传统量子力学公理，每一个可观察量对应一个自共轭的力学量算符（不太严格地说，是Hermitian operators）。按照这个标准，时间就不是一个可观察量，因为不存在一个自共轭算符与时间对应。但是，时间的确是一个可观察量（例如事件的发生时间，粒子的量子隧道穿透时间，粒子的到达时间，粒子的衰变时间，能级寿命，等等）。因此传统量子力学在这一点上，跟实际不符。这就是说，量子力学告诉我们，每一个可观察量对应一个自共轭的动力学算符。然而，时间是可观察量，但是它并不对应自共轭的动力学算符。所以这里就有一个矛盾。另外，相位差也是可观察量，但它并不对应自共轭的动力学算符

标题: 量子力学的数学基础：从 PV 到 POVM
作者: 星空浩淼
自量子力学产生之后，它在物理学中取得巨大成功的同时，人们开始试图为它建立一个严格而系统的数学基础，弄清该理论的整个框架构造，使之能够公理化。第一个比较系统地做这项工作的，是一代天才J. Von Neumann，他出过一本书《Mathematical Foundations of Quantum Mechancis》，此书成为历史上的经典。

然而，人们关于量子力学基础问题的争论从来就没有停止过（尽管此类课题在物理学中多少有些被边缘化）。其中围绕EPR的争论，对量子力学基础的进一步完善起了很大的推动作用，它使得量子力学的测量理论得以系统建立。如今成为物理学中新贵的量子信息与量子计算理论，就直接跟前面的这些工作有着密不可分的关系。关于量子力学基础问题的研究进展，如今早已不只停留在J. Von Neumann的那个年代，而是从传统“投影取值测度”（PV，又称“谱测度”）推广到“正算子取值测度”（POVM)，而广义测量理论在量子信息与量子计算理论中扮演重要的角色。有些文献可能把POVM中的M（即measure)翻译成“测量”，其中如果弄清它的数学来源之后，就知道应该是“测度”。

对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和:

<ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1）

但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到

F＝∑ f(i)μ(i) （2）

此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而

<ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3）

从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。

在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。
与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱分解中，谱测度对应投影算符。

但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。

为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的谱分解（2），使得其中的谱测度μ(i)不必对应投影算子，而是把投影算子看作它的特例。由（3）式可知，谱测度相当于“概率算子”（或“概率密度算子”），因此，在正统量子力学中它对应投影算子只是一个偶然，这并不表明它直接与投影算子等同，它应该对应更一般意义上的“概率算子”（或“概率密度算子”），从而谱测度μ(i)可以一般地推广到“概率测度”。由于概率测度非负，所以此时的谱测度称为“正算子取值测度”（POVM）。只要谱测度μ(i)对应POVM，（2）式表示的算符，均对应可观察量，此时这样的算符不一定是自共轭的。

但是，为了与传统区分开来，谱测度常常是指可以解释成投影算子的那种。一个算符是谱测度意义上的，还是POVM意义的，关键取决于所取的Hilbert空间（即算符的表示空间）。有一个定理是说：每一个POVM，存在一个谱测度的“膨胀”（dilation）。例如，假定Hilbert空间H(1)是H (2)的子空间，算符F在H(2)中存在谱测度分解，那么它在H(1)上的压缩compression（或限制restriction）记为E，假定E在 H(1)中存在POVM分解，此时F是E在H(2)中的dilation。

需要提醒的是，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。换句话说，当闭对称算子的两个亏指数（deficiency index）相等时，才存在自共轭扩张（extension）。但是，如果这个算子存在POVM分解，则即使亏指数不相等，同样存在自共轭 dilation。

一个应用实例：

按照传统量子力学公理，每一个可观察量对应一个自共轭的力学量算符（不太严格地说，是Hermitian operators）。按照这个标准，时间就不是一个可观察量，因为不存在一个自共轭算符与时间对应。但是，时间的确是一个可观察量（例如事件的发生时间，粒子的量子隧道穿透时间，粒子的到达时间，粒子的衰变时间，能级寿命，等等）。因此传统量子力学在这一点上，跟实际不符。这就是说，量子力学告诉我们，每一个可观察量对应一个自共轭的动力学算符。然而，时间是可观察量，但是它并不对应自共轭的动力学算符。所以这里就有一个矛盾。另外，相位差也是可观察量，但它并不对应自共轭的动力学算符。因此有人认为，量子力学的这条公理“每一个可观察量对应一个自共轭的动力学算符”，需要推广。时间是一个外在的演化参数，但是这仅仅是时间扮演的角色之一。

为什么不存在一个自共轭算符与时间对应？这是因为，能量E取值并非在整个实轴上，能量E取值不是在正负无穷大之间，而是永远至少存在一个下限。这点跟空间坐标之于动量，是不同的。但是，如果假设有一个无穷大的空间屏幕把空间分隔成两半，考虑粒子在屏幕的一边沿垂直屏幕的一维空间上运动，则可以证明，此时粒子的动量算符也不是自共轭的。

为了解决这个疑难，人们认为，应该放宽力学量算符的自共轭要求。相应地，把传统“投影取值测度”（PV，又称“谱测度”）放宽为“正算子取值测度”（POVM)，传统的测量理论推广到“广义测量理论”（这是量子信息理论中要涉及到的）。

比较有代表性的文献有：

1) G. Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1983
2) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory, Springer-Verlag, 1985
3) J. M. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1968.
4）P. Busch, M. Grabowski and P. J. Lahti, Operational Quantum Physics, Springer-Verlag, 1997.