拓扑不变量
弄弦男
2009-04-23 18:10
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一,引言
自't Hooft 1974年提出规范场论的大N展开[1]后,人们普遍相信弦理论与大N规范场论间存在对偶等价关系.这个猜想在低维的理论中有较多的研究及较好的结果.特别的,对於二维论纯规范场论,先是Rusakov,Witten[2] 等人获得此理论在一个genus G的二维紧黎曼流型M上的配分函数的精确表示:
(1)
在此R是规范群的一切不可约表示,dimR 及 C2(R) 为R的维数与二次Casmir,l = g2N 为规范场论的't Hooft 藕合常数,基於此一结果,Gross和Taylor[3]於1994年证明(1)可以重写成某些具有二维对像空间的弦理论的配分函数的1/N展开,此重要结果提供规范场理论与弦理论对应的第一个严格证明.可是不足的说,这并不是一个很实际的关系,众所皆知二维规范场论是一个拓扑理论,并没有传播的自由度.而二维弦理论也是极为简单的一个模型,举例说,它没有包含重力在内,正因两个理论都如此简单,所以才有可能严格建立一个它们之间的关系.找出四维规范场论的弦表示,一直是理论物理家的梦想,也是最初发展出弦论的一个重要动机,但四维规范场论比二维规范场论复杂多了.一般相信,QCD弦是QCD色监禁的结果,但因为QCD色监禁是一非微扰现象,至今还没有可以完善处理它的方法.要找出四维QCD理论的弦表示是一个相当难的问题,多年无进展.
二,AdS/CFT 对应
直至1997年,年轻的Maldacena大胆提出一个关於规范场论与弦理论的假想关系[4],他猜想四维的最大超对称性规范场论(即所谓N = 4超对称Yang-Mills理论)是超十维的IIB型超弦理论有一对偶关系(duality relation).这是一个颇难以置信的关系,记得1997年十二月,笔者在瑞士CERN研究中心参加一个关於弦,D-膜的研究讨论会议,Maldacena就他的猜想做了报告.会中不乏在弦理论研究首屈一指的学者(如Susskind, Schwarz, Green, Harvey 等),对於Maldacena的提议皆持怀疑或观望的态度.甚至Maldacena 自己似乎也并不太乐观,当Harvey问即使这duality是对,但有什麼用途时,Maldacena开玩笑说道或许它跟BFSS的矩阵模型[5]一样不太实际,引得哄堂大笑.
其实这也难怪,因为Maldacena最初出他的猜想时,并没有提供一个比较完整的字典,告诉大家怎样把两个理论的物理现象对应联系起来.例如,一个四维的非引力理论,怎样可以跟一个十维的引力理论等价 十维与四维时空差别如此之大,发生在额外六维的物理现象跑到哪里去了
在此有必要对Maldacena的猜想做进一步的说明.10维的弦理论有5类型,其中之一是所谓的IIB型,这弦论具有32个时空超对称荷.在一般的时空背景下,只有一部份超对称性维持不被破坏.能维持所有32个超对称性的时空背景,因为对称性较多的关系,对应的弦论也较为漂亮.在10维时空,人们很早以前便知道只有完全平整的时空R10及AdS5×S5时空可以维持所有的超对称性.这里AdS5是5维的Anti-de-Sitter时空,可以想像成在6维时空中的一个超曲面:,它具有如此的度规:
(2)
AdS5有一个4维的边界S4,是一个4维球.在Maldacena的构想中,规范场论正是生存在这个边界时空上.因为S5没有边界,所以Maldacena说的是10维的AdS5×S5弦论是跟在它的边界上的一个4维规范理论成对偶等价关系.而10维理论之所以可以和4维理论有相同的物理,是因为引力的一个奇特的性质—全息原理.
全息照片,相信大家在实验课或博物馆中看过,一张二维的全息底片,可以完整记录三维物体的影像.早在70年代,人们在研究黑洞物理时便发现黑洞的熵遵守面积定理(Hawking, Berenstein),基於此现象't Hooft[6]首先提出引力理论的全息原理,后来为Susskind[7]发展及深化.根据此原理,引力现象实际像全息现象一样,可以用一更基本的低维理论去等价描述.这个低维的物理系,是生存在时空的边界上的.'t Hooft-Susskind的全息原理的提出,标志著引力探索的一个全新方向.可是尽管这个假说十分吸引,自它提出后一直没法被证明,甚至连找到一个实际体现这个假说的物理系统也没有.
Maldacena的AdS/CFT对应[CFT:因为N = 4 超对称Yang-Mills理论]是一共型理论(Conformal field theory)],可以说是一箭双雕.10维IIB弦理论作为4维规范场论的一个等价表述,提供了规范场论的弦化的解答,更揭示了可以用弦论去研究色监禁这一个重要的可能性.另一方面,因为规范场论生存在10维时空的边界上,所以可以把规范场论想像成弦论的一个全息图,从而成为全息原理的第一个,且最重要的实际体现.
在根据Maldacena的AdS/CFT对应,10维时空中的量子图效应,是跟4维场论中的't Hooft 1/N展开成一一对应关系.根据't Hooft的1/N展开,物理量可以依Hooft藕合及1/N做一双重展开.它们跟弦论中的藕合常数gs及S5的半径长度R有如下的关系:
(3)
上面提到,Maldacena提出Ads/CFT对应时,并没有提供一个"字典",可供计算及验证这关系的正确性.所以有好几个月这个假说大家都对此持比较保守的态度.情况直至98年2月,Witten [8],并Gubser,Klebanov,Polyakov [9] 分别提出一个较为完整的架构,使计算及验证成为可能.AdS/CFT的研究遂成为弦论的一个主流,自它被提出以后,有不少的进展,有兴趣的读者,可进一步参考[10].
在AdS/CFT对应关系中,时空的引力效应原则上可用非引力的规范场论去描述.一些非常有意义的问题,如时空间的奇异性,黑洞内部的时空性质,都是人们希望可以透过这个对应关系进一步了解的.对AdS/CFT关系更深入的研究,无疑可以加深我们对量子引力的了解
可惜,因为AdS弦理论十分复杂,我们对它的了解至今仍只停留在经典的层面上,即是说在讨论AdS/CFT对应关系时,多数时间是把弦圈效应忽略,仅考虑经典的引力理论及与之对应的N = ∞ 的超对称规范场论.这对於研究有限的N的情形(即是说包括弦的量子圈效应)无疑是一极大的限制.
三,BMN对应
上面提到,长久以来,人们一直以为在十维的时空中,只有两个时空背景,拥有32个超引力对称性.直到2001年,情况突然改变.这年秋季,在奥地利维也纳的薛丁格研究院有一个关於弦论的研讨会,为期几个月,主持人之一Blau当时是义大利的ICTP的研究员(最近受聘到瑞士Neuchatel大学),他邀请了一批对D-膜,超引力,M-理论等有浓厚兴趣的学者参加.在讨论过程中,发现了IIB理论中还存在著一个新的,维持最高超对称性的时空背景[11].他们并且发现,这个解可以从原来的AdS5×S5时空背景(另一个维持最高超对称性的时空背景)透过一个特别的极限过程得到.这个极限过程叫Penrose极限;是英国数学家Penrose於1976年研究广义相对论及时空结构时所提出的一个极为漂亮的构造.Penrose问的问题是,给定任何一个黎曼时空,并考虑当中光所行的路径,如果我们非常靠近这条路径,我们会看到怎麼样的规度呢 这问题跟问在一个n-维流型的某一点附近看到的什麼样的空间类似 [答案:所看到的切空间为向量空间Rn].Penrose发现他的问题也有一个普适的答案.他发现在这个光线附近的管状领域上,度规恒常取同一形式—pp- 波型几何:
(4)
而这个极限过程,即考虑某一光线附近的极限几何,被称为Penrose极限,需要说明,一般来说,在同一黎曼空间中可已有很多不同种类的光线,不同光线的Penrose limit会给出不同的pp- 波几何(即不同的AIJ).可以证明,在AdS5×S5这个黎曼黎曼流型上,只有两类光线,取它们的Penrose极限,一种给出平直的R10空间,另一种给出一个特别的AIJ = dIJ m2. 在此m =常数,为描述这pp- 波空间的曲率参数).
因为对AdS5×S5存在一个对偶的规范场论表述,很自然的会问,pp- 波的弦理论也有对应的对偶表述吗 这问题於去年二月为Maldacena及合作者Berensteim及Nastase[12]提出并解答.他们发现,如果把pp- 波几何想像成AdS5×S5的一个极限部分,那麼它的对偶场论也应该是原来的N = 4超对称YM规范场论中的某个特殊部分 (sector).
他们发现,必须考虑原N = 4 SYM 中的一些特殊的算符(带有J单位的超对称U(1)荷),并考虑一个特殊的双重线度极限:
N→∞, J→∞
J2/N = 固定, (5)
= 固定.
这有利於原来的't Hooft大N极限:
N →∞,
J2/N →0, (6)
N = 固定.
这些特殊的算符,被称为BMN算符.在这极限,它们的anomalous dimension 有限,并与弦论中的各种粒子的质量成对应.BMN并发现在Penrose极限下,AdS5×S5的弦理论得以化简,极限的pp- 波的弦理论更是完全可积系统,从而它的所有弦态及质量皆可完整获得.这是人们在规范弦场论对应关系中可以研究弦效应的首次胜利,是原来的AdS/CFT对应关系无法做到的.
BMN对应关系比AdS/CFT对应来的实际,因为不管在弦,还是场论方面,人们都可以做微扰计算,从而为研究及验证这关系打下一个基础.BMN对应关系亦成为弦论的另一主流方向.在BMN原本的文章中,它们只提出自由的弦论与规范场论的对偶关系.不久,人们意识到引入相互作用的可能性,并提出了弦的三顶角作用与场论中的相关函数的关系 [13].这猜想获得一定的支持,但也有一些问题,特别是当推广到含有费米子的情形,仍待解决.
四,结语
长久以来,人们期待可以把引力及其他作用力统一描述.Klanza-Klein理论漂亮地把规范场与引力统一到高维的引力理论中.但因爱因斯坦的引力理论存在量子化的问题,所以不能成功.弦论把各种相互作用统一,只需要单一的弦作用,可以包括所有的作用力.不单如此,因为弦论不存在紫外发散问题,所以弦论是一完备的量子引力理论.弦规范场论对应关系的成立,似乎表示或许量子引力及弦论并不是最基本的,或许引力现象只是更基本的规范场的动力学效应的一种展现.其实很久以前,人们己经有这样的猜想[14].徐教授最近也再次提出了这个想法[15].
透过弦规范场论对应关系的研究,预期将可加深我们对引力及时空结构的基本了解.或许一场横时代的物理革命正在酝酿.
自't Hooft 1974年提出规范场论的大N展开[1]后,人们普遍相信弦理论与大N规范场论间存在对偶等价关系.这个猜想在低维的理论中有较多的研究及较好的结果.特别的,对於二维论纯规范场论,先是Rusakov,Witten[2] 等人获得此理论在一个genus G的二维紧黎曼流型M上的配分函数的精确表示:
(1)
在此R是规范群的一切不可约表示,dimR 及 C2(R) 为R的维数与二次Casmir,l = g2N 为规范场论的't Hooft 藕合常数,基於此一结果,Gross和Taylor[3]於1994年证明(1)可以重写成某些具有二维对像空间的弦理论的配分函数的1/N展开,此重要结果提供规范场理论与弦理论对应的第一个严格证明.可是不足的说,这并不是一个很实际的关系,众所皆知二维规范场论是一个拓扑理论,并没有传播的自由度.而二维弦理论也是极为简单的一个模型,举例说,它没有包含重力在内,正因两个理论都如此简单,所以才有可能严格建立一个它们之间的关系.找出四维规范场论的弦表示,一直是理论物理家的梦想,也是最初发展出弦论的一个重要动机,但四维规范场论比二维规范场论复杂多了.一般相信,QCD弦是QCD色监禁的结果,但因为QCD色监禁是一非微扰现象,至今还没有可以完善处理它的方法.要找出四维QCD理论的弦表示是一个相当难的问题,多年无进展.
二,AdS/CFT 对应
直至1997年,年轻的Maldacena大胆提出一个关於规范场论与弦理论的假想关系[4],他猜想四维的最大超对称性规范场论(即所谓N = 4超对称Yang-Mills理论)是超十维的IIB型超弦理论有一对偶关系(duality relation).这是一个颇难以置信的关系,记得1997年十二月,笔者在瑞士CERN研究中心参加一个关於弦,D-膜的研究讨论会议,Maldacena就他的猜想做了报告.会中不乏在弦理论研究首屈一指的学者(如Susskind, Schwarz, Green, Harvey 等),对於Maldacena的提议皆持怀疑或观望的态度.甚至Maldacena 自己似乎也并不太乐观,当Harvey问即使这duality是对,但有什麼用途时,Maldacena开玩笑说道或许它跟BFSS的矩阵模型[5]一样不太实际,引得哄堂大笑.
其实这也难怪,因为Maldacena最初出他的猜想时,并没有提供一个比较完整的字典,告诉大家怎样把两个理论的物理现象对应联系起来.例如,一个四维的非引力理论,怎样可以跟一个十维的引力理论等价 十维与四维时空差别如此之大,发生在额外六维的物理现象跑到哪里去了
在此有必要对Maldacena的猜想做进一步的说明.10维的弦理论有5类型,其中之一是所谓的IIB型,这弦论具有32个时空超对称荷.在一般的时空背景下,只有一部份超对称性维持不被破坏.能维持所有32个超对称性的时空背景,因为对称性较多的关系,对应的弦论也较为漂亮.在10维时空,人们很早以前便知道只有完全平整的时空R10及AdS5×S5时空可以维持所有的超对称性.这里AdS5是5维的Anti-de-Sitter时空,可以想像成在6维时空中的一个超曲面:,它具有如此的度规:
(2)
AdS5有一个4维的边界S4,是一个4维球.在Maldacena的构想中,规范场论正是生存在这个边界时空上.因为S5没有边界,所以Maldacena说的是10维的AdS5×S5弦论是跟在它的边界上的一个4维规范理论成对偶等价关系.而10维理论之所以可以和4维理论有相同的物理,是因为引力的一个奇特的性质—全息原理.
全息照片,相信大家在实验课或博物馆中看过,一张二维的全息底片,可以完整记录三维物体的影像.早在70年代,人们在研究黑洞物理时便发现黑洞的熵遵守面积定理(Hawking, Berenstein),基於此现象't Hooft[6]首先提出引力理论的全息原理,后来为Susskind[7]发展及深化.根据此原理,引力现象实际像全息现象一样,可以用一更基本的低维理论去等价描述.这个低维的物理系,是生存在时空的边界上的.'t Hooft-Susskind的全息原理的提出,标志著引力探索的一个全新方向.可是尽管这个假说十分吸引,自它提出后一直没法被证明,甚至连找到一个实际体现这个假说的物理系统也没有.
Maldacena的AdS/CFT对应[CFT:因为N = 4 超对称Yang-Mills理论]是一共型理论(Conformal field theory)],可以说是一箭双雕.10维IIB弦理论作为4维规范场论的一个等价表述,提供了规范场论的弦化的解答,更揭示了可以用弦论去研究色监禁这一个重要的可能性.另一方面,因为规范场论生存在10维时空的边界上,所以可以把规范场论想像成弦论的一个全息图,从而成为全息原理的第一个,且最重要的实际体现.
在根据Maldacena的AdS/CFT对应,10维时空中的量子图效应,是跟4维场论中的't Hooft 1/N展开成一一对应关系.根据't Hooft的1/N展开,物理量可以依Hooft藕合及1/N做一双重展开.它们跟弦论中的藕合常数gs及S5的半径长度R有如下的关系:
(3)
上面提到,Maldacena提出Ads/CFT对应时,并没有提供一个"字典",可供计算及验证这关系的正确性.所以有好几个月这个假说大家都对此持比较保守的态度.情况直至98年2月,Witten [8],并Gubser,Klebanov,Polyakov [9] 分别提出一个较为完整的架构,使计算及验证成为可能.AdS/CFT的研究遂成为弦论的一个主流,自它被提出以后,有不少的进展,有兴趣的读者,可进一步参考[10].
在AdS/CFT对应关系中,时空的引力效应原则上可用非引力的规范场论去描述.一些非常有意义的问题,如时空间的奇异性,黑洞内部的时空性质,都是人们希望可以透过这个对应关系进一步了解的.对AdS/CFT关系更深入的研究,无疑可以加深我们对量子引力的了解
可惜,因为AdS弦理论十分复杂,我们对它的了解至今仍只停留在经典的层面上,即是说在讨论AdS/CFT对应关系时,多数时间是把弦圈效应忽略,仅考虑经典的引力理论及与之对应的N = ∞ 的超对称规范场论.这对於研究有限的N的情形(即是说包括弦的量子圈效应)无疑是一极大的限制.
三,BMN对应
上面提到,长久以来,人们一直以为在十维的时空中,只有两个时空背景,拥有32个超引力对称性.直到2001年,情况突然改变.这年秋季,在奥地利维也纳的薛丁格研究院有一个关於弦论的研讨会,为期几个月,主持人之一Blau当时是义大利的ICTP的研究员(最近受聘到瑞士Neuchatel大学),他邀请了一批对D-膜,超引力,M-理论等有浓厚兴趣的学者参加.在讨论过程中,发现了IIB理论中还存在著一个新的,维持最高超对称性的时空背景[11].他们并且发现,这个解可以从原来的AdS5×S5时空背景(另一个维持最高超对称性的时空背景)透过一个特别的极限过程得到.这个极限过程叫Penrose极限;是英国数学家Penrose於1976年研究广义相对论及时空结构时所提出的一个极为漂亮的构造.Penrose问的问题是,给定任何一个黎曼时空,并考虑当中光所行的路径,如果我们非常靠近这条路径,我们会看到怎麼样的规度呢 这问题跟问在一个n-维流型的某一点附近看到的什麼样的空间类似 [答案:所看到的切空间为向量空间Rn].Penrose发现他的问题也有一个普适的答案.他发现在这个光线附近的管状领域上,度规恒常取同一形式—pp- 波型几何:
(4)
而这个极限过程,即考虑某一光线附近的极限几何,被称为Penrose极限,需要说明,一般来说,在同一黎曼空间中可已有很多不同种类的光线,不同光线的Penrose limit会给出不同的pp- 波几何(即不同的AIJ).可以证明,在AdS5×S5这个黎曼黎曼流型上,只有两类光线,取它们的Penrose极限,一种给出平直的R10空间,另一种给出一个特别的AIJ = dIJ m2. 在此m =常数,为描述这pp- 波空间的曲率参数).
因为对AdS5×S5存在一个对偶的规范场论表述,很自然的会问,pp- 波的弦理论也有对应的对偶表述吗 这问题於去年二月为Maldacena及合作者Berensteim及Nastase[12]提出并解答.他们发现,如果把pp- 波几何想像成AdS5×S5的一个极限部分,那麼它的对偶场论也应该是原来的N = 4超对称YM规范场论中的某个特殊部分 (sector).
他们发现,必须考虑原N = 4 SYM 中的一些特殊的算符(带有J单位的超对称U(1)荷),并考虑一个特殊的双重线度极限:
N→∞, J→∞
J2/N = 固定, (5)
= 固定.
这有利於原来的't Hooft大N极限:
N →∞,
J2/N →0, (6)
N = 固定.
这些特殊的算符,被称为BMN算符.在这极限,它们的anomalous dimension 有限,并与弦论中的各种粒子的质量成对应.BMN并发现在Penrose极限下,AdS5×S5的弦理论得以化简,极限的pp- 波的弦理论更是完全可积系统,从而它的所有弦态及质量皆可完整获得.这是人们在规范弦场论对应关系中可以研究弦效应的首次胜利,是原来的AdS/CFT对应关系无法做到的.
BMN对应关系比AdS/CFT对应来的实际,因为不管在弦,还是场论方面,人们都可以做微扰计算,从而为研究及验证这关系打下一个基础.BMN对应关系亦成为弦论的另一主流方向.在BMN原本的文章中,它们只提出自由的弦论与规范场论的对偶关系.不久,人们意识到引入相互作用的可能性,并提出了弦的三顶角作用与场论中的相关函数的关系 [13].这猜想获得一定的支持,但也有一些问题,特别是当推广到含有费米子的情形,仍待解决.
四,结语
长久以来,人们期待可以把引力及其他作用力统一描述.Klanza-Klein理论漂亮地把规范场与引力统一到高维的引力理论中.但因爱因斯坦的引力理论存在量子化的问题,所以不能成功.弦论把各种相互作用统一,只需要单一的弦作用,可以包括所有的作用力.不单如此,因为弦论不存在紫外发散问题,所以弦论是一完备的量子引力理论.弦规范场论对应关系的成立,似乎表示或许量子引力及弦论并不是最基本的,或许引力现象只是更基本的规范场的动力学效应的一种展现.其实很久以前,人们己经有这样的猜想[14].徐教授最近也再次提出了这个想法[15].
透过弦规范场论对应关系的研究,预期将可加深我们对引力及时空结构的基本了解.或许一场横时代的物理革命正在酝酿.
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