H amilton01 J 为最近邻自旋之间的交换参量 横场 Ising 模型 量子相变和量子临界现象

http://210.26.24.9/default/jpkc/wangwenze/jiaoxuesucai/keweiyueduziliao/whl4.pdf


量子相变和量子临界现象
金国钧
*
, 冯  端
( 南京大学固体微结构国家重点实验室和物理系, 南京 210093)
摘要:
 本文综述凝聚态物理学中的量子相变和 量子临 界现象, 首先 考察了 相变中 存在量 子效应 的可能性 , 通 过
横磁 场 Ising 模型介 绍了量子相变的基本特征; 接下来对照热临界现象, 引入了量子标度和 量子重正 化的基本概 念
和操 作方式; 然后利用量子临界现象的方案, 分析了密度驱动、无序驱 动和关联驱 动的金属2绝 缘体相变; 继续利 用
量子临界性的概念探讨如重电子化合物、铜氧化 物和巡游铁 磁体这 类复杂的 相互作 用多粒 子系统; 最后 选择量 子
点、碳纳米管和单层石墨为例, 介绍了量子临界性在低维和纳米系统研究中的作用。

横场 Ising 模型
横磁场中的 Ising 模型是演示二级量子相变的
最简单的模型。de Gennes 是第一个在赝自旋图象下
将这种模型引进来研究在一些双势阱中铁电系统的
无序 2 有 序 转 变 问 题 的, 比 如 对 磷 酸 二 氢 钾
( KH
2
PO
4
或 KDP)
[ 15]
。其 H amilton 量为
H= - J
E
i
S
z
i S
z
i+ 1 - H
E
i
S
z
i - #
E
i
其中 J 为最近邻自旋之间的交换参量, H 为沿 z 方
向的磁场, # 为垂直于 z 方向的横场。
由( 6) 式所描述的模型是经典 Ising 模型的一个
重要的推广
[ 16]
, 通过横场或是隧穿项提供了量子涨
落。当处在有限的转变温度时可以发现, 这时的临界
行为不受横场量子效应的影响, 这点与经典的 Ising
模型是相同的。但是当 T = 0时, 横场在临界值 #c 处
会驱动相变。这种量子相变是由于系统基态的剧烈
改变而造成的。在 T = 0, 当 # y #c 时系统的临界行
为与 T X 0 时经典的临界行为是完全不同的。例如,
经典的一维 Ising 模型不存在相变, 但我们 可以发
现, 横场 Ising 模型在 T = 0 时是存在相变的, 而且
可以 精 确 求 解。Pfeut y 提 供 了 一 个 早 期 的 理 论
处理
[ 17]
。
我们考虑( 6) 式中 H = 0 和 J 取固定值的最简
单情况。从物理的角度来说不难证实, 在 T = 0 时有
两个平凡不动点: 一个不动点是 # = 0, 此时系统存
在长程磁有序, 序参量3S
z
4 > 0; 另外一个不动点在
#= ] 处, 由于横场的存在而破坏了长程磁有序, 此
时序参量3S
z
4 = 0。取值为 # = 0 和 # = ] 的稳定
不动点分别是有序相和无序相的吸引子。因此我们
可以认为, 如果调节 #, 在临界值 # = #c 处, 存在从
有序相3S
z
4 > 0 到无序相3S
z
4 = 0 的零温相变。在
#c 附近时, 与热临界现象类似, 我们可以找到一组
用来描述量子临界点( QCP) 的临界指数。Her tz 在
其经典论文中提出和推广了许多有关量子临界现象
的重要概念和方法
[ 18]


主要内容为正在撰写中的5凝聚态物理学6下卷
的一章。作者深感这一主题在凝聚态物理学发展中
的重要性, 故将其整理后先期发表, 以促进学术界的
重视。量子相变和量子临界现象涉及到凝聚态物理
学中宽广和深刻的物理内容, 要对其作恰到好处的
介绍, 将受限于作者的能力和 水平, 希 望读者批评
指正。
1  量子相变
从微观角度来看, 一个系统的量子相变是指在
零温下由这个系统的 Hamilt on 量中的参数改变而
引起的相变。当跨过临界点时, 量子力学的基态发
生改变。和有限温相变相比, 零温相变主要是以量
子效应为中心的。在大 量为人们所熟 悉的热相变
中
[ 9 ]
, 序参量本身可以是量子的, 比如在超导或者超
流的情况, 但是对相变相关的长波行为起主导作用
的还是序参量的经典热涨落。
1. 1  量子效应和相变
在极低温下一些物理系统的相变过程中量子性
质不能被忽视。量子相变经常被称作零温相变, 但
也许有人会争辩说, 这种认识是一个受限制的和不
完整的观点。低温甚至零温下的相变可以是量子的
326
物  理  学  进  展 第 29 卷 
也可能是经典的, 这取决于量子关联和经典效应那
个更占主导地位
[ 6]
。事实上, 零温极限本身并不保
证相变的量子效应。进一步讲, 由于零温的不可达
到性, 零温下非热变量的变化引起的相变并不能在
真实的实验中被观察到。但是, 低温以及极低温相
变可以在实验上被观察到, 并能为零温临界现象这
一渐近极限提供信息。统计物理学中一些基本模型
的标度行为并不在零温极限显示量子效应, 而是仍
遵循经典临界行为的判据。这在一些发生相变的特
定区域是合理的, 也就是说, 标度方程在零温极限的
表现本身并不保证相变性质的量子效应。
在热临界现象中
[ 10~ 12]
, 一个非常重要的物理量
是热涨落的关联长度,
N( T) = N0 | S( T ) |
- M
( 1)
其中 | S( T) | = | T - T c | / Tc 定义了相变现象发生
的临界点邻域, M是临界指数, N0 是所谓的零温关联
长度。我们必须记住, 关联长度 N( T ) 仅描述经典现
象。长度 N0 并不是一个普适量, 只能在具体的凝聚
物质系统中被确定; 但值得强调, N0 依赖于系统的内
禀参数, 特别是临界温度 T c。
为了刻画多粒子系统的量子效应, 我们可以利
用 de Broglie 热波长
K( T ) =
2Ph
2
其中 K0 = ( 2Ph
2
2
/ mkB )
mkBT
H
2
H
= K
0
T
- H
, 而 H是热波长指数。通常情
况下, H= 1/ 2, 但是为了包容所有可能的量子统计
模型, 我们仅假定 H> 0。后面我们将看到, H= 1/ z,
其中 z 是一个系统的动力学临界指数
[ 13]
。参数 m 可
以表示单个粒子的真实质量或者是每个包含相互作
用的复合粒子的有效质量。
如果注意到, 波函数的交叠会对相变点附近的
热力学以及相关性质带来量子效应的影响, 可以建
议一个判据
D=
K
N
> 1 ( 3)
在平衡相变点 T c 附近, 满足( 3) 式的相变可以被称
作量子相变。这个判据最早是由 Suzuki 提出的
。
这个判据与文献[ 9] 中为推导量子简并温度所使用
的条件类似, 那时要求热波长 K超过平均粒子间距
a 。实际上, 这里 的判据是 一个基 本观念 的直接 结
果。这个基本观念认为, 相变是一种宏观合作现象,
而在尺度小于经典涨落的关联长度 N的范围内发生
的现象是不相关的。只有判据( 3) 式在临界点邻域
( 2)
[ 14]
被满足, 量子临界的渐近行为才会发生。判据( 3) 式
给出了发生量子相变的必要且充分条件。
量子临界现象, 或者说/ 相变点邻域0 的量子效
应, 大量地在凝聚物质系统中出现。当转变温度 Tc
> 0, 根据( 1) 式和( 2) 式, 在 T y T c 时, N y ] , 但
是 K仍然是有限的。所以临界点 T c 的邻域( | S| y
0) 总是表现出经典行为。利用判据( 3) 以及( 1) 和
( 2) 三个表达式, 可以很清楚地看到, 量子临界现象
可以发生, 也就是说量子效应将渗透到有限温度临
界区 | S( T ) | n 1, 只要满足
T c( N0 / K)
1/ M
< | T - T c | n T c ( 4)
对于 Tc > 0 时, 这个条件被很好地定义, 也可延伸
到零温极限 T c y 0, 只要同时有 T y 0, 以使 | S| n
1 得到保证。很明显, 如果
N
0
( T
c
) < K( T) ( 5)
由( 4) 式定义的相变区的量子部分是存在的。这个
条件可以被写成 T
H
< K0 / N0 ( Tc ) 的形式。
我们已经注意到, 依赖于一个特定系统的非普
适性质, 其低温临界行为可以是量子的或经典的。一
般而言, 我们可以假定, 经典高温、经典低温和量子
的临界性质构成了临界行为的三种类型。这三种临
界现象类型决定于热波长 K由高温下 K< N变到足
够低温下 K> N时, 至少有一些临界性质的改变, 反
之亦然。特别是存在经典( D< 1) 和量子( D> 1) 的
渡越, 这种渡越描述了经典高温现象和 T y 0 时量
子临界现象的不同。
根据前面的讨论, 对于任意物理系统或统计模
型, 我们至少有两个参量去控制它们的相变。一个是
温度 T, 另一个是非热量, 这里用 X 表示。因此, 我们
必须记得, 描述关联长度 N仅依赖于温度是不完全
的, 事实上它也依赖于参数 X, 所以 N= N( T , X) 。热
力学量以及其它的相关量对 X 的依赖性必须像对T
的依赖性一样被考虑进去。原因是, 出现在 T
c
( X)
或者等价地 Xc( T ) 的相 变可 在固定 的 X 下 改变
T ( T2 驱动相变) 或者是固定的 T 下改变 X( X2 驱动
相变) 来得到。
一般来说, X 驱动相变的性质和 T 驱动相变的
性质有很大的不同, 但存 在着相应的可类比性。在
( 4) 和( 5) 式中, 用 X代换T 以及X c 代换T c, 我们可
以根据变量 X 做唯像的分析。这种分析直接得出关
联长度 N( T, X) 的标度关系形式, 这和在高温区且
X ~ 0 时与 T 相关的相变是一样的。仅有的差别是,
描写对于 S( T) 和 „S( X) 的标度关系的临界指数大小
327
 第 4 期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象  
一般是不同的。没有理由可以假定, 在考察 S( T) 和
„S( X) 的渐近行为时指数应该相等。当然符合 T \
X 对应的标度关系中的一致性是存在的。不过, 除了
非常特殊的情况, 我们也不能指望完全的对应关系,
包括各自的临界指数以及标度振幅, 特别是热波长
K( T) , 对 X 驱动相变并没有类比物。
1. 2  横场 Ising 模型
横磁场中的 Ising 模型是演示二级量子相变的
最简单的模型。de Gennes 是第一个在赝自旋图象下
将这种模型引进来研究在一些双势阱中铁电系统的
无序 2 有 序 转 变 问 题 的, 比 如 对 磷 酸 二 氢 钾
( KH
2
PO
4
或 KDP)
[ 15]
。其 H amilton 量为
H= - J
E
i
S
z
i S
z
i+ 1 - H
E
i
S
z
i - #
E
i
其中 J 为最近邻自旋之间的交换参量, H 为沿 z 方
向的磁场, # 为垂直于 z 方向的横场。
由( 6) 式所描述的模型是经典 Ising 模型的一个
重要的推广
[ 16]
, 通过横场或是隧穿项提供了量子涨
落。当处在有限的转变温度时可以发现, 这时的临界
行为不受横场量子效应的影响, 这点与经典的 Ising
模型是相同的。但是当 T = 0时, 横场在临界值 #c 处
会驱动相变。这种量子相变是由于系统基态的剧烈
改变而造成的。在 T = 0, 当 # y #c 时系统的临界行
为与 T X 0 时经典的临界行为是完全不同的。例如,
经典的一维 Ising 模型不存在相变, 但我们 可以发
现, 横场 Ising 模型在 T = 0 时是存在相变的, 而且
可以 精 确 求 解。Pfeut y 提 供 了 一 个 早 期 的 理 论
处理
[ 17]
。
我们考虑( 6) 式中 H = 0 和 J 取固定值的最简
单情况。从物理的角度来说不难证实, 在 T = 0 时有
两个平凡不动点: 一个不动点是 # = 0, 此时系统存
在长程磁有序, 序参量3S
z
4 > 0; 另外一个不动点在
#= ] 处, 由于横场的存在而破坏了长程磁有序, 此
时序参量3S
z
4 = 0。取值为 # = 0 和 # = ] 的稳定
不动点分别是有序相和无序相的吸引子。因此我们
可以认为, 如果调节 #, 在临界值 # = #c 处, 存在从
有序相3S
z
4 > 0 到无序相3S
z
4 = 0 的零温相变。在
#c 附近时, 与热临界现象类似, 我们可以找到一组
用来描述量子临界点( QCP) 的临界指数。Her tz 在
其经典论文中提出和推广了许多有关量子临界现象
的重要概念和方法
[ 18]
。
从量子力学的本质上来看, 量子相变是由决定
S
x
i ( 6)
系统性质的两个不对易算符间的相对强度变化而导
致的。实际上, 可以预计到, 对于现在的模型, 量子相
变是由横场 # 与交换参量 J 之间的竞争引起的。因
此, 考虑使用比率 #/ J 来描述零温时从有序相3S
4
X 0 到无序相3S
z
4 = 0 的转变是合理的。从重正化
群理论的观点来看, 相变与在 #/ J = ( #/ J ) c 下不稳
的零温不动点的存在是有关系的。联系于量子临界
点, 我们可以找到一组临界指数来描述不同的物理
量在相变点的奇异行为。通过重正化群变换, 我们还
可以得到在前面已提到的两个不动点分别处于 #/ J
= 0 和 #/ J = ] 的结果。
横场中的 Ising 模型可以由实验来证实。一个典
型的材料是离子晶体 LiHoF
4
。这种稀土绝缘体的低
温磁性质在微观尺度下已经被研究得很清楚。最显
著的特征是, 在温度低于 2 K 时系统中只有处于+ 3
价的 Ho 离子上具有自旋自由度, 同时近邻的 Ho 离
子之间的自旋通过磁偶极相互作用发生耦合。这些
自旋的方向通常与晶轴的方向一致, 指向只有向上
和向下。这种在格点上的自旋排布可以由 Ising 模型
来描述。在没有外磁场的情况下, 系统的基态是充分
极化的铁磁相: 所有的自旋都向上或都向下。
图 1 是关于 LiHoF
4
磁性质的实验测量结果的
示意图, 其中坐标分别为温度 T 和磁场强度 #。有序
相在有限温相变线以内。这条线终结于量子相变点,
在量子相变点处铁磁序仅由量子涨落来破坏。在无
外磁场、零温时, 系统将是完全的有序相, 而在有限
温时将会出现少量的自旋发生反转。也就是说, 如果
晶体在绝对零度时所有的自旋都向上, 热涨落将会
引起一些自旋的反转而向下, 反之亦然。随着温度的
升高, 少数自旋的数目会增多, 直到自旋向上与向下
的数目相同。这是传统的由热涨落引发的二级相变
图 1  关于 LiHoF
的温度与横磁场的实验测量相图。引
自文献[ 19]
4
z
328
物  理  学  进  展 第 29 卷 
过程。对于 LiHoF
4
, 发生铁磁相向顺磁相的转变的
临界温度大约为 1. 5 K。
LiHoF4 的一个新奇的性质是可以通过调节一
个完全不同的参量来破坏铁磁有序性, 甚至在绝对
零度下这种铁磁有序性的破坏也是可能的。当外场
# 与 Ising 自旋方向以一个直角作用时, 量子隧穿效
应就发生在自旋向上和自旋向下态之间。如果外场
超过临界值 #c( 在 LiHoF4 中大约 50 kOe) 时, 这种
量子隧穿就会频繁发生, 甚至在绝对零度下, 都足以
使得系统的基态成为顺磁相。也就是说, 仅由量子涨
落效应引发相变是可能的。然而, 与先前研究的热相
变不同, 不能认为顺磁相是在真实的时间下发生的
自旋向上和向下态之间的涨落; 实际上系统的基态
波函数是特殊的一个由自旋向上和向下态叠加的量
子相干态。这种量子顺磁相的性质是容易理解的。
我们自然会问, 在 # 和T 同时取非零值时, 系统
的行为是什么样的。零场的经典相变点和零温的量
子相变点是由一条区分铁磁相和顺磁相的二级相变
曲线连接起来的。热顺磁性和量子顺磁性两者的动
力学特性是完全不同的, 但是这两者所处的相图区
域仍然是连续的而且也不存在 任何的热力学 奇异
性。取而代之的是平滑的贯穿其间的/ 量子临界区0
的渡越。在后面我们还将对量子相变的相图做更详
细的讨论。
1. 3  横场 Ising 模型的平均场处理
对横场 Ising 模型的最简单处理是采用平均场
方法
[ 16]
。我们首先 研究不加沿 z 方向 的外磁场 的
Hamilt on 量 的基 态。在 半经 典近似 下, 我 们可 以
写出
S
z
i
= ScosH, S
x
i
= SsinH
这里 H是自旋偏离 z 轴的取向角。若以 p 代表配位
数, 则单格点的能量可以写成如下形式
E = -
pJ
2
S
2
cos
2
H- #SsinH ( 7)
为方便, 取自旋 S = 1, 我们可以找到能量最小值, 由
sinH= #/ pJ ( 8)
确定。从这个条件我们能够看到, 如果 # < pJ , 基态
是部分极化的, 即当 # X 0 时, 3S
z
4 和3S
x
4 两者都不
是零; 但当 # \ pJ , 它沿 x 方向极化, 即3S
4 = 1 和
3S
z
4 = 0。因此, 当 # 从 0 增加到 pJ , 系统经历一个
从铁磁相(3S
z
4 X 0) 到顺磁相( 3S
z
x
4 = 0) 的转变。
为了研究处在有限温的横场 Ising 模型的行为,
和热相变相似, 我们通常用平均场的方法处理。利用
平均场近似, 我们可以把外磁场为零时的( 6) 式中
的 Hamilt on 量写成
H= - pJ 3S
z
或者等价地写成
H= - Heff #
4
E
i
S
z
i - #
E
i
E
i
S
x
i ( 9)
Si ( 10)
这里 Heff = #i + pJ 3S
+ S
z
i k 是总自旋矢量。
z
4k 是一个有效场, 而 Si = S
把( 9) 式对角化, 我们能够找出平均到每个座
位的能量本征值
E = ? p
2
J
2
3S
z
4
2
+ #
2
( 11)
还有平均磁化强度沿 z 方向分量的自洽方程
3S
z
4 =
pJ 3S
4
p
2
J
2
3S
z
z
4
2
以及沿 x 方向分量的方程
3S
x
4 =
#
p
2
J
2
3S
z
4
2
+ #
+ #
2
2
tanh
p
t anh
p
2
2
J
J
当 T = 0 时, 磁化强度的自洽方程可以简化为
3S
3S
z
4 =
pJ 3S
x
4
p
2
J
2
3S
4 =
#
p
2
J
2
3S
z
z
4
z
2
4
+ #
2
+ #
2
2
2
,
2
3S
z
4
2
+ #
kBT
( 12)
3S
z
4
2
+ #
kB T
( 13)
从( 14) 式的第一 个零温方程得到在临界比值
( #/ J ) c = p 附 近消 失 的磁 化强 度 m = 3S
4 W
| g |
1/ 2
, 这里约化参数 | g | = | ( #/ J ) - ( #/ J ) c | 度
量了在参数空间里偏离临界点的大小。在零温相变
下, 序参量的指数也被确定为平均场的值 B= 1/ 2。
当( #/ J ) > ( #/ J )
c
时, 存在一 条有限温度 的失稳
线, 这 时 m 消 失。这 条 线 接 近 零 温 临 界 点 时 由
T c W| g |
1/ 2
给出。它定义了移动指数, 也取平均场
的值 W= 1/ 2。我们很容易验证, 对于上面所作的近
似, 无论是零温还是有限温, 所有的临界指数在两种
状况下的结果都是和平均场一致的。
从( 12) 和( 13) 两式的自洽解, 我们能够得到图
2 所示的平均场下的相图。在 T = 0 时, 我们可以确
定 #c = pJ 。对于 # < pJ 的情况, 铁磁有序状态出
现, 即3S
z
4 X 0; 当 # \ pJ 时, 铁磁序消失, 即3S
4
= 0。从( 12) 式, 热相变点由下式
tanh
#
kBT
=
#
p J
z
2
2
x
i i
( 14)
z
( 15)
329
 第 4 期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象  
图 2  在平均场近似下, 平均磁化强度对 温度的依 赖关系。
引自文献[ 20]
确定。利用 T = 0 的情况, 我们同样可以证实 #c =
pJ 。应当指出, 一维横场 Ising 链的量子 H amilton 量
能够被精确求解。从精确求解得到的临界值是 #c =
J , 而平均场理论对一维近邻相互作用链的 #c 给出
了过高的估计, 即 #c = 2J 。
1. 4  相图
现在已经清楚, 本质上来讲, 量子相变是零温下
由调节非热参量如压强、成分或磁场来实现的, 并能
在很宽的参量范围内影响凝聚态物质的性质。这些
相变 是 基 态 竞 争 的 结 果。 序 只 是 被 来 源 于
Heisenberg 不确定性原理的量子涨落所破坏。
为了研究量子相变, 我们还必须知道系统的低
能激发。当然, 量子临界行为在零温之上甚至到达室
温都可能被很好地观察到。一旦一个系统的量子临
界点被确定, 它就能作为一个出发点去探索整个相
图。图 1 和 2 分别显示了通过实验测量和平均场计
算得到的 Ising 系统的简单相图。这里我们将讨论存
在量子相变的相图的一般特征。
也许有人会问, 什么时候量子力学效应会影响
渐近的临界行为。一般而言, 只要温度低于所研究系
统的某个特征能量, 量子力学效应就会变得重要起
来。为从 k 1. 1 作进一步的讨论, 我们另外比较两个
能量尺度, 一个是 长距离序 参量 涨落的 典型能 量
h
2
Xc , 另一个是平均热动能 kB T 。h
2
Xc 联系于典型的涨
落时间尺度 tc , 即对应于动力学的驰豫时间, 可以合
理地写成
h
2
Xc W| S|
Mz
( 16)
这里 S 是约化温度。这个典型的频率标度行为在接
近连续相变点时趋于零。当h
2
Xc > kB T 时, 量子力学
效应变得重要; 反过来, 当h
2
Xc n kB T 时, 纯经典处理
就可以应用于描述序参量涨落。
对于任何发生在某个有限温度 Tc 下的相变, 当
| S| < T
1/ Mz
c 时, 量子力学变得不重要, 换句话说, 接
近转变点的临界行为是完全经典的。这等于说明了
所有有限温度下的相变都可以被认为是/ 经典的0。
量子力学在微观尺度上仍然是重要的, 但在宏观尺
度上经典热涨落占统治地位, 并控制了临界行为。受
非热参量 X 如压强或磁场的影响发生在零温的相
变, 其行为大多数由量子涨落控制。结果是零温下的
相变被称为量子相变。
在低温下, 存在量子 2 经典渡越现象。当温度固
定, 而 X 逼近于 Xc( T) 时, 临界行为从经典变为渐
近量子形式。如图 3 所 示, 利用改变非热参量如压
强、磁场、杂质浓度, 临界线 T c ( X) 从低温区延伸到
零温临界点 T c( Xc) 。
图 3 量子相变点附 近的示意 性相图。垂直轴 T 表示温 度;
水平轴 X 代表控制参量, 被用于调节系统通过量子临
界点
在临界温度 T
c
附近, 相变现象发生, 对 Gibbs
自由能利用序参量 <( r ) 作幂级数的 Landau 展开是
正确的。临界温度的邻域既包括平均场的范围, 又包
括在非常靠近 T c 的强涨落的 Ginzbur g 临界区域。
在 T c 附近, 热涨落和有序化发生, 此时它被称为/ 经
典相变区0。在相变区域的某子域, 量子涨落对相变
性质有关键性影响, 则此子域称为/ 量子相变区0。这
里我们将用/ 量子临界现象0 来说明量子效应渗透
于整个 g n 1 的相变区域。
经典和量子涨落的交互作用产生很有意思的相
图, 如图 3。图中以纵轴代表温度T , 横轴代表调节系
统跨越量子相变点的参量 X, 实线标记了有限温度
下有序相和无序相之间的边界。一个真实的相变可
以在低温下利用改变 X 而出现。量子相变点可看作
是有限温度相变线的终点。经典涨落将在有限温度
330
物  理  学  进  展 第 29 卷 
相变的边界附近占主导地位, 但随着温度降低, 经典
临界区会变得越来越窄, 甚至有可能在实验中观测
不到。在高于量子临界点的有限温度, 虚线代表了令
人关注的量子临界区域的边界, 在该区域内, 起主导
作用的临界奇异性可以被观测到。
根据其行为是由序参量的热涨落还是由量子涨
落所控制, 我们通过两条虚线区分三个不同区域。在
热无序区, 长程序主要被热涨落所破坏。作为对比,
在量子无序区, 物理性质主要由量子涨落支配, 系统
行为本质上与 X > Xc 的量子无序基态相类似。在两
者之间就是所谓的量子临界区域, 两种涨落在其中
都起到重要作 用。其边界 是由 条件 kBT > h
2
Xc W
| X - Xc |
Mz
确定。调节参量 X 使系统趋于临界区,
而热涨落使其远离临界区。因此, 量子临界区的物理
性质由量子临界基态的热激发控制, 但与传统的准
粒子激发是不同的。这导致量子临界区反常的有限
温性质, 如铜氧化物超导体在正常态的电阻率表现
出线性温度依赖关系, 这是明显的非 Fermi 液体行
为
[ 21]
。当关联长度远大于微观尺度时, 普适行为可
以在量子临界点附近被观察到。
顺便说, 虽然在低温下实际材料中, 一级相变是
频繁发生的, 但是一级相变中的量子相变还很少被
研究, 也很少有结果能用上。大致来说, 在一级相变
或非连续相变的平衡点, 有序化和热涨落出现有限
的长度尺度, 往往标度方法不可行, 所以量子涨落在
一级相变中比在连续相变中有更强的效应。我们这
里只讨论连续量子相变。
2  量子标度和重正化
在一个系统的量子相变点附近, 其相关物理性
质是问题中某些独立变量的齐次函数, 这时就表现
出标度行为。这是人们在研究热临界现象时发展的
标度理论的推广
[ 4]
。对于量子临界性, 可以通过考察
特征长度及特征时间的存在性来研究其标度行为,
而且在量子临界点附近应该有一组标度变换。临界
点决定着相变的不稳不动点。与不稳不动点有关的
几个临界指数规定了相变的普适类。这些临界指数
描述了一个多粒子系统在零温附近的关联长度、磁
化率和临界慢化等物理量的发散特性。临界指数的
确定依赖于重正化群方法。
2. 1  临界指数
在二级相变点的邻域, 无论是在有限温或零温,
一些物理量表现出由临界指数表征的非解析的或发
散的幂次关系。这些指数并非完全独立, 而是满足标
度关系, 这对热临界现象和量子临界现象都是如此。
为了研究靠近零温不动点的标度性质, 我们一
般可以采用 X- Xc, 或无量纲的约化参量 g = ( XXc
) / Y, 来度量离开参量空间中量子临界点 Xc 的距
离。X 和 Y可以用系统中不同的实际参量来代替。为
方便, 我们通常使用磁结构中的 # 和 J 。于是, 临界
指数可以按照以下的方式来定义。
如果我们固定交换参量 J , 则基态能量密度的
奇异部分可以用来定义第一个临界指数 A, 即
f s W| # - #
2- A
c ( 17)
第二个临界指数 B决定于磁化强度与横场的关系,
m= 3S
z
4 = 5f
s
5H
H= 0
W| # - #c |
( 18)
磁化率与横场的关系决定了第三个临界指数 C,
V= 5
2
f s
5H
2
H= 0
W| #- #c |
- C
( 19)
第四个临界指数 D来自于定义在 # 临界值上的磁场
强度对外场的关系,
m WH
1/ D
, 当 # = #c ( 20)
还有关联长度决定了第五个临界指数 M,
NW| #- #c |
- M
( 21)
十分明显, 当 # y #c 时, N y ] 。
与热临界现象作类比, 也可用约化量 g 代替 S
来一般地定义临界指数 A、B、C、D和 M。也就是, f s W
| g |
2- A
( 替代了比热 c W| g |
- A
) , m W| g |
, V W
| g |
- C
, m( H , | g | = 0) W| H |
1/ D
和NW| g |
。此
外, 动力学关联时间满足
tc W| #- #c |
- Mz
W| g |
- Mz
( 22)
从这些表达式中, 我们得到六个临界指数 A, B, C, D,
M, 和 z。还有另一个重要的指数 G, 它与临界点序参
量关联函数的行为有关。因为关联长度在 #- #c = 0
处发散, 所以系统没有特征长度, 而序参量的关联函
数 G( r ) 以 G( r ) W1/ r
d- 2+ G
的形式随 r 迅速衰减。换
一种方式, 我们可以对 G( r ) 进行 Fourier 变换, 通过
G( k) Wk
2- G
在波矢空间来定义 G。在量子相变的问
题中, G的定义涉及到指数 z , 例如, 在临界点关联函
数应该满足
G( r ) W
1
( 23)
在这里的量子场合, 我们习惯上把加和 d + z 视为有
效维数。
r
d+ z- 2+ G
B
B
- M
331
 第 4 期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象  
就像我们所熟知的热临界现象一样, 以上的临
界指数并非独立的。它们满足四个标度律, 即
A+ 2B+ C= 2 ( 24a)
A+ B( D+ 1) = 2 ( 24b)
A+ Md = 2 ( 24c)
C+ M( G- 2) = 0 ( 24d)
其中第三个标度律, 即所谓超标度关系, 将临界指数
和系统的维数 d 联系起来。可以论证, 在量子相变中
这个标度律必须被修改为
A+ M( d + z ) = 2 ( 25)
这再一次表明 d + z 起着有效维数的作用。
系统的有效维数从 d 变到d + z 反映了空2时的
关联
[ 2]
。这是在量子相变中出现的一个很关键的新
特征。在统计力学里, 通过对空间中粒子的所有可能
组态, 加上 Bolt zmann 因子 exp(- E/ kB T ) 作为权
重, 来求平均, 来得到系统的性质, 其中 E 代表能量,
kB 是 Bolt zmann 常数。这是经典热力学的处理方式。
在量子力学中相似地有量子概率, 它代表一个粒子
在一段时间中通过的所有路径, 以 SchrÊdinger 因子
exp( iE t / h
2
) 作加权平均, 这里h
2
是 Planck 常数除以
2P。发 展一个量 子途径的 统计力 学来理 解量子 相
变, 涉及到组合这两方面的不确定性。令人感到惊奇
的是, Bolt zmann 因子和 SchrÊdinger 因子在形式上
很相似, 这意味着 将两者结合起来 描述是可能的。
SchrÊdinger 因子中的 时间 变量相 当于 Bolt zmann
因子中的h
2
/ k
B
T , 当然两个因子还差个虚数 i 。因此,
一个相变的量子描述和经典描述很相似, 除了空间
中组态变化, 还要加上/ 虚时0。这种量子理论和统计
力学的统一性对于描述临界点有重要的用途, 因为
维数是决定普适类的少数几个因素之一。虚时现在
被看作另一个维度, 它对普适类的影响会改变临界
指数。
2. 2  量子标度变换
理解物理系统在空间和时间维度下的标度变换
性质是量子临界现象理论研究中非常基本的步骤。
原因在于, 当系统靠近量子临界点时, 在空间与时间
中一些自由度关联的区域尺寸增大。这些区域的典
型尺寸和其弛豫时间定义了关联长度 N和弛豫时间
t c。以横场 Ising 模型( 6) 式为例, 在量子临界点, 所
有自旋均是关联的, 具有发散的关联长度, 系统具有
标度不变性。由此可见, 为理解量子临界现象, 有必
要考察互作用、磁场、磁化强度等物理参量在标度变
换下的改变。在描述标度变换下的重正化群这一数
学形式中, 标度不变的量子临界点是与重正化群方
程的不动点相联系的。
当系统靠近量子临界点时, 关联区域里强烈相
互作用的自旋可以被理解为一个新的有效自旋。可
以想象, 强烈相互作用的自旋组成的块被一个新的
有效自旋所代替, 从而系统构成一个新的晶格。接下
来的问题是要寻求有效自旋之间的新的耦合作用以
及对有效自旋作用的新的磁场。与处理热临界现象
一样, 我们标记新晶格上各物理参量带上一撇, 包括
长度标度 Lc, 交换参量 Jc, 外场 Hc, 横场 #c, 以及临
界参量 gc。从旧晶格到新晶格的标度变换下的重正
化需要三个临界指数 w, u 和 v 来描述, 即
Jc = b
- w
J , gc = b
u
g , Hc = b
v
H ( 26)
由于在不动点处, ( #/ J )c = ( #/ J ) , 故 # 具有与J 相
同的指数, 即 #c = b
- w
#
[ 22]
。
量子相变显示了系统基态性质的一种非解析行
为, 可以用一个控制参量 g 的函数来描述。零温下自
由能密度的奇异部分可写为
f s = J f ( | g | , H / J ) ( 27)
f ( x, y) 为一个标度函数。可以合理地假定, 热临界
现象中自由能密度的齐次性条件在量子临界现象中
也是合适的。若选择长度标度的改变为 Lc = L/ b, 新
的自由能密度和关联长度就是
f cs = Jcf ( | gc | , Hc/ Jc) = b
d
f s ( 28)
Nc( | gc | , Hc/ Jc) = b
- 1
N( | g | , H / J ) ( 29)
将前面定义的带撇的各量代入以上两个方程, 可得
f s ( | g | , H / J ) = J b
- ( d+ w)
f b
u
| g | , b
( v+ w)
H/ J
,
N( | g | , H/ J ) = bNc b
u
| g | , b
H / J
由于 b 是任意的, 可取 b
u
| g | = 1, 从而
f s
J
= | g |
N= | g |
( d+ w) / u
- 1/ u
f
1,
H / J
| g |
Nc 1,
H/ J
| g |
( v+ w)
( v+ w) / u ( 30)
( 31)
考虑到零外场下基态能量密度和关联长度的临
( v+ w) / u
界指数的定义, 从上面两个方程得到
M= 1/ u, A+ M( d + w) = 2 ( 32)
其中第二式是量子超标度关系, 将临界指数 M与 A,
系统的维度 d 以及重正化交换参量 J 的临界指数 w
联系在一起。这与通常的有限温临界现象的超标度
关系有本质的区别, 因为这里用( d + w) 代替了 d。
后面我们将证明, w 代表了动力学临界指数, 即 w=
z。另外, 结合( 30) 式和( 18) 式可以得到
332
物  理  学  进  展 第 29 卷 
M( v + w) = B+ C
2. 3  动力学指数的卷入
如前面已经讨论过的, 量子相变的一个主要特
征是热力学因素和动力学因素相互影响。这种相互
影响的结果就是, 一个有限温情况下的 d2 维量子系
统在 T y 0 时可以用( d + z) 2 维的经典系统描述,
其中 z 是动力学临界指数。很明显, 量子相变的重要
特征可以在经典的方式下得到很好的研究。这样我
们需要关心动力学指数 z。对横场 Ising 模型, 动力学
指数可以确认为 z = 1。对 z = 1 的场合可以看出, 用
h
2
/ kBT 作为时间单位, 附加的维度处在有限的范围
内; 只有当 T y 0 的极限, 它是无限大的。一个量子
问题可以类比地用一个( d + 1) 2 维的经典问题进行
计算解决。也就是说, 从具有相同的相变行为来看,
任何一个( d + 1) 2 维晶格的统计问题都可以看成是
一个同构的 d2 维 晶格上的 量子力学 H amilton 系
统, 这额外的一维就是 it , 其中 t 是时间。
关于 d2 维 量子自 旋系 统和 ( d + 1) 2 维经 典
Ising 系统之间关系的早期研究可以追溯到 20 世纪
的 70 年代
[ 23~ 25]
。值得注意, 时间在零温时扮演了极
为基本和关键的角色, 从而静态性质就和动力学性
质耦合起来。如前所述, 可以建立量子力学和统计力
学在数学上的对应, 在这种对应中时间起到了一个
额外维度的作用。这在 Ising 模型中尤其明显, 并能
够推广到其它模型。在统计力学的分析中, 考虑非零
温的效应相当于采用时间维度上有限的尺度。有限
尺寸的标度模型可以用来分析非零温时的数据。非
零温时行为的改变可以是一个相变或渡越。
在零温下, 临界涨落有量子特征。这意味着在图
3 的相图中不同量子态之间的涨落符合 Heisenberg
的不确定性关系。在 k 2. 1 中, 我们已引入量子临界
现象里的标度概念, 并定义了临界指数, 这里我们强
调动力学指数在量子相变中所起的特殊作用。
我们已经遇到了如何确定超标度关系( 32) 式
中的 w 的问题。临界涨落的量子特征使得我们能将
动力学指数 z 和 w 建立起联系。既然在重正化群变
换中, 临界指数 w 决定交换参量 J 和横场 # 的标度
变换, 即 Jc = b
- w
J 及 #c = b
- w
#, 能量应当被扩大 b
倍, 以使 Hamilt on 量 H( gc) 和 H( g) 有相同的能级,
即
Ec = b
w
E ( 33)
另一方面, 在接近零温的临 界点, 时间 t 可以 重标
w
度为
tc = b
- z
t ( 34)
从( 33) 和( 34) 两式可知, 能量涨落和时间涨落可以
作如下合理的标度假设,
$Ec = b
w
$E ( 35)
和
$tc = b
- z
$t ( 36)
我们可以期望, 不确定性关系 $E $t \ h
2
是标度不变
的, 即
$Ec$tc = b
z- w
$E $t \ h
2
( 37)
结果我们必须有
w = z
于是量子超标度关系可以写成( 25) 式。需要注意到
的是, ( 24c) 式中的维数 d 已经由有效维数 d
eff
= d
+ z 所取代。另外, 通过讨论关联函数, 我们可以得
到第四个独立的标度关系
2B= M( d + z - 2 + G) ( 38)
除了 d 被换成 d + z, 这和( 24d) 式是等效的。
维度的移动将对量子相变产生重要的结果。一
方面, 量子系统的指数和对应的维度为 d
eff
= d + z
的经典系统的指数是一样的。在 d = 1 的横场 Ising
模型中, 决定于零温不稳不动点的临界指数为 B=
1/ 8, A= 0, M= 1, 和 C= 1. 75, 这和 Onsager 的二维
Ising 模型的临界指数相同; 另一方面, 既然( d + z)
大于 d, 它就容易达到上临界维数 dc , 这时临界指数
就符合 T = 0 时的平均场理论的计算值了。由于热
相变的上临界维数 dc = 4, 因此对于横场 Ising 模
型, z = 1, 有效维数 deff = d + z = 4 在低于热相变
上临界维数的 Euclid 维数 d = 3 就达到了上临界维
数。
应当指出, 在量子统计动力学中, 静态性质和动
力学性质的耦合将导致量子相变的普适类少于热相
变的普适类。同属于一个经典普适类的系统, 如果它
们有不同的动力学, 就可能显示出不同的量子临界
行为。这和热相变的动力学普适类的结果一致
。
2. 4  与温度有关的标度
因为所有的物理过程都发生在零温以上, 所以
有必要扩展标度性分析到有限但低的温度区域。因
为温度相当于一个能量参量, 它必须被系统的特征
能量如 Ising 模型中的交换参量 J 所重正化, 所以我
们有
( T / J )c = b
z
[ 13]
( T/ J ) ( 39)
333
 第 4 期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象  
这样对温度就像场那样引入了标度的变换。当 z >
0, 重正化群方程的流向总是远离零温不动点, 所以
我们可以说温度是一个相关场。这种情况对于横场
Ising 模型( z = 1) 和许多其它多粒子问题都适用。
现在我们来分析温度是如何出现在标度方程里
的。回到( 30) 和( 31) 式, 同时考虑附加的重正化条
件( 39) 式, 我们发现, 自由能密度和关联长度与温
度的关系为
f s = | g |
2- A
f
H / J
| g |
B+ C
,
T/ J
( 40)
和
N= | g |
Nc
H / J
- M
| g |
B+ C
| g |
,
T / J
| g |
Mz
Mz ( 41)
对于一维横场 Ising 模型我们可以预期, 接近于
零温的不稳不动点时, 一个重正化群方程的展开式
可以写成一个简单的递推关系
K
n+ 1
= K
c
+ b
u
( K
n
- K
c
) ( 42)
它是从充分接近临界点 Kc = ( #/ J ) c 的任意 K 0 =
( #/ J ) 开始作重复迭代。当系统的长度标度通过因
子 b 改变, 在接近临界点时, 这个方程可以在物理上
被看作用来表述横场与交换参量之比的相应变化。
对于有限但低温的情况, ( 42) 式可以推广到包
括 “T 0 = T / J 的最低阶,
Kn+ 1 = Kc + b
其 “T
n
满足
“T
n+ 1
u
( Kn - Kc - “T
= b
z
“T
n
2
n ) ( 43)
( 44)
注意到在 K
n+ 1
的低温展开式中引入了解析的 “T
项
的贡献。从 n = 0 出发, 迭代 n 次, 我们可以得到如下
方程
Kn = Kc + b
nu
( K0 - Kc - a0 “T
2
0 ) + a0 ( b
( 45)
这里 a 0 = 1/ ( b
n
- b
2z
) 。取长度 L = b
n
, 我们最后得
到
KL = Kc + L
u
( K0 - Kc - a 0 “T
2
0 ) + a0 ( L
( 46)
因为 L 是任意的, 我们重复标度过程直到 L
( K0 Kc
- a0 “T
2
0 ) = 1, 这个长度标度定义了关联长度
N=
1
( K0 - Kc - a0 “T
2
0 )
1 / u
W[ # - #c( T ) ]
( 47)
这里使用了关联长度指数 M= 1/ u 以及 #
c
+ ( a
0
/ J ) T
2
nz
z
“T 0 )
“T 0 )
u
- M
2
2
2
( T) = #
c
。
利用 N的表达式, 我们可以求得在长度标度 N时
KN = Kc + 1 + a0
“T
0
[ # - #c( T ) ]
Mz
2
( 48)
从这个表达式我们可以发现, 第三项存在温度依赖
性, 而渡越线可以定义为
T = [ #- #c ( T ) ]
<
( 49)
这里 <= Mz 被称之为渡越指数。在相图的非临界点
区域, 即( #/ J ) > ( #/ J )
c
, 渡越线将 K
N
或者标度函
数 f ( KN) 的行为划分为两个不同的区域。
从有限温关联长度的表达式
N= ( K0 - Kc - a0 “T0
2
)
- M
我们得到在 T2g 相图上临界线的方程, 即 T c 作为关
联长度发散的温度集合。这由方程 K0 - Kc - a0 “T 0
= g( Tc ) = 0 给出, 并导致
Tc W| ( #/ J ) - ( #/ J ) c |
1/ 2
W| g( T = 0) |
( 50)
在这里临界线对于温度是解析的。一般来说, 临界线
是由 Tc = | g |
W
给出, 这定义了移动指数 W。在上面
讨论的例子中, W= 1/ 2。
图 4 给出了对 d > 1 的横场 Ising 模型在 T2g 平
面上典型的相图。箭头表示了重正化群方程的流线
的方向。注意到这个流线总是离开由 T = 0 和 g = 0
表示的量子临界点, 说明这个量子临界点是完全非
稳的。这里还有另一个对于流线方向需注意的特点。
这涉及到沿有限温相变临界线 T c( g ) 的流向。这个
事实表明, 沿这条线的临界行为被标志有限温临界
行为的另一个不动点所控制。
图 4  横场 Ising 模型在空间维数 d > 1 时的相图
标度方法的一个有意义的特征是, 它可以确定
存在临界性时某些物理量随温度变化产生的奇异行
为。沿着临界线, 物理量如关联长度、磁化系数等的
发散性会由一组与量子临界点的临界指数有所区别
的临界指数来控制, 如可标记为 „M、‰C等。于是我们有
两组临界指数, 与量子临界点有关控制零温奇异性
1/ 2
2
334
物  理  学  进  展 第 29 卷 
的指数, 和沿着有限温临界线控制发散的指数。如我
们前面所指出, 沿临界线的流向总是远离量子临界
点。因此, 一定有另一个不动点控制有限温相变, 而
这种相变属于另一个非量子相变的普适类, 即带波
纹的临界指数不同于 T = 0 的临界指数。
当延伸量子相图到有限温时, 我们需要注意考
察系统的低临界维度 dL 。在这个维度以下, 系统没
有有限温相变, 因为零温有序相都会被热激发低能
模式所破坏, 如对于横场 Ising 模型 dL = 1。这时对
于有限温没有临界线, 而且系统随温度的行为需要
修正。
2. 5  横场 Ising 系统的实空间重正化
渡越、不稳不动点、吸引子、参量空间的流线、相
关场和非相关场这些概念在描述量子临界现象的物
理行为时十分有用。标度方法可以十分有力地描述
量子相变的临界行为, 但是不能直接得出临界指数,
所以发展一个可以直接得到临界指数的理论十分必
要。重正化群为描述量子临界现象提供了合适的数
学工具。
虽然也可以把横场 Ising 模型从实空间形式( 6)
式变换到动量空间形式, 随后在场论方法下进行重
正化处理
[ 6]
, 作为一个具体的例子, 我们仍然用实空
间的重 正 化 群 理 论 来 考 察 一 维 的 横 场 Ising 模
型
[ 26]
。为方便起见, 我们可以对零外场下的( 6) 式作
正则 变 换 得 到 描 述 横 场 Ising 模 型 的 等 价
Hamilt on 量
H= - J
E
i
S
x
i
S
x
i+ 1
- #
E
i
S
z
i
( 51)
在没有横场 # 时, Ising 链在 T = 0 时是有序的, 3S
4
X 0。
在标准的块重正化方法中, 我们取 标度因子 b
= 2。这样一个块的 Hamilt on 量为
H
12
= - J S
x
1
S
x
2
- #( S
z
1
+ S
z
2
) ( 52)
选 S
z
的本征态 | { 4 和 | | 4 为基矢, 并引入升降算
符, S
= S
+
+
= ( S
+ S
-
x
+ iS
y
) / 2 和 S
-
= ( S
。于是我们得到如下方程
S
+
| { 4 = 0, S
+
| | 4 = | { 4, S
x
z
- iS
y
) / 2, 所以 S
| { 4 = + 1 | { 4
S
-
| | 4 = 0, S
-
| { 4 = | | 4, S
z
| | 4 = - 1 | | | 4
我们可以通 过 S
z
1 和 S
z
2 的 本征 态 乘 积来 构 造 块
Hamilt on 量 ( 52) 式的 基 矢, 即 | { { 4 = | { 42
| { 41 , | | | 4 = | | 42 | | 41 , | { | 4 = | { 42
| | 41 , 和 | | { 4 = | | 42 | { 41 , 这样 Hamilt on 量
x
x
的矩阵形式是
H12 =
- 2# - J 0 0
- J 2 # 0 0
0 0 0 - J
0 0 - J 0
解本征方程 H12 | i4 = Ei | i4, 我们可以得到四个本
征值和相应的本征态。这里我们只给出后面要用到
的基态的能量和波函数
E0 = - ( 4#
2
+ J
,
| 04 = ( 1 + a
2
)
- 1/ 2
2
)
1/ 2
( | { { 4 + a | | | 4) ( 54)
其中
a =
4#
2
和第一激发态的能量和波函数
E1 = - J , | 14 = 2
+ J
- 1/ 2
2
- 2#
/ J ( 55)
( | { | 4 + | | { 4)
( 56)
这两个能量最低 的态取作虚拟的自旋量子数
Sc = 1/ 2 的两个态, Sc = 1/ 2 代表块的有效自旋, 故
有
| 04 y | { c4, | 14 y | | c4 ( 57)
新的块 Hamilt on 量形式为
Hc = E0 | { c43 { c | + E1 | | c43 | c |
S - #cSc
z
+ Cc ( 58)
上式最右边定义了重正化的横场 #c 和常数Cc。它们
满足
#c =
E1 - E0
2
=
1
2
4#
2
+ J
2
- J
( 59)
和
Cc =
E
1
+ E
0
2
= -
1
2
4#
2
+ J
2
( 53)
+ J
( 60)
这两个方程中的第一个表示了作用在新的有效自旋
上的重正化横场的递推关系。
下一步是计算有效自旋之间的耦合。最简单的
办法是根据块有效自旋的 x 分量Sc
x
, 写出原始自旋
相应的分量 S
x
i , 即 S
x
i = KSc
x
。参量 K由下列矩阵元
3 { c | S
x
| | c4 = K3 { c | Sc
x
| | c4 S K( 61)
确定, 于是
K=
1+ a
2( 1+ a
2
)
( 62)
其中 a 由( 55) 式给出。定义格点 12 组成的块和格点
34 组成的块之间的交换参量 Jc 为
JcSc
化简此式有 Jc = JK
x
12
2
Sc
x
34
= J S
, 或具体写为
x
2
S
x
3
335
 第 4 期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象  
Jc = J
( 1 + a )
2( 1+ a
2
2
)
=
J ( J - 2# + 4 #
4( 4#
2
+ J
2
2
- 2# 4#
结合( 59) 及( 63) 两式, 并定义变量 K = #/ J ,
我们得到如下递推关系
Kc =
2( 1 + 4K
2
- 1) ( 1+ 4K
2
+ J
2
2
)
+ J
- 2K 1+ 4K
)
( 1+ 1+ 4K
2
- 2K)
2
( 64)
这个方程可以用迭代法求解, 譬如从 K0 可以得到
K
1
= Kc
0
, 然后从 K
1
可以得到 K
2
= Kc
1
, 等等。序
列( K0 , K1 , K2 , , , Kn ) 产生 了一 个重正 化群方 程
流向。物理上, 这个序列表示了对无限链上的自旋进
行连续的组合操作, 不断地将其转换成新的有效自
旋。每次操作, 系统的尺度就用因子 b = 2 重新进行
标度, 也就是 Lc = L/ b。不动点由方程 K
*
)
决定。这样上面的方程变为
4K
* 3
+ 2K
+ 2K
* 2
容易验证, K
* 2
+ K
*
( 1 + 4K
*
( 1 + 4K
= 0 和 K
*
* 2
)
* 2
1/ 2
)
- ( 1 + 4K
1/ 2
+ K
*
2
2
)
( 63)
= f ( K
* 2
)
3/ 2
+ 1 = 0
( 65)
= ] 是方程的两个平凡
解。还有一个非平凡解须用数值方法求解, 其值为
K
*
= 1. 277。可以确认, 前面两个解是稳定不动点,
第三个是不稳的。实际上, 若从 K < ( #/ J ) c 开始进
行迭代, 系统一直到达 K
*
= #/ J = 0 点, 这是经典
Ising 相; 相反, 若从 K > ( #/ J )
c
开始迭代, 系统就
会到达K
*
= #/ J = ] 点, 这是量子无序相。十分明
显, K
*
= ( #/ J ) c = 1. 277 就是划分磁有序相和磁
无序相的量子临界点。这些结果示于图 5。
图 5 横场 Ising 链重正化过程的流向图
在不稳不动点附近, 我们如( 42) 式那样展开递
推关系到一阶
Kn+ 1 = K
*
+ b
u
( Kn - K
*
) ( 66)
其中 u = M
- 1
而 M是关联长度的临界指数。通过数值
方法, 这个指数可以从下面的表达式
M=
lnb
ln[ ( Kn+ 1 - K
*
) / ( Kn - K
) ]
=
lnb
ln( 5Kc/ 5K) K
*
*
*
2
( 67)
给出, 当 b = 2 时我们得到 M= 1. 47。
为寻求动力学指数 z, 需要注意到在不稳不动
点( #/ J ) c, 横场的递推关系( 59) 式可以写为
#c = #
1+ 4K
* 2
- 1
2K
( 68)
既然 #c/ # = b
- z
, 于是
z =
ln 2K
*
*
/
1+ 4K
* 2
- 1
lnb
( 69)
从 b = 2 和 K
*
= 1. 277, 可以得到 z = 0. 55。
横场中的一维 Ising 模型可以精确求解
。量
子临界点出现在( #/ J ) c = 1, 关联长度的指数 M=
1, 动力学指数也是 z = 1。由于我们在进行实空间重
正化处理时采用的是小的、有限尺寸的块, 这种方法
带来与精确结果不同的临界指数值。实际上这个方
法可以利用增大块的尺度来优化。如若选取的块有
五个自旋, 就是 b = 5, 重正化方法可以给出( #/ J ) c
= 1. 0797 和 z = 0. 705, 这就和精确解比较接近了。
3  金属 2 绝缘体相变
金属 2 绝缘体相变是量子相变中引人入胜的主
题。根据文献[ 9] 中第 6 章、第 9 章和第 13 章的介绍
我们已经知道, 金属 2 绝缘体转变具有三种类型, 分
别为密度驱动的转变、无序驱动的转变和关联驱动
的转变。尽管我们无法找到可以表征这些相变的序
参量, 但临界现象的概念被证明对描述金属 2 绝缘
体转变是十分有用的。在文献[ 4] 中, 可以找到有关
金属 2 绝缘体转变的系统描述。
3. 1  密度驱动的相变
密度驱动的金属 2 绝缘体相变可以依靠改变电
子数或化学势产生。这种相变可以发生在无相互作
用系统, 对应于能带填充, 它也被叫做 Wilson 转变。
根据能带理论, 拥有填满 s带和空的p 带的由二
价原子组成的晶体, 在原子间距足够大时是绝缘的。
随着原子间距的降低, s 和 p 带之间的带隙逐渐减
小, 甚至变为负的。而当带隙等于或小于零时, 晶体
将变成金属性的。这就是大多数二价金属形成的原
因和直观的理解。然而, 即使在足够小的原子间距
下, 二价金属也可能变成半导体或者绝缘体, 当然这
仍依赖于带隙变化。下面我们来讨论这个问题。
我们可以取 | g | = | L- Lc | 来作为控制参量,
其中 L是化学势, 而 Lc 是在T = 0 K 时发生金属 2绝
[ 1 7]
336
物  理  学  进  展 第 29 卷 
缘体转变的化学势临界值。靠近相变点的自由能密
度的奇异部分可以写作
f s W| L- Lc |
2- A
( 70)
它定义了临界指数 A。压缩率可被定义为
J W5
2
f s / 5L
2
W| L- Lc |
- A
( 71)
有时把相变的控制参量从 | L- Lc | 换到 | n- nc | 也
是很有用的, 这里 n 是载流子密度而nc 是其临界值。
这些量之间的关系为
n W- 5f s / 5 L W| L- Lc |
1- A
( 72)
为考察电子间无相互作用系统的能带填充导致
的金属 2 绝缘体转变, 我们可以从一个 d 维空间中
的超立方晶格出发来建立一个紧束缚能带模型。对
于一个给定的自旋方向, 每个格点上的电子数 n 接
近临界值 nc = 1 时, 系统将从金属态向绝缘态转变。
这种相变是一个量子临界现象, 对此我们可以考察
其临界指数。我们引进一个特征长度 N作为屏蔽长
度, 这个长度在发生金属 2 绝缘体转变时发散。描述
这个零 温相 变 的一 个 自然 的变 量 是 从化 学 势 或
Fermi 能级 L到带顶 E
t
的距离, 例如, g = L- E
t
。根
据这个变量, NW| g |
- M
, 而有奇异行为的基态自由
能密度的表达式依然是 f s W| g |
2- A
。临界指数 M和 A
仍满足超标度关系 A+ M( d + z) = 2。
从实验上测量一个二价金属( 下面考虑镱) 的
电阻率与温度及压强的关系, 可以被用来研究密度
驱动的金属 2 绝缘体转变
[ 27]
。这种材料有一个类半
金属( semi2met al2like) 能带结构, 即两个非关 联电
子的宽带在 Fermi 能处相交, 如图 6 所示。外加一个
压力可增加两个能带之间的杂化程度而使排斥效应
增强, 造成交叠区的态密度减小。系统 Hamilt on 量
可写为
H=
E
tjR
+ V
t 1ij c
E
iR
­
1iRc1jR +
c
­
1iRc2iR + c
E
ij R
t 2ij c
­
2iRc2jR
­
2iRc1iR
( 73)
其中 tlij 是处于带 l 上的单电子在格点 i , j 之间的跃
迁振幅; c
­
liR 和 cliR 分别是处于带 l 及格点 i 上自旋为
R的电子的产生和湮灭算符; V 是杂化或混合项, 使
电子从一个能带跃迁到另一个能带。我们考虑一种
两带相对于保持固定的 Fermi 能级对称的二价金属
的情况。这种情况下的两个能带的色散关系为 E1k =
Ek 和 E2k = Ek + $/ 2, 其中 Elk =
E
t lij exp[ ik # ( Ri Rj
) ] , 而 $ 是能带宽度, 且对两个带是相同的。
ij
上面的 Hamilt on 量可以很容易地对角化, 得到
图 6 具有对称能带结 构的 二价半 金属 的态密 度, 显示 出
由杂化程度 增加造 成的金 属 2 绝 缘体转 变。参量 选
择为 $ = 10 eV, Vc U 4. 3 eV, 曲线分别对应于 V =
4. 0, 4. 4 和 5. 0 eV。引自文献[ 28]
两个杂化能带之间的能隙为
$g = 2 V
2
+
$
4
2 1/ 2
- $ ( 74)
当 V > Vc 时存在能隙, 其中 Vc = ( 3/ 4) $ 是金属2
绝缘体转变的标志。当 V 接近 Vc 时的能隙为
$g D 3( V- Vc ) ( 75)
在此处考虑的对称带中, 较低的杂化能带的带顶到
Fer mi 能级的距离 正是上面 所定义的 带隙的 半宽
度, 即
L- E
1t
=
1
2
$
g
( 76)
当 V 趋近 Vc 时, 我们得到
L- E1t =
3
2
( V- Vc ) ( 77)
这个关系可以用来表示到临界点的距离, 在此金属
2 绝缘体转变的发生是用变量 g = L- E1t 描述的。
进一步, 接近相变点时能隙的变化用此变量来
表示, 而能隙指数可以确定为 Mz = 1。同样由指数决
定着自由能、压缩率等热力学量的临界行为, 正如前
面所讨论的无相互作用填充能带跃迁一样。由此可
见, 增加杂化程度, 例如给半金属加压, 提供了一个
实现简单的密度驱动 金属 2 绝缘体转 变的物理方
法。控制参量是 g = L- E
1t
W( V- V
c
) 或就用( P P
c) 。图 7 确认了镱在压力诱导下的金属 2 绝缘体转
变, 测量使用了磁共振方法。对于给定的压力, 线宽
$H 随温度线性增加, 显示了探针杂质通过基质导
带电 子 的 Korr inga 型 弛 豫。随 着 压 强 的 增 大,
d $H / dT 下降, 直到临界点 P c = 12. 5 kbar 处变得
337
 第 4 期 金国钧等: 量子相变和量子临界现象  
很小。在接近于 P
c
处, d$H / dT 随 P- P
c
线性下降, 这
和密度驱动的金属 2 绝缘体转变的标度理论一致。
图 7  当 压 强 趋 近 金 属 2 绝 缘 体 转 变 的 临 界 值 时,
Kor ringa 线宽的斜率 作为压 强的 函数, 其中 临界
压强为 P
c
D 12. 5 kbar 。引自文献[ 29]
标度理论可以被推广到有限温情况, 当 T X 0
时自由能的表达式为
f s W| g |
2- A
F ( T / T c) ( 78)
其中 特 征 温 度 T c W| g |
Mz
。特 征 温 度 T c W
| V- V
c
| 给出了态密度在 Fermi 能级处的峰宽度
并提供了在发生金属 2 绝缘体转变之前的金属区部
分的相关能量尺度。
3. 2  无序驱动的相变
在非相互作用电子系统中, 无序可以驱动的金
属 2 绝缘体转变, 被叫做 Anderson 转变。在文献[ 9]
的 k 9. 3 中, 我们已经利用简单的量子模型对其研
究过。这里我们将对由成分无序调制的电导率变化
做一个深入分析。已经清楚, 在杂相系统中电导率 R
会随着散射体密度 Q的增加而降低, 直到在临界散
射体密度 Qc 处达到零。在局域化的经典图像下, 扩
散粒子随着散射体密度的增加会被限制在散射粒子
围成的笼子中。然而, 当量子效应对电子起主要作用
时, 对于输运性质必须考虑两个竞争效应: 一是扩散
率应当增加, 因为量子效应允许电子隧穿出经典情
况下会限制电子的笼子; 二是量子干涉和弱局域化
效应会增强背散射振幅。无论如何, 定义一个相对于
临界点的距离始终是方便的, 即
g =
Q- Qc
( 79)
为了描述无序系统中的 Anderson 转变, 我们给
Qc
出单电子紧束缚模型 Hamilt on 量, 即著名的 无序
Anderson Hamilt on 量,
H=
E
i
Ei | i43i | +
E
t ij | i43j |
这里 | i4 是 i 格点的 Dirac 态矢, Ei 是i 格点的电子能
i
级, 而 t ij 则是 i 和 j 格点间的跃迁积分。正如已经知
道的, 上述 H amilton 量的本征态在特定的能量区是
扩展的, 而超出这个区则是局域的。在这里我们涉及
到迁移率边附近的波函数行为, 它把局域态和扩展
态分离开来。从无序 Anderson H amilton 量出发, 考
虑到波函数之间的关联, 通过变换长度和能量尺度
的重正化群过程是可以被实现的
[ 30]
。在重正化过程
中, 通过混合近邻态并执行一系列正交变换, 以使跃
迁能量 t ij 降低。对于局域化本征态, 这样的一个过
程是可以收敛的。收敛的极限就是迁移率边 Ec 。因
此, 我们能够给出关于临界距离的另外一个定义
g =
E - E
c
( 80)
两个定义本质上是相互联系的。在重正化过程中, 将
E c
使用所有 距离和 能量 的重 标度, 即 r y r/ b, E y
Eb
z
, 以及 g y gb
u
。g 的符号将分别标记局域态和扩
展态。
动力学和统计力学间的相互影响表明, 某些物
理量的频率依赖性有助于理解量子临界点的物理意
义。即使不进行微观处理, 对于作为温度和频率函数
的电导率的临界行为, 也可以从标度讨论得到一些
一般性的预言。对于三维系统, 当h
2
X m kBT 时, 我们
可以观察到量子涨落的电导率, 即 Rc WX
1/ z
; 而当h
2
X
n kB T 时, 热能大小限制了量子涨落, 导致了直流电
导率按 Rc WT
1/ z
变化。对于中间的温度和频率, 一个
仅依赖于比值h
2
X/ kBT 的普适渡越函数内插于两个
极限行为之间。标度分析的目的就是用一个统一的
图像去描写电导率对温度、频率以及成分的依赖性,
和建立标度函数。
一般地, 在小 X、g 及 T 的情况下, 包含温度效应
的动力学电导率服从广义的齐次函数
R( g, T , X) = b
- ( d- 2)
R( b
1/ M
g , b
z
T , b
z
X) ( 81)
如果选择 b = g
- M
, 上式给出
R( g, T , X) = g
M( d- 2)
R( 1, g
- Mz
T , g
- Mz
X) ( 82)
在( 82) 式中, 我们可以看到一个关键点, 即当 X= 0
时量 Rg
- M( d- 2)
只是 g
- Mz
T 的函数, 而不是分别地与 g
和 T 联系。实验数据塌缩到一条标度曲线上, 对于热
相变中的标度确认在历史上是非常重要的, 这对于
量子相变也是同样有用的。
338
物  理  学  进  展 第 29 卷 
取 X= T = 0, 我们便可以得到零温下的静态电
导率行为
R( g, 0, 0) Wg
s
( 83)
这里 s 为电导率指数,
s = M( d - 2) ( 84)
这便是为人熟知的 Wegner 标度律。由于 2 + E展开
的收敛性较差, 对于 s 和 M没有可靠的理论值。然而
就无序来讲, 根据对于临界行为趋于稳态的条件, 可
以得到 Harris 判据
[ 31]
, 即 M\ 2/ d。d = 3 时的数值
计算表明, M的取值范围为 1. 321. 5。
我们可以进一步考虑电导率的频率和 温度效
应。通过选择 b = X
- 1/ z
和 b = T
- 1/ z
, 我们可以得到
R( g, T, X) = X
( d- 2) / z
R( gX
- 1/ zM
, T X
- 1
, 1) ( 85)
和
R( g, T , X) = T
( d- 2) / z
R( gT
- 1/ zM
, 1, T
- 1
X) ( 86)
显然, 在量子临界点 g = 0 处, 零温动力学电导率 R
WX
( d- 2) / z
, 和温度依赖静态电导率 R WT
( d- 2) / z
。
( 82) 式表明, g 不是唯一的距临界点的相关距
离。在零频处, 有两个相关变量 g 和T 。对于 g X 0 或
T X 0 的情况, 系统是偏离临界点的, 并且 M和 z 分
别度量了 g 和 T 的相关性。电导率对温度和频率的
依赖性曾在无定形 NbSi 合金中得到测量, 主要集中
在零温金属 2 绝缘体转变附近。从实验数据可以确
认标度关系的存在, 并且与以上的标度分析一致。在
图 8 中, 样品的临界行为显示了 R( T = 0, X) WX
和 R( T, X= 0) WT
1/ 2
, 这和量子标度分析的预言是
一致的。就如内嵌图所示, 对于多数金属样品来说,
从 1. 4 到 16 K之间, 电导率是随 T
1/ 2
线性变化的。动
力学指数 z = 2 也和对于此合金系统在接近金属 2
绝缘体转变时其它先前的工作结果相一致。
图 8  非晶 NbSi 合金的量子临界电导率标度。( a) 电导率随频率平方根的变化; ( b) 电导率随温度的变化。内嵌图给出零
温极限下的 RW T
1/ 2
结果。引自文献[ 32, 33]
  这里我们要指出, Anderson 转变是完全由无序
驱动的。如果一个金属 2 绝缘体转变同时包含了电
子相互作用和无序, 比如掺杂半导体, 那么它就涉及
到 Anderson2Mot t 转变, 并且这类相变是一个拥有
巨大实验兴趣的问题。
3. 3  关联驱动的相变
考察关联驱动的金属 2 绝缘体转变, 即 Mot t 转
变, 可以用一个简单的模型来进行说明
[ 34]
。这里我
们考虑密度为 Q的一组氢原子。设位于格点 Rl 上的
氢原子核产生一个方阱势, 相对于这个格点处在 ri
处的电子受到的作用势可以表示为
V( r i ) =
- V0 , 当 | ri - Rl | [ w
0, 当 | ri - Rl | > w
( 87)
这里的 w 是阱宽, V0 是吸引势的深度, 且被假设为
只提供一个束缚态。电子的量子行为可以描述成两
个部分, 即有利于电子在整个系统中作扩展运动的
电子动能和限制电子在质子附近作局域运动的方阱
势。事实上, 单个质子产生的吸引势( 87) 式由于其
它电子和其它氢原子核的存在而减弱。我们可以假
设, 电子实际上受到的是一个与密度相关的屏蔽势
V( r) =
- V( Q) , 当 | r - Rl | [ w
0, 当 | r - Rl | > w
( 88)
在稀释极限下, V( Qy 0) = V0 仍然成立, 所有电子
都束缚在它们各自的氢原子核周围, 这时对应的状
。