第七章晶体内部结构的微观对称
202.114.196.26:8088/09jpkc/jjxjkwx/7-1.htm
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晶体内部结构的微观对称_百度文库
wenku.baidu.com/view/1462ae1fa76e58fafab0039e.html - 轉為繁體網頁
百度知道搜索_晶体结构的对称性
iknow.baidu.com/search?word...lm=0&srs=0... - 轉為繁體網頁
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与晶体外形上的晶面、晶棱之间一样，晶体结构内部的质点，相互间也都有一. 定的几何关系。 ... 实际上，晶体结构中质点的周期性重复排列，就是平移的一种表. 现；而空间格子 ... ⑴ 所选取的单位平行六面体应能反映格子构造中结点分布的固有对称性
第八章晶体结构的几何理论
210.44.176.148/.../第八章%20%20晶体结构的几何理论.p...
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任何晶体的内部质点都是在三维空间呈周期性重复规. 则排列的, 我们可以 ... 有的对称性。 (2)、在上述前提下， .... 行列就是代表平移对称的平移轴。 二、滑移面(glide
第八章晶体的内部对称和空间群
www.xray-crystal.com/Crystallography/Cryst_11_08.pdf
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晶体结构的基本特征是质点分布的周期性和对称性。 .... 微观对称要素仅在晶格内部
X射线晶体学基础2013.ppt - 上海交通大学
cc.sjtu.edu.cn/G2S/Utility/download2.aspx?type=2...
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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标 题: 《分形艺术》51
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:20:50 星期六), 站内信件
第七章 对称图案与平面铺砌
7.3 周期网和非周期网
保守动力系统研究中发现了大量美丽的随机网(stochastic web)，极大地丰富了人
们对经典 力学的认识，具有重要的理论和实际意义。不过，本书主要关心的还是“图形
”本身，而不 是物理内容。
80年代中期，以扎斯拉夫斯基、扎哈罗夫(M.Yu.Zakharov)、萨捷耶夫(R.Z.Sagdee
v)、乌西 科夫(D.A.Usikov)、切尔尼科夫(A.A.Chernikov)等为代表的苏联科学家提出
并深入研究了 一个二维保面积扭转映射(mapping with a twist)，按照几位科学家名字
的首字母，简称 ZZSUC映射，记作M^_α。此映射也称以α为旋转角度的二维扭转映射。
M^_α具有如下形式：
x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cosα+y_nsinα,
y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sinα+y_ncosα.
对应于此映射的哈密顿函数为：
H=1/2α(x^2+y^2)-Kcosy∑^∞_(j= -∞)δ(t-j),
其中t是无量纲时间，上述哈密顿函数对应的正则微分方程为：
dx/dt=αy+Ksiny∑^∞_(j=-∞)δ(t-j),
dy/dt=-αy.
设q为正整数，我们感兴趣的是q次共振条件成立时映射M^_α的特殊 情况M^_q,这时的Z
ZSUC映射称q阶共振扭转映射，其形式为：
M^_q：
x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cos[2π/q]+ y_nsin[2π/q],
y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sin[2π/q+ y_ncos[2π/q.
当q∈R={1,2,3,4,6}时，可以证明，相空间斑图(patterns)是周期网，并且具有 q
次旋转对称性。网络的周期性表明图形存在平移对称性。这说明只有当q为 这些值时，
旋转对称性(RS)与平移对称性(TS)才能共存。
设A和B是网络中相距为一个平移周期s的两点(AB=d)，在 A和B点皆有旋转α=2π/q
角度的旋转对称轴。绕A点 转动α角后，AB变成了AC,绕B点转动α角后， BA变成了BD。
为了保证平移对称性不破坏，CD的长度必须是d的 整数倍,即CD=md,其中m为正整数。由
图可知
CD=md=d+2dsin[α-π/2]
于是有
cosα=(1-m)/2，
满足上式的m只能取五个值
m=3,2,1,0,-1，
转动角度α可能的取值为
α=π，2π/3，π/2，π/3，2π
因而q的允许值只有五种，其中q=1是平庸情形。因此，映射产生旋转对称性 与平移对称
性共存的平面铺砌，其充分必要条件是q∈{1,2,3,4,6}。此定理的含义 可以解释为，具
有平移对称性的实在晶体，[晶体内部质点排列具有“远程规律”，表现为 质点周期性
重复，即具有所谓的“格子构造”，所以按照经典结晶学定义，晶体内部质点一 定要具
有平移对称性。]最多只能有五类旋转对称轴，即L^1,L^2,L^3,L^4,L^6。
计算二维扭转映射M^_q的PASCAL源程序如下，其中的q可以取任意正整数，但只有取 1，
2，3，4，6时才能得到周期网。
{Huajie,Sept.11,1994}
Program Tili05.PAS;
uses Graph,Crt,dos,VGAFONT;｛使用了自编的单元VGAFONT｝
var
c,d,i,j,class,x,y,q:integer;
color,backcolor:word;
K,xs,ys,xe,ye,lins,ccos,ssin:real;
Gd,Gm:Integer;
label 10;
procedure Abort(Msg : string);
begin
Writeln(Msg, ': ', GraphErrorMsg(GraphResult));
Halt(1);
end;
begin
ClrScr; TextColor(Green);
writeln('Quasi-Symmetries and Aperiodic Tiling');
writeln('Input parameter K, for example K=0.1...');
TextColor(Red);
write('K='); readln(K);
class:=4;{以下三行将登记显示驱动程序和两种字体，生成的EXE文件可单独执行}
if RegisterBGIDriver(@VGADriver) <0 then Abort('VGA');
if RegisterBGIfont(@SansFont) < 0 then Abort('SansSerif');
if RegisterBGIfont(@TripFont) < 0 then Abort('Triplex');
Gd:=Vga; Gm:=VgaHi;
InitGraph(Gd,Gm,'');
if GraphResult<>grOK then Halt(1);
SetColor(7);
SetTextStyle(TriplexFont,HorizDir,3);
OutTextXY(60,10,'QuasiSymmetries and Aperiodic Tiling');
q:=3;{q只有取1，2，3，4，6时才能得到周期网}
ccos:=cos(2*Pi/q); ssin:=sin(2*Pi/q);
for d:=1 to class*6 do
begin
ys:=d/3;
for c:=1 to class*6 do
begin
xs:=c/3;
for i:=1 to 10 do {omit transient states}
begin
lins:=xs+K*sin(ys)
xe:=lins*ccos+ys*ssin;
ye:=-lins*ssin+ys*ccos;
xs:=xe;ys:=ye
end;
for j:=1 to 1000 do
begin
lins:=xs+K*sin(ys)
xe:=lins*ccos+ys*ssin;
ye:=-lins*ssin+ys*ccos;
x:=round(xe*8);y:=round(ye*8);
PutPixel(x+300,250-y,d+2);
xs:=xe; ys:=ye;
if KeyPressed then GOTO 10;
end;
end;
end;
10:
OutTextXY(500,450,'Stop it!');
sound(400); delay(200); nosound;
readln;readln;
closeGraph;
end.
上述程序所使用的单元VGAFONT.TPU的源程序VGAFONT.PAS内容如下：
{VGAFONT.PAS, Liu Huajie,1993-01-01, VGA Driver + Fonts}
unit VGAFONT;
interface
procedure VgaDriver;
procedure TripFont;
procedure SmalFont;
procedure SansFont;
procedure GothFont;
implementation
procedure VgaDriver; external; {$L EGAVGA.OBJ }
{可用Turbo Pascal 6.0的BINOBJ.EXE转换*.BGI或者*.CHR，得到*.OBJ}
procedure TripFont; external; {$L TRIP.OBJ }
procedure SmalFont; external; {$L LITT.OBJ }
procedure SansFont; external; {$L SANS.OBJ }
procedure GothFont; external; {$L GOTH.OBJ }
end.
使用上述程序时应当注意两点：第一，K的取值要恰到好处，不能太大，也不能太小；第
二，迭代初始点的选取(由两个循环控制)要有代表性，可以调解程序中的变量class,c
,d控 制初始点。初始点选取不同，影响最后生成的图案(但不会改变对称性)。第一点略
作如下解 释。
K值的大小决定了原哈密顿系统能量E的大小，只有当E取在E_c 附近时，才能得到均
匀分布的网络。E_c恰好对应着相图中双曲点(hyperbolic points)的密度分布ρ_h(E)取
最大值时的能量。我们可以取不同的K值， 一点一点地试验，不必真的寻找E_c的准确值
。
当q=1和q=2时M^_q的表达式可以分别简化为
M^_1：x_(n+1)=x_n+Ksiny_n，y _(n+1)=y_n；
M^_2：x_(n+1)=-x_n-Ksiny_n，y_(n+1)=-y _n.
以上两个方程的解可以精确求出，因而M^_1和M^_2是可积系统。当q ＞2时，M^_q不可积
，分析起来很复杂。q=1和q=2情况下，随机网结 构除了1次和2次旋转对称性外，只能产
生一个方向上的平移对称性。
当q=3,4,6时，M^_q可以分别简化为如下形式
M^_3：
x_(n+1)=SQRT(3)/2y_n-1/2(x_n+Ksiny_n)，
y_(n+1)=-1/2y_n-SQRT(3)/2(x_n+Ksiny_n)；
M^_4：
x_(n+1)=y_n，
y_(n+1)=-x_n-Ksiny_n；
M^_6：
x_(n+1)=SQRT(3)/2y_n+1/2(x_n+Ksiny_n)，
y_(n+1)=1/2y_n-SQRT(3)/2(x_n+Ksiny_n).
按正统的结晶学，实际晶体中不可能有5次旋转对称轴，以及高于6次的旋转轴。现在的
问题 是，实在的晶体一定要求具有平移对称性吗?经典结晶学的确是这样要求的。因而
以前几乎 没有人提出这类“愚蠢”的问题。
到了20世纪80年代，真的有一伙科学家，试图打破传统，努力寻找不具有平移对称
性的实在 “晶体”(为准确起见，并且避免与传统结晶学冲突，通常仍称为准晶体)。1
984年12月以色 列物理学家谢兹曼(D.Schechtman)宣布，发现了一种由铝锰合金相组成
的具有5次旋转对称 性的准晶体，后来又发现了其他合金相的准晶体。80年代中期，准
晶体成了科学界的一大热 门。
应当特别指出的是，历史上薛定谔(E.Schrodinger,1887-1961)为了说明构成基因的
生物大 分子的结构，在《生命是什么》一书中曾引进过“非周期晶体”(aperiodic cr
ystal)的概 念。
5次旋转对称的准晶体与彭罗斯考虑过的准周期铺砌模式相当接近，后来彭罗斯又从
量子力 学的角度猜想：准晶体内部的原子可能也寻求某种能量最低排列，并且这种能量
最低状态不 能局部地解决，它是一个全局优化的问题，大概要考虑量子效应。这个猜想
是很有意思的， 如果它成立，则表明还有比通常说的晶体最低能量更低的能量状态!可
惜，现在还不能完全 证实彭罗斯的猜想。此外，关于准晶体学界还有各种争论。无论最
后结局怎样，准晶体的讨 论使局外人开始关注19世纪就早已成熟的经典几何结晶学，推
动了晶体生长理论的发展。
除了晶体平移对称性这种长程序外，还有其他长程序，这便是“非周期长程序”，
它们是准 周期长程序和条件周期长程序。两者的区别在于，前者存在有限个不可通约的
周期，后者存 在无穷多个不可通约的周期。
可以用高维空间投影的办法生成准晶体图形。考虑N维空间中的紧密堆积的N维立方
体向D维空间的投影，其中D小于N。当N等于5，D等于2时， 选择适当的投影角度，就会
得到具有5次旋转对称性的彭罗斯铺砌。
在q维空间中取q个正交的向量{e_j}（j=1,…，q）,画出q个 (q-1)维的超平面正交
于这些向 量，超平面之间彼此平行并且等间距。超平面之间的横截形成了q维格子，这
些格子 在低维空间上的投影就形成了铺砌图案。因为投影操作是一种线性变换，能够保
持原来高维 格子具有的长程序，包括周期性长程序和非周期性长程序，并且后者居多。
前面提到的扭曲共振映射M^_q，当迭代次数趋于无穷时，存在不变的极限图形，它
在M^_q的作用下整体上是不变的。设极限图形为G，则M^_q G=G， G由共振映射的椭圆
点、双曲点、分界线及周围的随机层组成。G具有 q次“近似对称性”，于是可以认为M
^_q是生成q次近似对称图形的 算子。当q∈{1,2,3,4,6}时，G是周期骨架，连接一定的
结点可用于周期铺 砌；当q不属于{1,2,3,4,6}时，G是非周期骨架，连接一定的结点可
用于非 周期铺砌。
--
心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷
※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.229.154]
标 题: 《分形艺术》51
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:20:50 星期六), 站内信件
第七章 对称图案与平面铺砌
7.3 周期网和非周期网
保守动力系统研究中发现了大量美丽的随机网(stochastic web)，极大地丰富了人
们对经典 力学的认识，具有重要的理论和实际意义。不过，本书主要关心的还是“图形
”本身，而不 是物理内容。
80年代中期，以扎斯拉夫斯基、扎哈罗夫(M.Yu.Zakharov)、萨捷耶夫(R.Z.Sagdee
v)、乌西 科夫(D.A.Usikov)、切尔尼科夫(A.A.Chernikov)等为代表的苏联科学家提出
并深入研究了 一个二维保面积扭转映射(mapping with a twist)，按照几位科学家名字
的首字母，简称 ZZSUC映射，记作M^_α。此映射也称以α为旋转角度的二维扭转映射。
M^_α具有如下形式：
x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cosα+y_nsinα,
y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sinα+y_ncosα.
对应于此映射的哈密顿函数为：
H=1/2α(x^2+y^2)-Kcosy∑^∞_(j= -∞)δ(t-j),
其中t是无量纲时间，上述哈密顿函数对应的正则微分方程为：
dx/dt=αy+Ksiny∑^∞_(j=-∞)δ(t-j),
dy/dt=-αy.
设q为正整数，我们感兴趣的是q次共振条件成立时映射M^_α的特殊 情况M^_q,这时的Z
ZSUC映射称q阶共振扭转映射，其形式为：
M^_q：
x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cos[2π/q]+ y_nsin[2π/q],
y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sin[2π/q+ y_ncos[2π/q.
当q∈R={1,2,3,4,6}时，可以证明，相空间斑图(patterns)是周期网，并且具有 q
次旋转对称性。网络的周期性表明图形存在平移对称性。这说明只有当q为 这些值时，
旋转对称性(RS)与平移对称性(TS)才能共存。
设A和B是网络中相距为一个平移周期s的两点(AB=d)，在 A和B点皆有旋转α=2π/q
角度的旋转对称轴。绕A点 转动α角后，AB变成了AC,绕B点转动α角后， BA变成了BD。
为了保证平移对称性不破坏，CD的长度必须是d的 整数倍,即CD=md,其中m为正整数。由
图可知
CD=md=d+2dsin[α-π/2]
于是有
cosα=(1-m)/2，
满足上式的m只能取五个值
m=3,2,1,0,-1，
转动角度α可能的取值为
α=π，2π/3，π/2，π/3，2π
因而q的允许值只有五种，其中q=1是平庸情形。因此，映射产生旋转对称性 与平移对称
性共存的平面铺砌，其充分必要条件是q∈{1,2,3,4,6}。此定理的含义 可以解释为，具
有平移对称性的实在晶体，[晶体内部质点排列具有“远程规律”，表现为 质点周期性
重复，即具有所谓的“格子构造”，所以按照经典结晶学定义，晶体内部质点一 定要具
有平移对称性。]最多只能有五类旋转对称轴，即L^1,L^2,L^3,L^4,L^6。
计算二维扭转映射M^_q的PASCAL源程序如下，其中的q可以取任意正整数，但只有取 1，
2，3，4，6时才能得到周期网。
{Huajie,Sept.11,1994}
Program Tili05.PAS;
uses Graph,Crt,dos,VGAFONT;｛使用了自编的单元VGAFONT｝
var
c,d,i,j,class,x,y,q:integer;
color,backcolor:word;
K,xs,ys,xe,ye,lins,ccos,ssin:real;
Gd,Gm:Integer;
label 10;
procedure Abort(Msg : string);
begin
Writeln(Msg, ': ', GraphErrorMsg(GraphResult));
Halt(1);
end;
begin
ClrScr; TextColor(Green);
writeln('Quasi-Symmetries and Aperiodic Tiling');
writeln('Input parameter K, for example K=0.1...');
TextColor(Red);
write('K='); readln(K);
class:=4;{以下三行将登记显示驱动程序和两种字体，生成的EXE文件可单独执行}
if RegisterBGIDriver(@VGADriver) <0 then Abort('VGA');
if RegisterBGIfont(@SansFont) < 0 then Abort('SansSerif');
if RegisterBGIfont(@TripFont) < 0 then Abort('Triplex');
Gd:=Vga; Gm:=VgaHi;
InitGraph(Gd,Gm,'');
if GraphResult<>grOK then Halt(1);
SetColor(7);
SetTextStyle(TriplexFont,HorizDir,3);
OutTextXY(60,10,'QuasiSymmetries and Aperiodic Tiling');
q:=3;{q只有取1，2，3，4，6时才能得到周期网}
ccos:=cos(2*Pi/q); ssin:=sin(2*Pi/q);
for d:=1 to class*6 do
begin
ys:=d/3;
for c:=1 to class*6 do
begin
xs:=c/3;
for i:=1 to 10 do {omit transient states}
begin
lins:=xs+K*sin(ys)
xe:=lins*ccos+ys*ssin;
ye:=-lins*ssin+ys*ccos;
xs:=xe;ys:=ye
end;
for j:=1 to 1000 do
begin
lins:=xs+K*sin(ys)
xe:=lins*ccos+ys*ssin;
ye:=-lins*ssin+ys*ccos;
x:=round(xe*8);y:=round(ye*8);
PutPixel(x+300,250-y,d+2);
xs:=xe; ys:=ye;
if KeyPressed then GOTO 10;
end;
end;
end;
10:
OutTextXY(500,450,'Stop it!');
sound(400); delay(200); nosound;
readln;readln;
closeGraph;
end.
上述程序所使用的单元VGAFONT.TPU的源程序VGAFONT.PAS内容如下：
{VGAFONT.PAS, Liu Huajie,1993-01-01, VGA Driver + Fonts}
unit VGAFONT;
interface
procedure VgaDriver;
procedure TripFont;
procedure SmalFont;
procedure SansFont;
procedure GothFont;
implementation
procedure VgaDriver; external; {$L EGAVGA.OBJ }
{可用Turbo Pascal 6.0的BINOBJ.EXE转换*.BGI或者*.CHR，得到*.OBJ}
procedure TripFont; external; {$L TRIP.OBJ }
procedure SmalFont; external; {$L LITT.OBJ }
procedure SansFont; external; {$L SANS.OBJ }
procedure GothFont; external; {$L GOTH.OBJ }
end.
使用上述程序时应当注意两点：第一，K的取值要恰到好处，不能太大，也不能太小；第
二，迭代初始点的选取(由两个循环控制)要有代表性，可以调解程序中的变量class,c
,d控 制初始点。初始点选取不同，影响最后生成的图案(但不会改变对称性)。第一点略
作如下解 释。
K值的大小决定了原哈密顿系统能量E的大小，只有当E取在E_c 附近时，才能得到均
匀分布的网络。E_c恰好对应着相图中双曲点(hyperbolic points)的密度分布ρ_h(E)取
最大值时的能量。我们可以取不同的K值， 一点一点地试验，不必真的寻找E_c的准确值
。
当q=1和q=2时M^_q的表达式可以分别简化为
M^_1：x_(n+1)=x_n+Ksiny_n，y _(n+1)=y_n；
M^_2：x_(n+1)=-x_n-Ksiny_n，y_(n+1)=-y _n.
以上两个方程的解可以精确求出，因而M^_1和M^_2是可积系统。当q ＞2时，M^_q不可积
，分析起来很复杂。q=1和q=2情况下，随机网结 构除了1次和2次旋转对称性外，只能产
生一个方向上的平移对称性。
当q=3,4,6时，M^_q可以分别简化为如下形式
M^_3：
x_(n+1)=SQRT(3)/2y_n-1/2(x_n+Ksiny_n)，
y_(n+1)=-1/2y_n-SQRT(3)/2(x_n+Ksiny_n)；
M^_4：
x_(n+1)=y_n，
y_(n+1)=-x_n-Ksiny_n；
M^_6：
x_(n+1)=SQRT(3)/2y_n+1/2(x_n+Ksiny_n)，
y_(n+1)=1/2y_n-SQRT(3)/2(x_n+Ksiny_n).
按正统的结晶学，实际晶体中不可能有5次旋转对称轴，以及高于6次的旋转轴。现在的
问题 是，实在的晶体一定要求具有平移对称性吗?经典结晶学的确是这样要求的。因而
以前几乎 没有人提出这类“愚蠢”的问题。
到了20世纪80年代，真的有一伙科学家，试图打破传统，努力寻找不具有平移对称
性的实在 “晶体”(为准确起见，并且避免与传统结晶学冲突，通常仍称为准晶体)。1
984年12月以色 列物理学家谢兹曼(D.Schechtman)宣布，发现了一种由铝锰合金相组成
的具有5次旋转对称 性的准晶体，后来又发现了其他合金相的准晶体。80年代中期，准
晶体成了科学界的一大热 门。
应当特别指出的是，历史上薛定谔(E.Schrodinger,1887-1961)为了说明构成基因的
生物大 分子的结构，在《生命是什么》一书中曾引进过“非周期晶体”(aperiodic cr
ystal)的概 念。
5次旋转对称的准晶体与彭罗斯考虑过的准周期铺砌模式相当接近，后来彭罗斯又从
量子力 学的角度猜想：准晶体内部的原子可能也寻求某种能量最低排列，并且这种能量
最低状态不 能局部地解决，它是一个全局优化的问题，大概要考虑量子效应。这个猜想
是很有意思的， 如果它成立，则表明还有比通常说的晶体最低能量更低的能量状态!可
惜，现在还不能完全 证实彭罗斯的猜想。此外，关于准晶体学界还有各种争论。无论最
后结局怎样，准晶体的讨 论使局外人开始关注19世纪就早已成熟的经典几何结晶学，推
动了晶体生长理论的发展。
除了晶体平移对称性这种长程序外，还有其他长程序，这便是“非周期长程序”，
它们是准 周期长程序和条件周期长程序。两者的区别在于，前者存在有限个不可通约的
周期，后者存 在无穷多个不可通约的周期。
可以用高维空间投影的办法生成准晶体图形。考虑N维空间中的紧密堆积的N维立方
体向D维空间的投影，其中D小于N。当N等于5，D等于2时， 选择适当的投影角度，就会
得到具有5次旋转对称性的彭罗斯铺砌。
在q维空间中取q个正交的向量{e_j}（j=1,…，q）,画出q个 (q-1)维的超平面正交
于这些向 量，超平面之间彼此平行并且等间距。超平面之间的横截形成了q维格子，这
些格子 在低维空间上的投影就形成了铺砌图案。因为投影操作是一种线性变换，能够保
持原来高维 格子具有的长程序，包括周期性长程序和非周期性长程序，并且后者居多。
前面提到的扭曲共振映射M^_q，当迭代次数趋于无穷时，存在不变的极限图形，它
在M^_q的作用下整体上是不变的。设极限图形为G，则M^_q G=G， G由共振映射的椭圆
点、双曲点、分界线及周围的随机层组成。G具有 q次“近似对称性”，于是可以认为M
^_q是生成q次近似对称图形的 算子。当q∈{1,2,3,4,6}时，G是周期骨架，连接一定的
结点可用于周期铺 砌；当q不属于{1,2,3,4,6}时，G是非周期骨架，连接一定的结点可
用于非 周期铺砌。
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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷
※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.229.154]
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