恤
二亨
员
一的平方根
、
复相位与薛定愕
杨振宁
纽约州立大学石溪分校理论物理研究所
一
、引,
狄
拉克在年月的一次演讲中谈到早期的量
子
力学肠, , 在所涉及的几个论题中他讨论
了
不对易代数, 并对此补充道
‘
问题在于, 不对易性是否真是量子力学新观念的
主
体我过去一人为答案是肯定的, 但最近我开始
怀
疑这一点我想, 从物理观点来说, 可能不对易性并
非
唯一重要的观念, 或许还有某些更深一层的观念
对
于最子力学带给我们的那些通常的概念, 或许还需
作
某些更深入的改变’
狄
拉克进一步讨论了这个问题, 并得出结论
‘
所以, 如果有人问, 量孑力学的主要特征是什么
现
在我倾向于说, 量子力学的主要特征并不是不对易
代
数, 而是几率振幅的存在, 后者是全部原子过程的
基
础几率振幅是和实验相联系的, 但这只是部分的
联
系几率振幅的模的平方是我们能够观测的某种
,
即实验者所测量到的几率但除此以外还有相位,
它是模为
的数, 它的变化不影响模的平方这个相位
是
极其重要的, 因为它是所有干涉现象的根源, 而它
的
物理意义是隐含难解的所以可以说, 海森堡和薛
定谬的真
正天才在于, 他们发现了包含相位这个物理
的
几率振幅的存在相位这个物理量巧妙地隐藏在
大自然
之中, 正由于它隐藏得如此巧妙, 人们才没能
更
早建立量子力学’
人
们可以同意也可以不同意狄拉克的见解是引
人
包含相位的振幅更重要, 还是引入不对易代数更重
要但毫
无疑义, 在物理学家对大自然的描述中, 这
两
者都具有深远意义的革命性进展
经
典物理学, 即年以前的物理学, 仅仅用到
实
数, 在力学、热力学、电动力学等全部经典物理学
中
都是如此在许多地方的确也用到复数例如在求
解
线性交变电流问题时就用到复数、但是在求出解以
后
, 总是取其实部或虚部, 以得到真实的物理答案
所
以在这种情况下使用复数仅仅是作为一种辅助的计
算
工具, 也就是说, 物理学在概念上只使用实数
但是
, 随着矩阵力学和波动力学的发展, 情况有
了
引人注目的变化, 复数成了物理学非常基本的概念
元
素矩阵力学和波动力学的基本方程是
一
“ 一艺方,
‘
争少
‘
一二目
尸
二刀尹,
口
‘
一
两者都
明显含有虚单位斌二了要强调指出的是,
如
果试图去掉‘而只用方程和的实部或虚部,
那
末这些方程的真实意义也就完全丧失了
二
、矩阵力学和波动力学中的复数
下面简单
谈谈在矩阵力学和波动力学中引入复数
的历
史过程
首先谈
谈矩阵力学在海森堡所写的开创性论文
,
中, 他把一个动力学量的傅立叶
变
换它取决于一种态和一种傅立叶多重性和它在
“
量子理论” 中对应的量它取决于两个态进行了比
较
, 在这个过程中, 海森堡很自然地从概念上讨论了
复
数傅立叶振幅在紧接着发表的一篇两人合写的论
文
, 中, 历史上第一次明显
地出现
了方程, 这也是虚数第一次以基本的方式
被引
入物理学稍后, 在狄拉克发表的第一篇关于量
子
力学的论文, 中, 也出现了方程,
同时还有
奋
〔叮, 〕一访,
这个
方程也显含‘ 这些进展表明, 复数在矩阵力学
中起
着基本的作用尽管这是物理学中的一个重要新
进
展, 但当时却似乎没有得到应有的评价这也许是
由
于矩阵力学是如此新颖, 而傅立叶分析又是如此台
理
, 以致引入复数的全部含义反而被当时发生的重大
卷
期确去康志
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卜
自
心
变
革掩盖了
现在转而讨
论波动力学波动力学是由薛定愕的
六
篇有历史意义的系列论文,
确立的
①, 这六篇论文都写于年的头六个月在
前
五篇论文中, 薛定谬把他的波函数分解成位置坐标
,
的实稳态函数和时间的正弦函数的乘积
名
, ⑧
薛
定愕当时这样做是不足为奇的, 因为他把电子
的驻
波描述想象成类似于电磁波或水波的驻波, 这些
彼
确有相位, 但它们是由实的时空函数描述的, 例如,
一
在薛定
愕的论文中, 对波函数
价
。。一, 氏, ‘”。
有
一个脚注, 他写道“ 是斌二, 等式右端按惯例取
实部
” 着重点是我加的这表明了他对此事的一般态
度
, 即它们是和通常的线性电路理论一样的价可以
是
复数, 但最后总是取实部
当
然, 在薛定愕探寻矩阵力学和波动力学之间的
关
系时, 他不可避免要碰到‘ 斌万, 例如他的论文
中
的方程就是如此他是否为此曾受到
困
扰, 我们可能永远无法知道, 但是, 当他进而讨论二
一
次
项, 例如讨论以, 厕升〔在其论文中简短地
讨
论过〕或帅时他在年月日以前的某个时
候作
的, 参见下文, 他必定遇到了这些麻烦
年月
日, 岁高龄的洛伦兹给薛定愕写了
一
封长信, 感谢薛定愕送给他三篇文章的清样洛伦
滋
在信中还提出了许多有关波动力学的原则问题和具
体
问题, 其中有两点与我们现在所讨论的问题有关
《
如何说明两个粒子或更多粒子的价函数, 洛伦
兹
认为“ 真实的‘ 运动方程’ ⋯⋯完全不应该含能量
一
, 而应代之以含有时间的导数”同年月日, 薛
定
谬回了一封同样长的信, 其中包括八条意见, 头两
条就是回
答洛伦兹提出的上述两个问题
关
于, 薛定谬说他已放弃了他先前手稿
,
中沪。证, 的表示式, 现正专注
于
研究实空间中的电荷密度倾他接着写道“ 令人不
满意
和的确很快遭到非议的事情是使用了复数从根
本
上说, 价无疑是一个实函数”随后他指出从少的实
部
少, 构成复函数少的方法显然薛定谬本人对这个
方法也
不很满意
关
于, 薛定愕写了如下方程
方
一“必争,
然
后利用万必一沪消去, 得到
一
里奋乍
他
补充说“ 这可能正是一个普遍的波动方程, 它不再
‘
包含积
分常数召, 而包含时间导数” 薛定谬继续思考
确
鑫余志卷期
这个问
题, 五天以后, 在月日写给普朗克的信中,
他说
“ 顺便说一句, 近几天, 另一件事使我如释重负,
它虽曾
使我十分不安, ⋯⋯, 但它终以其自身的从未有
过的
简单和完美而得到解答’这个解答是什么呢它
就是
上述方程
为
什么薛定愕不简单地写出正确的时间相关方程
,
而宁可用较复杂的方程呢他当然知道这个
较
简单的方程, 但却选择了较复杂的二阶方程⑧, 这
是
为什么我认为答案如下
薛
定愕不想使他的波动方程包含‘, 就利用‘
一
来消去它, 从而导致四阶方程他力图避免‘是
很
自然的, 因为在他的论文中, 他建立波动
力学是借
助于写出实的哈密顿一雅可比方程
,
公
以及
价
·
他的
符合这个要求的价是实的和与时间无关的稍后,
在
论文, 互中, 他写道“ 当然, 它有力地表
明
, 我们应该试图把函数沪和原子中的某种振动过程
联系起来
⋯⋯, , 但这可不是一个简单的过程几山为薛
定愕必须设
法解决一个棘手的问题, 即这种振动的频
率
是什么薛定谬后来对这个问题的想法的演变是一
个饶
有趣味的课题, 但不是我们在这里所要讨论的内
容我们
现在关心的是这个事实, 薛定谬构思出用实
的时空
函数来描述振动, 从而建立了他的波动力学的
概
念后来当他对吵作叠加时, 仍然是指把实的少加
起
来, 其中每一个价都随时间作正弦变化
现
在回到薛定愕月日给普朗克的信, 他在信
中
进一步指出, 在方程中, “ 可以令势能是时间的
显
函数” 这已被证明是错误的, 薛定愕在那以后的
天
里, 领悟到了这一点他当时就写了论文,
于
月日寄到出版社正是在这篇文章中, 他第一
次
提出这样的概念少是时空的复函数, 并满足复时
变方
程薛定谬把式称为真正的④波动方程,
以
区别月必一娜, 他把后者称为振动方程或振幅方
程
目加
① 佩斯引用魏
尔的话说‘ 薛定愕正当其迟来的
爱情进发时
做了他的伟大的工作‘
①
见该文方程后括号内的评注
① 在
薛定谬于年月日以前所写的五篇论文
绍
, 、中, 方程从未出现过但发现了
诸
如式的方程, 这意味着薛定愕知道访八月九在月
日
给洛伦兹的信中, 他对沪的实部沪, 作了混乱的讨论, 这清
楚地
表明, 薛定愕那时正在为消去或定义虚部而努力
④ 薛
定语在德文稿中用的词是, 我把它译为
,
也有人把它译为概, 在这里的上下文中, 很容易
造成混乱
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我应该
强调一下, 上面追溯了薛定谬早期的一些
论文
, 我并未由此推断说, 薛定语在其论文幻
中
关于少应是复数的发现, 是源于年月日洛
伦
兹给他的信情况可能如此, 但事情也可能是这样
的在薛定谬
写了那篇与时间无关的微扰论的论文
后
, 他着手研究与时间有关的微扰论, 于是,
他必
须研究波函数少随时间的变化而可能是正在进
行这项研究
的时侯, 他收到了洛伦兹的信可以断定
的是
, 薛定语是在月日到月日之间, 最后确
定
少是复函数的
薛定语
的论文幻寄出几天以后, 玻恩寄出
了
关于波函数统计途释的两篇历史性文章,
、
中的第一篇值得注意的是, 这两篇文章中
的第
一篇, 玻恩对入射波用了一个实波函数
下尸
之
来表
示, 而对散射波用了另一个实波函数
过
瓜, ‘ “ 即,
来
表示因为每一个波函数都是实函数, 所以玻恩在
其著
名的脚注加在第一篇论文的校样中, 不用绝对
值
平方, , 而仅用“平方, 佩斯对此曾说,
“
跃迁几率的正确概念, 这个重大的新事物, 是以脚注
的方式进入物理学
的, 玻恩只是在第二篇论文中才
对入射波
和出射波使用了复数
三
、魏丫湘范理论中的盆救
上面
我们考查了年间, 在基础物理学
中
引入复数的历史事实上, 在这以前几年, 薛定谬
已
经发表了一篇很有意义的论文, 题目是《关于
单
电子子轨道的一个不寻常的性质》在这篇文章
中他
已指出, 在魏尔年的规范理论中可能已引入
了
一个虚因子
丫
二一动
他从魏尔
的‘ 世界几何, 即年魏尔的电磁规范理
论
》入手, 把魏尔的思想概括到一个指数因子
面的式
他指出, 对于后一种取值, 因子旎
为
在薛定谬
创立波动力学的几篇重要论文中, 他没
有引证
年的这篇论文, 但拉曼和福尔
曼
, 在研究这段历史时认为, 关于“ 为
什
么是薛定愕发展了德布罗意的思想”他这篇年
的论
文实际上是起了重要的作用的他们的论点后来
由
汉尔, , 和韦塞尔斯,
证
实他发现薛定愕年月日给爱因斯
坦的
信中有下面一段话
“
在我看来, 德布罗意对量子规则的解释似乎和我
在
论文沙· 尸, , 中的想法有某种联
系
我在那篇文章中已表明, 在每一个准周期中, 魏
尔规范
因子砚一沁」有奇异的性质· 就我所见,
在
数学处理上两者是相同的, 只不过他的比我的更
正
规, 但却不够完美, 实际也没有作一般的证明
自然
, 德布罗意在他的普遍理论框架中所作的
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