精度」描述的是实验结果和统计意义上的「平均值」之间的差距，也就是「不确定度」。

要破题，首先要准确定义什么叫「精确」。
对「精确」的理解，一般来说有三种：

1. 能测量到的效应最小、最微弱；
2. 实验结果与理论预言值偏差最小；
3. 实验本身的误差（统计误差+系统误差）最小。

如果从实验科学的角度出发，我们采取的是第三种理解。这实际上涉及到两个概念：Accuracy（准度）和Precision（精度）。准度描述的是实验的结果和「真值」——真理的值、绝对意义上的真正的值——之间的差距；「精度」描述的是实验结果和统计意义上的「平均值」之间的差距，也就是「不确定度」。这两者的意义是差了十万八千里的，不可混淆。「真值」是客观存在的，比如光速的值，是客观存在的，但人类未必可以准确地得知。以前的科学工作者，一般采用一个广受承认的理论预言值或预测值，作为「真值」，以方便描述实验的准度。但现代科学认为，所有的物理理论都是「有效理论」，都有其适应范围，否定「普适理论」的存在，即使现今的理论未有找到不适用的反例，未必代表以后没有（参见牛顿绝对时空观和狭义相对论的历史）。从这个意义上来说，「精度」比「准度」更适合用来衡量物理学实验的精确性——因为你不知道你所用的理论是否是「正确的」，失去了标尺，比较也就失去了意义。
那么从这两个概念出发，我们可以判断：

1. 理解1不是个好定义，因为它的精度和准度都有可能很差，比如家用体重秤，以千克为单位可以给你小数点后4位的数字，但误差可能达到500克；
2. 理解2定义的是准度，但没有涉及到精度，从上面的讨论中可知，它不是一个好的标准；
3. 这是当今实验科学采用的理解。

而我们说一个理论「精确」，需要做到两件事：

1. 实验的误差要尽可能地小（理解3意义下）。
2. 理论的预言值与实验测量值的差别要尽可能地小。

这里有一篇文章：
The Most Precisely Tested Theory in the History of Science
作者是Union College in Schenectady, NY的物理系副教授。他介绍了理解1和理解3意义下的两个「最精确」的实验。理解1意义下，相对论胜出，因为它能测量到的效应是。理解3意义下，QED（量子电动力学）胜出，那就是著名的实验，测量的是电子的反常磁矩。g是粒子磁矩，狄拉克方程里用g表示，也称为「g因子」。狄拉克方程预言，所以测量可以测量或者说测试，这个理论（QED）到底有多准确——这里的「准确」，指的是和「真理」的差距。目前电子反常磁矩的实验结果是：

括号里的28，表示末两位数字可以，即它的不确定性仅仅体现在末两位数字上。这是迄今为止，精度最高的实验。而从理解2的角度来考验，这个结果的理论值和实验值也是目前契合度最高的，反过来可以说明，QED是目前最精确的理论。
顺便说一句，

这里的就是曾博答案里提到的精细结构常数（Fine-structure Constant）。约等号意指本等式在一阶近似下成立，在高阶下需要修正。感谢@Octolet 指正。
所以，QED胜出。

最后补充一句，题目中所说的「量子力学」和「相对论」不是互斥的对象。实际上「量子场论」，也叫「相对论量子力学」，QED也就是「相对论电动量子力学」。场论就是结合了相对论的量子力学，因此题目问得有点啼笑皆非。再扯远一点，我不知道是不是科普读物的不准确造就了这么一个刻板印象：相对论和量子理论是不相容的两个学科。实际上不是。准确来讲，当今认为的四大基本作用（强相互作用，弱相互作用，电磁相互作用，引力作用）中，头三种已经被量子化，分别形成了QCD（量子色动力学）和Electroweak Theory（弱电统一理论，统一了弱和电磁相互作用），如果QCD和EWT统一，则被称为GUT（Grand Unify Theory，也就是「大统一理论」）。但是，引力迄今没有被成功量子化，能描述引力的理论依然是广义相对论。如果认为引力最终是可以被量子化的，那么广义相对论就是量子场论的某个等效理论，量子化后的引力理论必须包含广义相对论的内容，就像狭义相对论必须包含牛顿力学的内容一样。