是将真实 发生的运动与可能发生的一点加以比较,并提供能将 发生的 能发生的 并 能将 真实运动从可能运动中甄别出来的准则,变分原理分 为微分型变分原理,积分型变分原理; 为 变 变 微分型变分原理―――1829年 高斯(Gauss)原理 为 代表; 积分型变分原理 年 哈密尔顿( ) 积分型变分原理―――1834年 哈密尔顿(Hamilton) 原理 为代表;
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哈密尔顿力学与分析力学
将哈密尔 原 将哈密尔顿原理以及由此导出的哈密尔顿正则方程称为哈密 由 导出的哈密尔 则方 称为哈密 尔顿力学; 分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学 拉格朗日力学和哈密尔顿力学是分析力学的两个组成部分; 不仅适用于离散机械系统,而且也适用于更广泛的领域: 不仅适用于离散机械系统 而且也适用于更广泛的领域:
– 连续介质力系统, – 机电耦合系统, – 控制系统和微观物质系统
对量子力学和统计力学的发展也起到了推动作用,是经典力 学向现代物理学过渡的桥梁;
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运动稳定性
矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程,必须对微分方程积分求解才能 矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程 必须对微分方程积分求解才能 确定机械系统的运动规律.分析力学的优点之一是有可能在一些特殊情况下 直接提供方程的初积分.但在一般情况下,寻求微分方程的解析积分在数学 上存在困难,虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举,但在 上存在困难 虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举 但在 工程实践中需要了解机械运动的定性性质,如判断某特定运动的稳定性问题 .对运动工程的定性研究形成了运动稳定性理论. 1788年拉格朗日就已提出平衡稳定性的一般定理,并由狄里克雷(Dirichlet 1788年拉格朗日就已提出平衡稳定性的 般定理 并由狄里克雷(Di i hl t )于1846年给出证明; 1892年李雅普诺夫(Lyapunov)对稳定性给出了严格数学定义,并提出了讨 论稳定性的直接方法,以及利用一次近似方程判断稳定性的一系列定理,奠 论稳定性的直接方法 及利用 次近似方程判断稳定性的 系列定理 奠 定了现代稳定性理论的基础; 一次近似稳定性理论是工程中使用最为广泛的稳定性理论,劳斯(Routh)赫尔维茨(Hurwitz)判据和开尔文(Kelvin)-泰特(Tait)-切塔耶夫( Chetayev)定理(简称开尔文定理)是判断线性系统稳定性的有效工具.
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刚体动力学
经典力学的发展中刚体动力学占据了重要地位. 典 学的发展中 体动 学 据 重 地 刚体的一般运动--分解为质心的运动和相对质心的转动,刚体 绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容. 绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容 1758年,欧拉(Euler)建立了刚体定点运动的动力学方程; 寻求刚体定点运动微分方程解积分问题曾成为经典力学中延 续百年之久的重大课题; 在欧拉 拉格朗日 柯瓦列夫斯卡雅(Kovalyevskaya)三种 在欧拉,拉格朗日,柯瓦列夫斯卡雅(Kovalyevskaya)三种 可积分情形中欧拉,拉格朗日情形的研究成果仍是陀螺仪和 航天器姿态运动的理论基础.
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多体系统动力学 ----是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展
虽然经典力学在19世纪已形成完美的科学体系,但经典力 学仍在发展,大型空间站,机器人,高速车辆等现代复杂 机械系统的出现,要求分析有多个刚体组成的多体系统. 虽然经典力学提供的各种方法原则上可以建立任意的机械 典 学 各 建 意 机械 系统的数学模型,但由于系统内刚体数目和自由度的增加 ,刚体间约束关系的复杂化,传统的数学推导过程变得极 刚体间约束关系的复杂化 传统的数学推导过程变得极 其繁琐. 现代计算技术的发展要求数学模型的建立过程――――》 现代计算技术的发展要求数学模型的建立过程 》 程式化,计算机化; 1960年后,发展了多种多体系统数学模型的建模方法,形 年后,发展了多种多体系统数学模型的建模方法,形 成新的学科分支――多体系统动力学.
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分析力学的基本概念
约束及其分类 广义坐标,广义速度,广义加速度 准速度,准坐标,准加速度 位形空间,状态空间,相空间 虚位移 理想约束 微分运算与变分运算的交换关系
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约束及其分类
力学中三种理想模型:质点,质点系,刚体 质点:只有质量,没有大小 质点系:若干质点组成的,有内在联系的集合 刚体:一种特殊的质点系,任意两点距离不变 体 种特殊的质 系 意 离 变 分析力学研究质点系相对某个惯性坐标系的运动. 质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状, 质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状 称为该质点系的位形. 自由质点,自由质点系 非自由质点:在空间的位置和运动受到限制某些限制; 非自由质点系 分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动. 分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动 约束:在系统点的位置和速度上,事先预加的几何的或者运动学特性 的限制,我们把这些限制称为约束.
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约束及其分类
约束方程 非自由质点系在空间位置以及在运动中受 到的限制称为约束,用数学方程表述各质 点所受的限制条件称为约束方程. 点所受的限制条件称为约束方程 例如:两个质点在半径为R的球面上运动, 且两质点间的距离 为L保持不变;
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约束及其分类
完整约束与非完整约束 N个质点组成的力学系统,质点的直角坐标为 速度为 几何约束:用点的直角坐标和时间表达的非微 分方程,表示的约束. 几何约束的一般形式为: 微分约束:用点的直角坐标为 速度为 和时间表达的约束. 微分约束的一般形式为:
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约束及其分类
完整约束 几何约束和可积分的微分约束称为 完整约束:几何约束和可积分的微分约束称为 完整约束; 非完整约束:不可积分的微分约束称为非完整 约束; 非完整系统:带有非完整约束的系统称为非完 整系统; 线性非完整约束:不可积的微分约束中对速度 速度 是线性的称为线性非完整约束,否 则为非线性非完整约束;
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约束及其分类
线性非完整约束的一般形式: 其中 系数是坐 标和时间的函数; 仅具有完整约束的完整系统与具有非完整约束 的非完整系统运动性质和研究方法有很大的区 别,非完整系统比完整系统复杂得多. 定常约束 如果时间 显含 约束方程 称为 定常约束:如果时间不显含于约束方程,称为 定常约束;否则为非定常约束; 双面约束:用等式表示的约束;用不等式表示 的约束为单面约束;
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广义坐标,广义速度,广义加速度 广义坐标 广义速度 广义加速度
广义坐标:凡是能够确定系统位置的,适当选 取的变量叫广义坐标; 取的变量叫广义坐标 当所研究的系统加上约束时,从直角坐标过渡 到广义坐标是特别方便,假设系统有N个质点 ,受d 个完整约束 可以选n=3N-d个广义 受d 个完整约束,可以选n=3N d个广义 坐标 ,系统所有点的直角坐标可用广义 坐标和时间t来表达, 坐标和时间t来表达
2009-12-18 定常约束则为: 定常约束则为 机械系统动力学计算机辅助分析
广义坐标,广义速度,广义加速度 广义坐标 广义速度 广义加速度
广义速度:广义坐标对时间的导数称为广义 ; 速度; 系统中点的速度矢量:
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广义坐标,广义速度,广义加速度 广义坐标 广义速度 广义加速度
重要关系式
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广义坐标,广义速度,广义加速度 广义坐标 广义速度 广义加速度
广义加速度:广义坐标对时间的二次导数 ,称为广义加速度; 系统中点的加速度矢量:
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广义坐标,广义速度,广义加速度 广义坐标 广义速度 广义加速度
非完整约束在广义坐标,广义速度下的表达
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广义坐标,广义速度,广义加速度 广义坐标 广义速度 广义加速度
非完整约束在广义坐标,广义速度下的表达
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准速度,准坐标,准加速度 准速度 准坐标 准加速度
在力学系统中引进准坐标的概念和记号非常 概 非常 重要,尤其是非完整力学系统.准坐标的引 , 学 准 进与准速度密切相关,准坐标优越广义坐标 ,准速度比广义速度更 般.在准速度准坐 准速度比广义速度更一般.在准速度准坐 标下,非完整约束写起来非常简单,而且力 学系统的运动微分方程具有单一结构,不依 学系统的运动微分方程具有单 结构 不依 赖于完整与非完整.
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准速度,准坐标,准加速度 准速度 准坐标 准加速度
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准速度,准坐标,准加速度 准速度 准坐标 准加速度
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准速度,准坐标,准加速度 准速度 准坐标 准加速度
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位形空间,状态空间,相空间 位形空间 状态空间 相空间
位形空间 自由点系-3n个坐标,构成一正交的3n维空间,这个抽象的空间称 为 质点系的位形空间,简称 空间 为此质点系的位形空间,简称x空间. 非自由质点系-3n个坐标,构成一正交的3n维空间-x空间,但只有 3n-d维是独立的,质点系的位形点在x空间的运动是受约束的,恰 当地选择3n-d个广义坐标q1,q2,…,q3n-d ,在x空间中张成一个 当地选择3n d个广义坐标q1 q2 q3n d 在x空间中张成 个 3n-d维子空间,作为此质点系的位形空间―――q空间,3n-d个坐 标独立,质点系的位形在q空间的运动是自由的. x空间具有均匀性和等向性,是欧几里德(Euclid)空间; q空间具有均匀性和等向性,是黎曼(Riemann)空间;q空间是x空 间的 个子空间; 间的一个子空间;
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位形空间,状态空间,相空间 位形空间 状态空间 相空间
状态空间,相空间
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虚位移
2009-12-18
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虚位移
自由 自由度 对完整系统来说,独立坐标的数目等于广义坐标的独 立变分的数目;对非完整系统来说,因为坐标变分之 间存在g个约束关系式,广义坐标变分不独立,只有 n-g个广义坐标变分独立;对非完整系统独立广义坐 个广义坐标变分独立 对非完整系统独立广义坐 标数目为n,但广义坐标独立变分数目为 n-g,这种 独立广义坐标数目与广义坐标独立变分数目不等在 lagrange时代没有被发现,直到1894年由德国Hertz 发现,并区分为完整与非完整系统. 发现 并区分为完整与非完整系统. 自由度:广义坐标独立变分数目称为系统的自由度.
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理想约束
2009-12-18
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虚位移原理,达朗伯原理
2009-12-18
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虚位移原理,达朗伯原理 虚位移原理 达朗伯原理
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动力学方程的三种形式
虚功形式的动力学方程
2009-12-18
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动力学方程的三种形式
虚功率形式的动力学方程
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动力学方程的三种形式
高斯形式的动力学方程
2009-12-18
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分析力学的变分原理
力学原理可以分为不变分原理和变分原理两大类,每类又可以分为微 分形式和积分形式; 不变分原理是反映系统真实运动的普遍规律,如果原理本身只说明某 不变分原理是反映系统真实运动的普遍规律 如果原理本身只说明某 一瞬时系统的运动规律,称为微分原理,如牛顿第二定律;如果原理 能够说明一有限的运动过程,则称为积分原理,如能量守恒定律; 变分原理只提供一种准则,根据这种准则可以把系统的真实运动与约 束所允许的一切可能运动区别开来,从而可以找到系统的真实运动; 如果准则是对于某一瞬时而言称为微分形式的变分原理,如动力学普 如果准则是对于某一瞬时而言称为微分形式的变分原理 如动力学普 遍方程和高斯最小拘束原理都是微分形式的变分原理; 如果准则是对于一个有限过程而言称为积分形式的变分原理,哈密顿 原理是积分形式的变分原理. 这种准则通常表现为某个函数或泛函的极值条件,微分型的变分原理 所依据的准则表现为由运动参数的瞬时值所构成的某个函数的极值问 题,以高斯原理为代表; 积分型变分原理所依据的准则表现为某个时间间隔内由运动所确定的 某个泛函的极值问题,以哈密顿原理为代表; 某个泛函的极值问题 以哈密顿原理为代表
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2009-12-18
高斯最小拘束原理
高斯最小拘束原理
最小拘束原理:在理想约束条件下,系统在某瞬时,真实运动与位置,速 度,约束条件均相同,但加速度不同的可能运动相比较,其真实运动应使 "拘束"Z取极小值,即
2009-12-18
机械系统计算机辅助工程分析
高斯最小拘束原理
2009-12-18
机械系统计算机辅助工程分析
高斯最小拘束原理
上式表明约束容许下的可能运动与真实运 动之差总是取正值,即真实运动使"拘束 取极小值.值得指出的是,在高斯原理 "取极小值.值得指出的是,在高斯原理 中的可能运动是通过改变瞬时t的加速度得 到的.至于瞬时t的坐标及速度则被认为是 到的 至于瞬时t的坐标及速度则被认为是 不变的.这种特殊条件下的变分称为高斯 加速度变分. 加速度变分
2009-12-18 机械系统计算机辅助工程分析
虚功形式的动力学普遍方程D'Alembert-Lagrange微分变分原理
2009-12-18
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虚功率形式的动力学普遍方程Jourdian微分变分原理
2009-12-18
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积分变分原理--Hamilton原理
积分变分原理中最著名的是H ilt 原理 积分变分原理中最著名的是Hamilton原理, 对完整保守系统来说,是泛函的极值问题.
2009-12-18
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Hamilton原理
2009-12-18
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Hamilton原理
2009-12-18
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Hamilton原理
Hamilton原理特别适合近似解法,在连续介质力学,结构力学中有广泛的应用.可采用各种直接方 法将泛函极值问题化为函数的极值问题,求近似解.里兹(Ritz)法是一种直接方法.
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Hamilton原理
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从变分学角度---带约束的 Hamilton原理
各种自然现象和过程(特别是力学现象)通常由一组数理方程(偏微分方程 各种自然现象和过程(特别是力学现象)通常由 组数理方程(偏微分方程 ,积分-微分方程和积分方程)及初边值条件来描述,但人们通过长期的探 索研究,发现这些现象和过程常常使系统的某一体量(泛函)取驻值或极值 ,因而可以用相应的变分原理来描述.一个变分法问题被转化化为了在端点 因而可以用相应的变分原理来描述 个变分法问题被转化化为了在端点 条件下的微分方程求解问题.但必须清楚,变分法问题和欧拉方程代表同一 个物理问题,人们可以从欧拉方程求解和变分法直接求解近似解(如加权残 数法,有限元法,里兹法,伽辽金法等),其效果一样.欧拉方程的求解往 数法 有限元法 里兹法 伽辽金法等) 其效果一样 欧拉方程的求解往 往很困难,因而从泛函求近似解常常不困难,这就是变分法被重视的原因. 变分原理描述的优点是:1.数学形式简单紧凑,但内涵却甚丰富(包含了全 部数理方程及初边值条件);2.是整体性描述,包括各种物理间断面上的相 部数理方程及初边值条件);2 是整体性描述 包括各种物理间断面上的相 容条件;3.有"变域变分","自然边界条件"等特殊工具,能够自动捕获 各种未知边界面;4.是各种变分直接解法和有限元法的理论基础.变分原理 既体现了数学形式上的简洁优美,又体现了物理内容上的丰富深刻,更具工 既体现了数学形式上的简洁优美 又体现了物理内容上的丰富深刻 更具工 程应用价值,确实代表了数学域物理的交融与贯通以及理论与实用的结合和 统一.
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2009-12-18
带约束的Hamilton原理
方程 方程(1.6)为欧拉方程,方程(1.5)为其相应的变分法问题. 为欧拉方程 方程 为其相应的变分法问题
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带约束的Hamilton原理
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带约束的Hamilton原理
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