qgas 谐振势沿三个坐标轴的角频率 , 有外势存在时 ,粒子在空间的分布不均匀, 将空间分成许多小格. 同一格中外势可看作常

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谐振势约束的情况
现考虑一约束在谐振外势
V
(
r
)
=
1
2
m
(ω
2
x
x
2
+
ω
2
y
y
2
+
ω
2
z
z
2
中的弱相互作用费米气体 ,式中 x , y 和 z 为粒子的
位置坐标 ,
ω
x
,
ω
y
和
ω
为谐振势沿三个坐标轴的角
频率.
z
当有外势存在时 ,粒子在空间的分布是不均匀
的 ,粒子数密度 n 是空间位置 r 的函数. 若系统的粒
子数足够大 ,粒子的能级间隔远小于粒子的动能 ,我
们可以将空间分成许多小格. 同一格中外势可看作常
数 ,因而每个小格可视为一个含有大量粒子数的均匀
子系统 ,在 r 处小格内的粒子数密度 n
(
r
)
也为常数 ,
称为局域密度. 这样的理论处理方法称为局域密度近
似. 从已有的实验数据发现 ,对于粒子数足够大的宏
观系统 ,局域密度近似是一种很好的近似方法
由统计物理知识可知 ,处于外势中的非均匀系
统达到平衡时 , 系统的化学势应该处处相等
, 且
可表示为
式中
μ
in
μ
=
μ
in
) (
21
)
[29 ,30]
[ 29 ]
[ n
(
r
)
] + V
(
r
)
,
(
22
)
[ n
(
r
)
] 为 r 处的“内化学势”,在局域密度
近似下它等于无外势时密度为 n
(
r
)
的均匀费米系
统的化学势.

在无外势的情况下 ,若只计及二体相互作用
的 s 波散射 ,相互作用使得系统的化学势和内能发
生变化 ,但不影响定容热容. 粒子间的相互作用仿佛
使得每个粒子本身浮在一均匀势的平台上 ,它所引
起的化学势和内能的变化量与温度无关. 这一结果
不难理解 ,因为相互作用对系统影响的大小主要取
决于粒子数密度和散射长度. 对于处在一定体积中
通过刚球势发生相互作用的费米子气体 ,这两者随
温度的变化都很小. 对于约束在谐振势中的费米系
统 ,情况则有所不同. 此时粒子间的相互作用不但影
响化学势和总能 ,还使得系统的热容发生变化. 相互
作用对各热力学量的影响与温度有关 ,且在低温区
的影响较高温区显著. 这一结果的物理意义也是明
显的. 从
(
26
)
式可知 , 对于约束在谐振势中的费米
子 ,温度的变化将直接影响粒子数密度在空间的分
布. 在低温区 ,粒子热运动的动能较小 ,外势的作用
使得粒子较集中地分布在外势中心 r = 0 附近 ,从而
使得相互作用所带来的影响较大 ;在高温区 ,粒子热
运动加剧 ,其在空间的分布趋于分散 ,因而使得相互
作用的影响较小. 从图中还可看出 ,在任何温度下 ,
排斥相互作用
(
a > 0
)
总是使得系统的化学势和内
能增大 ,而吸引相互作用
(
a < 0
)
总是使得化学势和
内能减小. 然而相互作用对热容的影响则在不同温
区呈现不同的特征. 在低温区 ,排斥
(
吸引
)
作用使得
热容增大
(
减小
)
;而在高温区 ,排斥
(
吸引
)
作用使得
热容减小
(
增大
)