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二维势流理论及复变函数的应用
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1. 複變數
二維勢流理論及複變函數的應用
複變數(Complex variable) Z 可表示為 Z = x + iy，
= re iθ
i = 1
式中，直角座標(x y)和極座標(n, θ)的關係為 y r = x2 + y2 ， θ = tan1 x 複變數基本的數學運算如下：
Z = Z1 ± Z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2) Z = Z1Z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = (r1e iθ )(r2e iθ ) = r1 r2e i ( θ +θ )
1 2
2
2
Z + Z = (x + i y) + (x i y) = 2 x Z Z = (x + i y) (x i y) = 2i y Z Z = (x + i y) (x i y) = x2 + y2 Zn = (re iθ)n = r n e inθ
ln Z = ln (re iθ) = ln r + iθ
y Z = Z1 Z2
Z1 + Z2 Z2 θ θ2 θ1 θ1
Z1
Z1 x
2.
複變函數
複變函數(Complex function)可表示為 ω = f (Z) = f (x + i y) = φ(x, y) + i ψ(x, y) 式中，φ(x, y)和ψ(x, y)為任意實函數。 複變函數的導數可表示為
dW W = f ′(Z) ≡ lim Z → 0 Z dZ
=
φ ψ +i x x
(先y = 0，再x→0 ) (先x = 0，再y→0 )
= i
φ ψ +i y y
上式的結果，說明了複變函數為解析函數(analytic function)的意義，即複變 函數的實數部份，φ(x, y)，和虛數部份，ψ(x, y)，必須滿足柯希-黎曼條件 (Cauchy-Riemann condition)。 即
φ ψ = x y
和
φ ψ = y x
對上兩式的微分，可進一步得到φ和ψ的拉普拉斯(Laplace)方程式，即
2φ x
2
+
2φ y
2
= 2φ = 0
及
2ψ x
2
+
2ψ y
2
= 2ψ = 0
因此，複變函數即為解析函數，它具有連續性及可微分的特性，且其實數 部份和虛數部份均為拉普拉斯方程式的解，故均可稱為勢函數或是諧調函 數(harmunic function)。 從上一章討論二維、不可壓縮的勢流中，分別存在流場的勢函數和流
函數。若以φ(x, y)和ψ(x, y)分別表示流場的勢函數和流函數，則知 2φ = 0 以及速度分量為 u= v=
φ ψ = x y
和
2ψ = 0
φ ψ = y x
顯然地，上兩式 u，v 的關係，表示出滿足柯希-黎曼條件。 因此，如以二維、不可壓縮勢流的勢函數φ(x, y)和流函數ψ(x, y)，分別 代表複變函數的實數部份和虛數部份，則可定義該平面流動的複變勢函數 (Complex potential)，即 W(Z) = φ(x, y) + i ψ(x, y) 即其導數即為複變速度
dW φ ψ = + i = u iv dZ x x
而物理速度為
dW φ ψ = i = u + iv dZ x x
3.
基本流場
茲以複變函數表示幾種二維、不可壓縮、無施性平面流場的複變勢 W(Z)， 其實數部份和虛數部份分別為流場的勢函數φ和流函數ψ。 (1) 均勻流 設+x 軸向的水平均勻流的 U∞勢函數為 W = φ + iψ = U∞ Z = U∞ (x + i y) = U∞ r (cosθ + i sinθ) 所以， φ = U∞ x = U∞ r cosθ ψ = U∞ y = U∞ r sinθ
若均勻流 U∞具有攻角α，或與+x 軸向形成α角，而逆時鐘的α角為正， 則 W = U∞ eiα Z 其複變速度為
dW = U∞ eiα = U∞ r (cosα i sinα) dZ
= u iv 由上知，具攻角α均勻流的速度分量(u, v) 為 u = U∞ cosα v = U∞ sinα (2) 源流 假設源點在座標原點 Z = 0，而其單位寬度源流的強度為 K[L2T1]，則 W=
K ln Z 2π K K ln(re iθ) = [lnr + i θ] 2π 2π
=
故流場的勢函數和流函數，分別為 φ= ψ=
K lnr 2π K θ 2π
若源流的原點在 Z = Z0 時，則 W=
K ln (Z Z0) 2π
(3) 自由渦漩流 如渦漩流是一種無旋流動 則此種渦漩流稱為自由渦漩(free vortex)或無 ，
旋渦流(irrotetional vortex)。若流場環量的強度為Γ [LT1]，順時鐘方向 為正，則以原點為中心的自由渦漩流的複變勢為 W = i =
Γ lnZ 2π
Γ Γ θ i lnr 2π 2π
若自由渦漩流的中心在 Z0 處，則 W = i 式中 Z Z0 = r0 e i θ 而 r0 =
0
Γ ln(Z Z0) 2π
( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2
( y y0 ) ( x x0 )
θ0 = tan1
(4) 流偶(或偶極子) 若流偶的強度為 B [L3T1]，作用位置在原點，其方向與+x 軸的夾角為 α，則該流偶所產生流場的複變勢為 W=
B e iα 2 πZ B i (αθ) e 2 πr
=
若流偶的方向朝x 軸向，則α = π，故 W=
B 2 πZ B iθ e 2 πr
=
若流偶的作用位置在 Z0，其朝向與+x 軸成α角，則其複變勢為 W=
B e iα 2 π( Z Z 0 )
4.
契可夫斯基轉換式
轉換式(transformation)的函意表示兩個平面間 圖形的轉換或映象(mapping) ， 關係。若經某一轉換式，甲平面上的圖形一點對一點地映象 (one-one-mapping)在乙平面，而且圖形邊界的夾角都能和保持相同(角度的 大小和方向)，則稱此種轉換為保角轉換(conformal mapping)。若兩平面間 的轉換不能一點對一點互映，則那些不能互映的點上，就不能具有保角轉 換的特性。 契柯夫斯基轉換式在低速空氣動力學的理論中甚為重要，它能將在甲平面 上的正圓或偏心圓，轉換成乙平面上的直線，橢圓或各種翼剖形。本節中 先討論正圓的轉換情形。契柯夫斯基轉換式是 Z = Z1 +
b2 Z12
式中，Z 和 Z1 分別表示 Z 平面和 Z1 平面上的複變數，而 b 為正實數。若將 Z 和 Z1 的複變數分別代入 e 式，可得 Z 和 Z1 平面的關係式： x = x1 (1 +
b2 x1 + y1
2 2
)
y = y1 (1
b2 x1 2 + y1 2
)
若 Z1 平面上有一半徑為 b 的正圓(稱為 b-圓) x12 + y12 = b2 則 b-圓經契柯夫斯基轉換式，則在 Z 平面形成2b ≤ x ≤ 2b 的直線，如下圖 所示。
y0 y a b x1 x (2b) (2b)
若 Z1 平面上有一半徑為的 a > b(稱為 a-圓)，見上圖，則 a-圓經契柯夫斯基
轉換式，在 Z 平面上形成半長軸為(a2 + b2) / a 和半徑軸為(a2 b2) / a 的橢 圓，即 x12 + y12 = a2 故得
x2 (1 + b a
2
a>b
+
(1
y2 b a
2 2
= a2
)2
)2 2
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