谱分布测度 过程的总体方差中归因于一定时间间隔频率的部分。例如，如果我们有月
数据，那么一月相当于，两月相当于，一年相当于。为了测度由不只一年时间长度
的周期性因素所产生的方差，我们
可以考虑用表示
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麻省理工
Guido Kuersteiner
经济系
时间序列
14.384
第三讲笔记平稳过程的谱表示法
从前面的讲义我们已经知道一个平稳时间序列的独立性质能用自协方差函数描述。在
附录
B中，将证明能用谱分布函数的形式表示，如下：
谱分布测度 过程的总体方差中归因于一定时间间隔频率的部分。例如，如果我们有月
数据，那么一月相当于，两月相当于，一年相当于。为了测度由不只一年时间长度
的周期性因素所产生的方差，我们
可以考虑用表示。附录A讨论了阐明这
种解释
的简单例子。
如果分布函数 有一个
密度函数，那么（3.1）能被写作
其
中是傅立叶变换。此外，如果谱密度属于平方可积空间，那
么
傅立叶逆变换存在并且由
给
定。
这种关
系必须保持在，因为是一个以为基的希尔伯特
空
间。于是，从（3.2）知道自协方差函数是投射在基本向
量上
的回归系数。如果，那么收敛并且其极限
几乎处处都是
。
在
ARMA 模型中， 事实上有。 那 么 ， 序列
绝对
一致收敛，并且其极限几乎处处都是。因此，在这种情
况
下，一般都直接用（3.3）来定义谱密度。
3.1
谱密度的性质
为了
简化论证，我们假定。既然如此，我们能够在傅立叶
逼近（
3.3）的基础上建立的性质。然而，在这一节讨论的性质只适用于一般平稳过程。
如果
是一个实值弱平稳过程，那么。于是，就得到。
为了证明，我们
引入下述具有独立重要性的概念。序列的被定义为前N 个部分和的平均
值
。令并且定义，则有
我们
想要证明如果，那么 。这能从Toeplitz 引理得到。
引理
3.1（Toeplitz）：
令是一个跳跃的序列并且当n趋于无穷时， 。令
为一
组权数并且满足当n 趋于无穷时，对所有n 都有且对所有i 都有，
，那么
证明
：对任意， 都有
并且
取这样的n 使得，取N 使得对于所有的，都
有。
则
有
并且
其
中最后的不等式从。既然是任意的，那么所要证明的结果就能得到。
设
，立刻就能得到如果，那么。回到前面的谱密度
如果
,那么现在我们就说
。
令是的切萨罗平均，我们能知道对于所有n
于
是，使得。
最后
，我们注意到。我们把这些结果总结在下面的定理
中。
定理
3.2（Spectral Density）：
如果一个实值弱平稳过程有一个谱密度函数那么 满
足
我们
现在回到ARMA模型谱密度的特征。
3
．2．ARMA过程的谱密度
在
这节中，我们将探讨谱密度能通过寻找傅立叶逼近（3.3）得到。在这些情况中，能找到
谱
密度的具体的函数形式。一种情况就是古典ARMA 过程。我们首先考虑线性过程
，
其中的谱密度，其中是以 为
谱分布函数的
0 均值平稳过程。我们知道，
其
中，于是就有
如果 有一个谱
密度函数，那么就有。这一
函数能
通过的傅立叶逼近直接得到。此外，我们假定函数是绝对可加的。
那么，
傅立叶逼近是
一个过
滤的时间序列的谱密度函数的更简洁的方程能通过定义无穷阶滤波的滞后多项
式。
现在就得出
现
在我们转向ARMA（p,q）模型的谱密度函数。
定理
3.3（ARMA(p,q)Spectral Density）
.令是一个ARMA(p,q),满足
其
中， 没有公共零点，
并且
有单位圆周外所有的根。有谱密度
证明：
首先注意到，其中。因为 ，所以从
上
面的结论可以得到存在且等于。由前面的定理得知过滤更新
有谱
密度。同理可得有谱密度函数。因为
（
3.4 ） 的右侧和左侧有相同的协方差和相同的谱密度， 使得
。
3.3
线性过滤
有时
候我们并不想分析初始序列，只希望分析其滤波形。主要的例子都能在商业周期的文
献
中找到，其中商业周期常常被定义为围绕一个趋势波动。在此，我们考察线性滤波的一些
性质。例如，一个时间序列的一
阶差分能看成一个线性滤波。令是原始序列， 是
过
滤序列。那么
其
中， ，其它的有。
因
此，更一般地，我们能够找到一个滤波，其中我们要求
。我们已经知道过
滤序列的谱密度函数和原始序列的谱密度函数有如下关
系：
其
中， 叫做这一过滤序列的频数响应。叫作功
效
转移函数。直观地，这个函数决定了这一（功效）频谱如何通过过滤而改变。控制一个周
期
组成振幅的因素通过频数响应函数的系数来测度。这一术语叫做增益。
滤波
改变一个时间序列的另一方法是变换这一序列。这叫做相位变换。令
且
定义， 那么推出
于
是，就称是一个相位变换。对于的一个对称滤波就没有相位变换，例如
，因为从
可得。我们考察一个简单的
滤波
，这一滤波滞后一期，例如，
那么 ，
并且增益为，相位变换为
。
因
此这一相位就是在时域中的变换测度。
现
在，我们来看更符合实际的一些滤波。K 期差分滤波
有一个频数
响应。因此，增益是，
并且这
一相位是
双
向移动平均滤波由
确
定。那么
在
商业周期文献中更普遍的是HP滤波。在时域中，它由于下述平滑问题而产生
如果 ，那么
并且没有平滑发生。如果，那么通过平方轨道误差测度
以
及在增长率方面的强烈变化而纠错， 被选定尽可能接近。
如果我们
忽略例子开头以及结尾的细节，那么一阶条件就能写成下面的形式：
就这
样，解出
并且
使用了滞后算子表达式
因
此， 的平滑形由
确
定。叫作趋势分量， 叫作周期分量。于是，我们得到
过
滤过程的频数响应由
来给
定。现在，增益能被分析。对于，我们有
此外
，如果非常大，当不接近0 时，就有
。
这就说明了这一滤波过程有某些的优化性质。它不影响短期频数，而移动长期频数。
A.
谱测度的说明
在
第2 讲中，我们已经考察了如下形式的线性过程：
其
中， 是一个白噪声随机变量序列。接下来，我们证明了每一个弱平稳过程都
能用
这种形式表示。在此，我们关注弱平稳过程的一种可供替代的表示。这种表示法叫做谱
表示
法。
首先
，我们假定由一复值随机过程
所
确定，其中而且 是一个无关的复值随机变量，使得对于所
有的有， 。如果
对于所有的， 都有
， 那么
是实值的。为了得出这一点，把带入，
对
于所有的以及，都有，
。
此外，对于所有的， ，都有。利用棣莫弗公
式
推出
其
中，复形式不存在了，因为， 。(A.1)的另一表达
法
是：
其
中， 是的振幅， 是 的相位。从这个表示
式我们
可以知道是以为随机振幅，以为随机相位变换的不同余弦波的和。
现
在， 的自协方差函数由
和
给
定，使得。
如果我们
考察生成机制（1），现在我们就能把解释成频数对总体方差的贡献。
这
说明了，当非常大时， 和频繁地完成它们的周期性波动。不失一般
性，我们
把序列按进行排序。我们引入阶梯函数。
这
一函数叫做谱分布函数，规定如果， 以及。那么分布函
数由
斯蒂阶积分定义。这一函数能被更清晰地写作
因
此，我们能用斯蒂阶积分的形式写
和
其
中，我们用到了棣莫弗定理： 。这就证明了每一个零均值
平稳过程有个由
（A.1）概括的表达式，即
其
中是一个正交增量过程，使得，并且当
，
使得，
。
然后，分布函数就能定义成当，
；
当， ; 当，
。
B.
谱测度存在性的证明（严格地优化）
在
这一附录中，我们证明0 均值平稳过程的协方差函数能用谱分布函数表示。在证明之前，
我们
需要引入一些新的概念。
定义
B.1.
对于所有的跳跃函数和连续函数f,如果
则概
率测度序列依概率P 弱收敛。
定义
B.2.
如果一测度概率族包含一个依概率弱收敛的子序列，那么就说这一概率测度族
是
相对紧的。
注
1.
子序列不必收敛到原类中的一个元。这就是收敛被称作相对的原因。
定义
B.3
如果对于每一个都有一个紧集，使得
那我们
就说这一测度概率族是紧密的。
定理
B.4(Prokhorov).
令是定义在上的一概率测度族。那么，当且仅当它是紧密的时，是
相
对紧的。
现
在，我们证明（3.1）
定理
B.5(Herglotz)
.令是以零为均值平稳随机序列的协方差函数，那么，
就
有一个有限测度
使
得
证明：
对于， 令
因为由 的定义
是非负的，则我们得知。值得注意的是，当
， 不一定
收敛。我们可以写作
并且
，对于
函数
是不减的，右连续的且有左极限的，并且， 。
那么
， 有
对
于， 测度在都成立且对 于所有的， 有
。因
此，由Prokohorov 定理可知，测度族是紧密的且相对紧致的
因
此，这就存在一个子序列使得，其中指的是弱收敛。
然
后就能得到
注
2
：这个定理的复杂在于我们只假定了平稳过程。此外，如果我们加入，
那么当，
收敛。因为，由控制收敛定理可知
。
接
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