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第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(5)
§2.5谐变势的多极展开及电磁辐射场
§2.5.1 谐变势的多极展开
电磁波是从交变运动的电荷系统辐射出来的。在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。本节先研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。
1. 计算辐射场的一般公式 当交变电流分布给定时,计算辐射场的基础是推迟势公式
（3.1）
（3.1）
若电流J是一定频率的交变电流,有
（3.2）
代入（3.1）式中得
（3.3）
式中k = ω/c为波数.令
有
（3.2）代入（3.1）式中得
（3.3）式中k = ω/c为波数.令
有
（3.4)在（3.3)和（3.4)式中,因子eikr是推迟作用因子,它表示电磁波传至场点时有相位滞后kr。
电荷密度ρ与电流密度J由电荷守恒定律相连系，在一定频率的交变电流情形中有
（3.5）
由此,只要电流密度J给定,则电荷密度ρ也自然确定。由（2.12)式,标势φ也跟着确定.因此,在这情形下,由矢势A的公式（3.4)就可以完全确定电磁场.磁场B可直接由A求出,
（3.6)算出B后,电场E可由麦克斯韦方程求出.在电荷分布区外面, J = 0,由真空中的麦克斯韦方程
得
（3.7)
（3.6)算出B后,电场E可由麦克斯韦方程求出.在电荷分布区外面, J = 0,由真空中的麦克斯韦方程得 （3.7)
2. 矢势的展开式 在矢势公式（3.4)中,我们注意到存在三个线度:电荷分布区域的线度l，它决定积分区内| x '|的大小;波长λ=2π/k以及电荷到场点的距离r。在本节中我们研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐射.所谓小区域是指它的线度l远小于波长λ以及观察距离r，即
（3.8）
至于r和λ的关系，可以区别三种情况
（3.8）至于r和λ的关系，可以区别三种情况
（1）近区 r << λ ,
（2）感应区 r ~ λ ,
（3）远区（辐射区）r >> λ 。
三个区域内场的特点是不同的。在近区内，kr << 1，推迟因子~ 1，因而场保持恒定场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和恒定场相似。在远区内，电磁场变为横向的辐射场。感应区是一个过度区域。实际上，通常是在离发射系统远处接收电磁波的，对这类问题需要计算远场，由远场可定出辐射功率和角分布（方向性）。但是，如果要研究场对电荷系统的反作用（辐射阻抗）以及几个靠近的发射系统之间的相互影响时，必须计算近场和感应场。我们在这里主要讨论远区的场。
三个区域内场的特点是不同的。在近区内，kr << 1，推迟因子~ 1，因而场保持恒定场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和恒定场相似。在远区内，电磁场变为横向的辐射场。感应区是一个过度区域。实际上，通常是在离发射系统远处接收电磁波的，对这类问题需要计算远场，由远场可定出辐射功率和角分布（方向性）。但是，如果要研究场对电荷系统的反作用（辐射阻抗）以及几个靠近的发射系统之间的相互影响时，必须计算近场和感应场。我们在这里主要讨论远区的场。
选坐标原点在电荷分布区域内，则|x'|的数量级为l。以R表示由原点到场点x的距（R = | x |），r为由原点x '到x的距离。有
（3.9）
n为沿R方向的单位矢量．由条件（3.8）式，可以把A对小参数x '/R 和x '/λ展开．在计算远场时，只保留1/R的最低次项，而对x '/λ的展开则保留各级项．
（3.9）n为沿R方向的单位矢量．由条件（3.8）式，可以把A对小参数x '/R 和x '/λ展开．在计算远场时，只保留1/R的最低次项，而对x '/λ的展开则保留各级项．
把（3.9)式代如（3.4)式得
（3.10）
由于我们只保留1/R的最低次项，所以在分母中可略去−n∙x'项,但是相因子中的−n∙x'不应略去,这是因为这项贡献一个项因子
所以这里涉及的是小参数x '/λ而不是x '/R相位差2πn ∙x '/λ一般是不能忽略的，所以在相因子展开式中我们保留x '/λ的各级项。
（3.10）由于我们只保留1/R的最低次项，所以在分母中可略去−n∙x'项,但是相因子中的−n∙x'不应略去,这是因为这项贡献一个项因子
所以这里涉及的是小参数x '/λ而不是x '/R相位差2πn ∙x '/λ一般是不能忽略的，所以在相因子展开式中我们保留x '/λ的各级项。
把（3.10)式中的相因子对kn∙x'展开得
（3.11）
（3.11）
下面我们会看到，展开式中各项对应于各级点磁多级辐射。
§2.5.2 电偶极辐射场
1. 电偶极辐射 现在我们研究展开式的第一项
（3.12）
（3.12）
先看电流密度体积分得意义。电流是由运动带电粒子组成的.设单位体积内有ni个带电量为ei，速度为υi的粒子，则它们各自对电流密度的贡献为nieiυi ，因此
其中求和号表示对各类带电粒子求和。上式也等于对单位体积内所有带电粒子的eυ求和。因此
式中求和号表示对区域内所有带电粒子求和。但
式中p是电荷系统的电偶极矩。因此
（3.13）
其中求和号表示对各类带电粒子求和。上式也等于对单位体积内所有带电粒子的eυ求和。因此式中求和号表示对区域内所有带电粒子求和。但式中p是电荷系统的电偶极矩。因此 （3.13）
图5-2表示一个简单的电偶极子系统,它由两个相距为Δl的导体球组成，两导体之间由细导线相连，当导线上有交变电流I时，两导体上的电荷±Q就交替地变化，形成一个振荡电偶极子。这系统的电偶极矩为
当导线上有电流I时，Q的变化率为
因而体系的电偶极矩变化率为
（3.14）
与一般公式（3.13）相符.
当导线上有电流I时，Q的变化率为因而体系的电偶极矩变化率为 （3.14）与一般公式（3.13）相符.
由此可见,（3.12）式代表振荡电偶极矩产生的辐射
（3.15）
（3.15）
在计算电磁场时,需要对A作用算符▽。由于我们只保留1/R的最低次项，因而算符▽不需作用到分母的R上，而仅需作用到相因子eikR上，作用结果相当与代换
（3.16）
由此,
（3.17）
（3.16）由此, （3.17）
若取球坐标原点在电荷分布内,并以p方向为极轴,则由上式,B沿纬线上振荡,E沿经线上振荡（图5-3）,有
（3.18）
磁感应是围绕极轴的圆周,B总是横向的,电场线是经面上的闭合曲线,如图5-4所示.由于在空间中▽∙E = 0，E线必须闭合，因此E不可能完全横向，只有在略去1/R高次项后，E才近似为横向。因此电偶极辐射是空间中的TM波。
在辐射区电磁场 ~1/R，能流 ~1/R2,对球面积分后总功率与球半径无关,这就保证电磁能量可以传播到任意远处。
（3.18）磁感应是围绕极轴的圆周,B总是横向的,电场线是经面上的闭合曲线,如图5-4所示.由于在空间中▽∙E = 0，E线必须闭合，因此E不可能完全横向，只有在略去1/R高次项后，E才近似为横向。因此电偶极辐射是空间中的TM波。
在辐射区电磁场 ~1/R，能流 ~1/R2,对球面积分后总功率与球半径无关,这就保证电磁能量可以传播到任意远处。
2. 辐射能流 角分布 辐射功率 在辐射问题的实际应用中,最主要的问题是计算辐射功率和辐射的方向性,这些都可以由平均能流密度 −S 求出.电偶极辐射的平均能流密度由（3.17-3.18)式和第四章（1.34)式得
（3.19）
（3.19）
因子sin2θ表示电偶极辐射的角分布，即辐射的方向性。在θ = 90°的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向（θ = 0或 π）没有辐射。电偶极辐射角分布如图5-5所示。
把 −S 对球面积分积得总辐射功率P。由（3.19）式，
（3.20）
由此看出,若保持电偶极矩振幅不变,则辐射正比于频率的四次方。频率变高时,辐射功率讯速增大。
（3.20）由此看出,若保持电偶极矩振幅不变,则辐射正比于频率的四次方。频率变高时,辐射功率讯速增大。
3. 短天线的辐射 辐射电阻 当直线天线的长度远小于波长时，他的辐射就是电偶极辐射。图5-6表示中心馈电的长度为l的天线。在天线两半段上，电流方向相同。馈电点处电流有最大值I0。，在天线两端电流为零。若天线长度l<<λ，则沿天线上的电流分布近似为线性形式
（3.21）
由（3.13）式，电偶极矩变化率为
（3.22）
由（3.20）式得短天线的辐射功率
（3.23）
上式适用于l<<λ情形。由此式看出,若保持天线电流I0。不变,则短天线的辐射功率正比于（l /λ）2。
（3.21）由（3.13）式，电偶极矩变化率为
（3.22）由（3.20）式得短天线的辐射功率
（3.23）上式适用于l<<λ情形。由此式看出,若保持天线电流I0。不变,则短天线的辐射功率正比于（l /λ）2。
由于电磁能量不断向外辐射，电源需要供给一定的功率来维持辐射。由（3.23）式,辐射功率正比于I02，因此辐射功率相当于一个等效电阻上的损耗功率。这个等效电阻称为辐射电阻Rr 。令
（3.24）
由（3.23）式有
（3.25）
由于( μ0/ε0 )1/2 = 376.7Ω , 因而
（3.26）
天线的辐射电阻愈大,表示在一定输入电流下,辐射功率愈大.因此,辐射电阻通常是用来表征天线辐射能力的一个量。由于短天线的辐射电阻正比于（l /λ）2,因此,短天线的辐射能力是不强的。要提高辐射能力,必须使天线长度增大到最小与波长同级。这情况下天线的辐射以不能用电偶极辐射来表示。
（3.24）由（3.23）式有
（3.25）由于( μ0/ε0 )1/2 = 376.7Ω , 因而
（3.26）天线的辐射电阻愈大,表示在一定输入电流下,辐射功率愈大.因此,辐射电阻通常是用来表征天线辐射能力的一个量。由于短天线的辐射电阻正比于（l /λ）2,因此,短天线的辐射能力是不强的。要提高辐射能力,必须使天线长度增大到最小与波长同级。这情况下天线的辐射以不能用电偶极辐射来表示。
课下作业：教材第225页，5。
5. 设A和φ是满足洛伦兹规范的矢势和标势。
（1） 引入一矢量函数Z(x,t) (赫兹矢量)，若令 
，证明 
。
，证明 。
（2） 若令 
证明 Z 满足方程 
，写出在真空中的推迟解。
证明 Z 满足方程 ，写出在真空中的推迟解。
（3） 证明 E 和 B 可通过 Z 用下列公式表出，
。
第10讲 习题解答
1、若把Maxwell方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E和B的着两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
补充题10：根据麦可斯韦方程组，推导满足洛伦兹规范的达郎贝尔方程。利用电荷守恒定律，验证A和φ的推迟势满足洛伦兹条件。
证： 
洛伦兹条件： 
利用 
所以 
证： 
而 
所以 
所以 
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