Ian的日记
量子力学学习的三个层次
2014-01-27 19:29:41
量子力学的学习可分为三个层次，第一层次以建立量子力学的基本概念为核心，主要介绍物理学史上那些关键实验和关键人物的工作，把概念的困难凸显出来，以理解概念的进步并非随意而是有其内在的逻辑和外在的条件。波粒二象性是概念进化中的关键转折，由此导向对非相对论性量子力学（不考虑粒子的产生和湮灭）的学习。第二个关键是把量子力学和狭义相对论结合，如何得到相对论性量子力学——必须考虑粒子的产生和湮灭——并进而导向对场论和粒子物理（包括量子多体理论）的研究。
在这个层次的学习中我们会尽量少用数学，但完全不用则很难。
量子力学的第二层次，可叙述为形式理论的建立，其核心是狄拉克记号和表象理论。在此基础上可研究形式理论对某些实际问题的应用，即讨论一些典型的近似方法，主要是微扰论。这里除了概念，更重要地是要建立概念与数学形式之间的关系，强调如何用数学语言表达物理问题。截止第二层次的学习基本就对应物理系本科的量子力学（非相对论量子力学）。
量子力学的第三层次，对应为物理系研究生阶段的高等量子力学，量子场论引论。高等量子力学很大程度上是在重复初等量子力学，但更强调对称性的观念，更强调形式理论，散射往往在初等量子力学中未得到充分讨论，这个应在高量中补上。相对论性量子力学往往是被忽视的，这个也应在高量课程中予以介绍。高等量子力学的学习会自然地导向量子场论（或量子多体理论），作为引论的量子场论（或量子多体理论）应当学习“正则量子化、路径积分量子化和费曼图”等，目的是为学习更加专门的场论技术打下基础。
第一层次应引导学习者阅读最新的科学新闻，检验自己获得的这些基本概念是否对我们理解每天都在发生的科学进展有所帮助。第二层次应引导学习者阅读一些经典的文献或英文原版教材，如D J Griffiths和J J Sakurai的教材等，以获得进一步学习量子力学的扎实基础。第三层次的学习应引导学习者阅读最新的研究文献，以检验自己是否能够读懂研究前沿的部分文献，并发展自己的研究兴趣，知道如何补足自己技能上的缺陷。
第一层次的学习，假设需要30学时；第二层次的学习，假设需要62学时；第三层次的学习，假设需要72学时。
第一层次，可冠名为量子物理引论（30学时）
第1讲：原子的概念
第2讲：行星模型，光谱现象
第3讲：黑体辐射
第4讲：狭义相对论初步
第5讲：光的粒子性，X射线
第6讲：玻尔模型
第7讲：波粒二象性，测不准原理或不确定关系
第8讲：薛定谔方程，无限深势井等可以严格求解的问题
第9讲：氢原子的量子力学解，角动量的经典模型
第10讲：量子力学+相对论，KG方程，自旋，S-G实验，Dirac方程
第11讲：全同粒子，经典可分辨，交换对称性，玻色子和费米子，泡利不相容原理，多电子原子
第12讲：氢分子模型，磁性的起源，海森堡模型
第13讲：半导体，费米面，玻色凝聚
第14讲：经典和量子的对应，费曼路径积分
第15讲：粒子物理初步
可以进行的Project：主要是物理学史方面的，考察量子力学诞生和量子场论诞生时科学家们碰到的概念困境及各种奇怪的想法。
典型教材：J. Berstein等《近代物理学，Modern Physics》（http://item.jd.com/10124638.html），不可能全讲，估计只能讲1/3左右。费曼讲义（3）可作为参考。
第二层次，可冠名为量子力学（62学时）
第1讲：波函数，希尔伯特空间中的一个向量，狄拉克记号，波函数的归一化（箱归一化）
第2讲：态迭加，狄拉克（德尔它）函数
第3讲：薛定谔方程，定态SE，一维定态的性质
第4讲：线性谐振子和厄米多项式
第5讲：有限高势井
第6讲：一维散射问题：一般原则和简单例子
第7讲：继续一维散射问题：稍微复杂点的例子和应用等，散射矩阵及其光学类比
第8讲：算符：厄米共轭，厄米算符，对易子
第9讲：算符的函数，平移算符
第10讲：本征值问题，共同本征值，测量，波包坍缩
第11讲：表象理论，表象变换
第12讲：海森堡绘景和薛定谔绘景
第13讲：线性振子的占有数表象
第14讲：继续线性振子的占有数表象，真空能，Casimir效应
第15讲：对称性，对称变换
第16讲：电子在磁场中的运动，正则量子化，AB效应
第17讲：轨道角动量的本征值问题，偏微分方程法，
第18讲：轨道角动量的本征值问题，代数法及相关代数关系
第19讲：中心力场问题，复习一些数理方程相关知识
第20讲：结合氢原子，中心力场问题，轨道磁矩
第21讲：自旋的泡利矩阵表示，含自旋的波函数，自旋在磁场中进动
第22讲：自旋单态，自旋三重态，角动量相加
第23讲：非简并定态微软
第24讲：绝热近似和Berry相
第25讲：简并定态微软，变分法
第26讲：相互作用绘景，含时微扰
第27讲：跃迁几率，偶极近似，选择定则
第28讲：自发辐射的爱因斯坦理论，激光
第29讲：自旋轨道相互作用，塞曼效应
第30讲：散射：分波法
第31讲：散射：玻恩近似，复习和杂七杂八的补充
第三层次A：高等量子力学（36学时）
第1讲：复习量子力学的基本假设，基本概念
第2讲：平移操作和动量，谐振子的相干态
第3讲：路径积分，概念
第4讲：路径积分，一些计算
第5讲：转动操作和角动量
第6讲：欧拉角，SO(3)，SU(2)
第7讲：密度矩阵，混合系综，纯系综
第8讲：角动量相加
第9讲：施温格振子法
第10讲：贝尔不等式
第11讲：对称性与守恒律，分立的对称
第12讲：时间反演对称
第13讲：李普曼-施温格方程
第14讲：玻恩近似，光学定理，准经典近似
第15讲：全同粒子散射，含时散射的形式理论等
第16讲：狄拉克方程
第17讲：狄拉克方程的解
第18讲：复习和杂七杂八的补充
第三层次B：量子多体理论（36学时）
第1讲：经典场论到场的正则量子化（二次量子化）
第2讲：路径积分，高斯积分，传播子
第3讲：费曼图，施温格方式和维克方式
第4讲：费曼图，以phi^4为例
第5讲：狄拉克场，正则量子化
第6讲：狄拉克场，Grassmann积分
第7讲：零温格林函数，莱曼表示
第8讲：维克定理和费曼图
第9讲：有限温度格林函数，松原函数
第10讲：有限温度的费曼图
第11讲：推迟和超前格林函数
第12讲：图形的部分求和，平均场近似
第13讲：无规相近似，阶梯近似等
第14讲：磁性，截断近似等
第15讲：电声子相互作用，BCS超导理论等
第16讲：线性响应，输运
第17讲：拓扑序等
第18讲：复习和杂七杂八的补充
以上是我在学校讲授量子力学的纲要，如果是针对普通公众写的话，应该是以前两层次为主的。具体提纲还需要再琢磨琢磨。欢迎批评和建议。
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在这个层次的学习中我们会尽量少用数学，但完全不用则很难。
量子力学的第二层次，可叙述为形式理论的建立，其核心是狄拉克记号和表象理论。在此基础上可研究形式理论对某些实际问题的应用，即讨论一些典型的近似方法，主要是微扰论。这里除了概念，更重要地是要建立概念与数学形式之间的关系，强调如何用数学语言表达物理问题。截止第二层次的学习基本就对应物理系本科的量子力学（非相对论量子力学）。
量子力学的第三层次，对应为物理系研究生阶段的高等量子力学，量子场论引论。高等量子力学很大程度上是在重复初等量子力学，但更强调对称性的观念，更强调形式理论，散射往往在初等量子力学中未得到充分讨论，这个应在高量中补上。相对论性量子力学往往是被忽视的，这个也应在高量课程中予以介绍。高等量子力学的学习会自然地导向量子场论（或量子多体理论），作为引论的量子场论（或量子多体理论）应当学习“正则量子化、路径积分量子化和费曼图”等，目的是为学习更加专门的场论技术打下基础。
第一层次应引导学习者阅读最新的科学新闻，检验自己获得的这些基本概念是否对我们理解每天都在发生的科学进展有所帮助。第二层次应引导学习者阅读一些经典的文献或英文原版教材，如D J Griffiths和J J Sakurai的教材等，以获得进一步学习量子力学的扎实基础。第三层次的学习应引导学习者阅读最新的研究文献，以检验自己是否能够读懂研究前沿的部分文献，并发展自己的研究兴趣，知道如何补足自己技能上的缺陷。
第一层次的学习，假设需要30学时；第二层次的学习，假设需要62学时；第三层次的学习，假设需要72学时。
第一层次，可冠名为量子物理引论（30学时）
第1讲：原子的概念
第2讲：行星模型，光谱现象
第3讲：黑体辐射
第4讲：狭义相对论初步
第5讲：光的粒子性，X射线
第6讲：玻尔模型
第7讲：波粒二象性，测不准原理或不确定关系
第8讲：薛定谔方程，无限深势井等可以严格求解的问题
第9讲：氢原子的量子力学解，角动量的经典模型
第10讲：量子力学+相对论，KG方程，自旋，S-G实验，Dirac方程
第11讲：全同粒子，经典可分辨，交换对称性，玻色子和费米子，泡利不相容原理，多电子原子
第12讲：氢分子模型，磁性的起源，海森堡模型
第13讲：半导体，费米面，玻色凝聚
第14讲：经典和量子的对应，费曼路径积分
第15讲：粒子物理初步
可以进行的Project：主要是物理学史方面的，考察量子力学诞生和量子场论诞生时科学家们碰到的概念困境及各种奇怪的想法。
典型教材：J. Berstein等《近代物理学，Modern Physics》（http://item.jd.com/10124638.html），不可能全讲，估计只能讲1/3左右。费曼讲义（3）可作为参考。
第二层次，可冠名为量子力学（62学时）
第1讲：波函数，希尔伯特空间中的一个向量，狄拉克记号，波函数的归一化（箱归一化）
第2讲：态迭加，狄拉克（德尔它）函数
第3讲：薛定谔方程，定态SE，一维定态的性质
第4讲：线性谐振子和厄米多项式
第5讲：有限高势井
第6讲：一维散射问题：一般原则和简单例子
第7讲：继续一维散射问题：稍微复杂点的例子和应用等，散射矩阵及其光学类比
第8讲：算符：厄米共轭，厄米算符，对易子
第9讲：算符的函数，平移算符
第10讲：本征值问题，共同本征值，测量，波包坍缩
第11讲：表象理论，表象变换
第12讲：海森堡绘景和薛定谔绘景
第13讲：线性振子的占有数表象
第14讲：继续线性振子的占有数表象，真空能，Casimir效应
第15讲：对称性，对称变换
第16讲：电子在磁场中的运动，正则量子化，AB效应
第17讲：轨道角动量的本征值问题，偏微分方程法，
第18讲：轨道角动量的本征值问题，代数法及相关代数关系
第19讲：中心力场问题，复习一些数理方程相关知识
第20讲：结合氢原子，中心力场问题，轨道磁矩
第21讲：自旋的泡利矩阵表示，含自旋的波函数，自旋在磁场中进动
第22讲：自旋单态，自旋三重态，角动量相加
第23讲：非简并定态微软
第24讲：绝热近似和Berry相
第25讲：简并定态微软，变分法
第26讲：相互作用绘景，含时微扰
第27讲：跃迁几率，偶极近似，选择定则
第28讲：自发辐射的爱因斯坦理论，激光
第29讲：自旋轨道相互作用，塞曼效应
第30讲：散射：分波法
第31讲：散射：玻恩近似，复习和杂七杂八的补充
第三层次A：高等量子力学（36学时）
第1讲：复习量子力学的基本假设，基本概念
第2讲：平移操作和动量，谐振子的相干态
第3讲：路径积分，概念
第4讲：路径积分，一些计算
第5讲：转动操作和角动量
第6讲：欧拉角，SO(3)，SU(2)
第7讲：密度矩阵，混合系综，纯系综
第8讲：角动量相加
第9讲：施温格振子法
第10讲：贝尔不等式
第11讲：对称性与守恒律，分立的对称
第12讲：时间反演对称
第13讲：李普曼-施温格方程
第14讲：玻恩近似，光学定理，准经典近似
第15讲：全同粒子散射，含时散射的形式理论等
第16讲：狄拉克方程
第17讲：狄拉克方程的解
第18讲：复习和杂七杂八的补充
第三层次B：量子多体理论（36学时）
第1讲：经典场论到场的正则量子化（二次量子化）
第2讲：路径积分，高斯积分，传播子
第3讲：费曼图，施温格方式和维克方式
第4讲：费曼图，以phi^4为例
第5讲：狄拉克场，正则量子化
第6讲：狄拉克场，Grassmann积分
第7讲：零温格林函数，莱曼表示
第8讲：维克定理和费曼图
第9讲：有限温度格林函数，松原函数
第10讲：有限温度的费曼图
第11讲：推迟和超前格林函数
第12讲：图形的部分求和，平均场近似
第13讲：无规相近似，阶梯近似等
第14讲：磁性，截断近似等
第15讲：电声子相互作用，BCS超导理论等
第16讲：线性响应，输运
第17讲：拓扑序等
第18讲：复习和杂七杂八的补充
以上是我在学校讲授量子力学的纲要，如果是针对普通公众写的话，应该是以前两层次为主的。具体提纲还需要再琢磨琢磨。欢迎批评和建议。
请继续支持我的“寻找100个小伙伴，每人100元，众筹万元写一本给你的量子力学讲义”计划
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