低溫冷原子之方式，一般稱之為飛行時間測量法(time
物理雙月刊（廿七卷二期）2005 年4 月
384
銣原子之玻色-愛因斯坦凝聚
文/韓殿君
摘要
利用雷射冷卻，磁阱囚禁與蒸發冷卻等方式，可將銣原子氣體冷卻至達成玻色-愛因斯坦凝聚所需之數百
nK 之低溫。本文將簡介達成此一量子簡併態之實驗原理、方式與過程。
一、前言
玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation，
以下簡稱玻愛凝聚)之物理現象由愛因斯坦於1924
年，以印度物理學家玻色(Bose)之光子統計原理為基
礎所提出[1, 2]。愛因斯坦與玻色之統計原理可推廣至所
有玻色子(bosons)，此即所謂玻色- 愛因斯坦統計
(Bose-Einstein statistics)。一群由相同(identical)[3]玻色
子構成之系統(ensemble)，即使該群玻色子間並無任
何作用， 隨著溫度降低， 並達一臨界值(critical
temperature)時，該群粒子將大量且巨觀群聚於該系統
之能量最基態，此即所謂玻色-愛因斯坦凝聚，為另一物質態(new state of matter)。
玻愛凝聚與一般所熟知於空間之凝聚現象，如水
蒸氣凝結成水等不同。玻愛凝聚乃系統之組成粒子凝
聚於動量空間(momentum space)，雖於特殊情況下亦
同時伴隨空間之上之凝聚。氣態中性原子玻愛凝聚
體，因粒子間之距離遠較其為液態及固態時為長，因
而粒子間之作用力極弱，且極為接近一理想氣體(ideal
gas)之系統。雖玻愛凝聚現象早於其他系統中被觀
測，如液態氦中的超流性(superfluidity)與液態氦庫柏
對(Cooper pairs)之形成等[4, 5]。然而，氣態玻愛凝聚體
則提供一極單純、理論上極易分析與處理、且實驗上
可操控之絕佳系統。
氣態中性原子玻愛凝聚於1995 年由美國科羅拉
多大學的康乃爾(E. Cornell)、魏曼(C. Wieman)[6]與麻
省理工學院的凱特利(W. Ketterle)[7]等首度於實驗室
中達成。至今全球已超過30 個實驗群有能力進行該
類實驗。絕大多數分佈於美國、歐洲如德國、法國、
義大利、英國與奧國等。在亞洲國家中，由日本首先
達成玻愛凝聚，中國大陸於2002 年亦跟進。中正大
學物理系雷射冷卻實驗室則於2003 年9 月成功產生
玻愛凝聚體。
利用雷射冷卻(laser cooling)，磁阱囚禁(magnetic
trapping)與蒸發冷卻(evaporative cooling)等方式除了
將氣態中性原子冷卻至玻愛凝聚之量子簡併態
(degenerate state) 之外亦可以相同方式將費米子
(fermions)冷卻並達成量子簡併[8]。該一領域之研究近
三年來有極大之實驗突破與進展(請參閱本期雙月刊
中金政教授的文章)。
本文將簡介在中正大學達成此一量子簡併態之
實驗原理、方式與過程。
二、雷射冷卻與囚禁(Laser Cooling and Trapping)
利用雷射光束與一對反赫氏線圈(anti-Helmholtz
coils) 所產生之不均勻磁場， 可將中性原子囚禁
(trapping)於空間中，並同時予以冷卻(cooling)至數百
μK。此即所謂磁光阱(magneto optical trap, 或簡稱
MOT)，由朱棣文 (Steven Chu)於1986 年首度實現
[9]。磁光阱是實現氣態玻愛凝聚的第一步，亦為最關
鍵的第一步。冷卻與囚禁為兩種不同之物理概念。簡
而言之，冷卻為動量空間(momentum space)或速度空
間(velocity space)之壓縮(compression)，而囚禁則為座
標空間(coordinate space)之壓縮。物理學家則將速度
空間與座標空間合併而統稱為相空間(phase space)。
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每單位相空間格子(lattice)中填滿至少一個粒子時，即
相空間密度大於1 之情況下，則稱該系統達成量子簡
併態(quantum degenerate state)。玻愛凝聚即為其典型
代表。此時，非以量子理論不足以描述其中物理。一
般處於古典狀態下之系統，如室溫下之空氣，其相空
間密度距離達到量子簡併態約有18 個數量級之遙。
因此，如何達成該量子簡併態，長期以來一直為物理
學家之研究課題。而藉由磁光阱之實現，冷原子之相
空間密度因此推進至距離量子簡併態之臨界點僅5~6
個數量級。原子物理學家於焉思忖，以此為基礎將有
機會達成玻愛凝聚。事後證明，此一想法為真。
單磁光阱若無結合其他冷原子源，如塞曼減速器
(Zeeman slower[10])等，於一般條件之下，僅能捕獲約
108 個冷原子。且所需之捕獲時間約數分鐘之久。主
要原因為磁光阱之阱深僅能捕獲原子源中速度小於
30 m/s 之原子。由於一般熱原子源中，該類原子處於
馬克思威爾-玻茲曼速度分佈(Maxwell-Boltzmann
velocity distribution)之尾端，本就為數甚少。加之，
原子間存在非彈性碰撞，此將限制單双磁光阱中之最
大捕獲之原子數目、原子空間密度、與原子置入
(loading)之時間。
為改進單磁光阱之上述弱點，我們採用双磁光阱[11] (double MOT)之設計，如圖一所示。該系統係利用
其中一阱作為捕獲背景原子，稱上游磁光阱(upper
MOT)。為達快速捕獲背景原子之目的，該阱之真空
度將因背景原子分佈較多而較差，約為 10-9 torr。上
游磁光阱中之原子將被一道雷射光，即推動光束
(pushing beam)，經由一細長連接管迅速(< 40 ms)推至
另一下游磁光阱(lower MOT)中，而被捕獲。因上游
磁光阱中之原子之溫度已低至數百μK，該冷原子團在
通過該50 cm 之所需之時間內，僅擴散數釐米(mm)。
且因重力之影響而下落之數釐米，相較於磁光阱之雷
射光束直徑約 2.2 cm 之大小，可謂微不足道，因此
將能有效被下游磁光阱捕獲。而下游之真空系統為一
自製6.2 cm×3.3 cm×3.0 cm 之pyrex 玻璃室[12]。其中
之真空度約為3×10-11 torr。為達成此一差分抽氣
(differential pumping)要求，上、下游磁光阱各分別由
一組離子幫浦獨立抽氣。下游磁光阱之置入過程，藉
由不斷重複推動上游磁光阱之原子補充，以致於飽
和。一般而言，
本實驗室可於15 秒內，捕捉超過2×109 個銣原子。因
玻璃室之中真空度較高，背景熱原子較少，與該類原
子之非彈性碰撞將大幅減少，因此原子一旦被捕獲，
其存活期(life time)較長，約數十秒至數分鐘之久。一
般而言，磁光阱中原子之密度約為1010原子/cm3 ~ 1011
原子/cm3，較空氣密度約小8~9 個數量級。因此，可
算是非常稀薄的(dilute)。該實驗裝置圖，如圖二所示。
三、磁阱囚禁(Magnetic Trapping)
藉由雷射冷卻之助，雖能將中性原子冷卻至數百
μK 之超低溫。然而，雷射冷卻雖以接近原子能階間
躍遷之共振光子扮演”冷媒”之角色，然而該類近共振
圖二、 中正大學玻色-愛因斯坦凝聚實驗裝置。
圖一、双磁光阱實驗裝置示意圖。
推動光束
連接管 玻璃皿
下游磁光阱上游磁光阱物理雙月刊（廿七卷二期）2005 年4 月
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光子(near resonance light)亦造成其所能達成原子最低
冷卻溫度與最大空間密度之限制[13]。因此，傳統雷射
冷卻方式雖能極有效率地將原子之相空間密度推進
只距離量子簡併態之臨界點5~6 個數量級，卻仍力猶
未迨，而必須另謀他法。否則難竟其功。而其替代之
法則利用磁阱囚禁。
磁阱囚禁中性原子之原理，主要利用原子之磁矩
μ與外加之不均勻空間分佈之磁場B(r)間作用。其間
之作用能為U(r)=-μ•B(r)，如圖三所示。因為原子
之磁矩與原子所處之塞曼能階(Zeeman states)有關。
某些塞曼能階對應之磁矩與外加磁場方向相反，則該
類能階之磁位能隨磁場增加而增大。原子處於該類塞
曼能階時，其磁位能之最低點即為磁場最低點，因此
稱為低場追隨原子(low field seeking state atoms)。反
之， 稱為強場追隨原子(high field seeking state
atoms)。由於馬克思威爾方程式不允許空間中DC 磁
場最高點之存在。因此，除非採用交變磁場(AC
magnetic field)，一般採用之磁阱僅能囚禁低場追隨原
子。而處於強場追隨態之原子被置入DC 磁阱中，將
自動離開磁阱中心。因此，磁阱有自動篩選低場追隨
原子之特性，此稱為自我純化(self-purification)。由於
雷射冷卻所產生之冷原子分佈於所有塞曼能階，為使
置入磁阱前預先純化至某一低場追隨態，以增加磁阱之置入效率，該目的可藉由光激發(optical pumping)[12]
方式達成。此一階段，我們約可置入約6×108 個銣原
子於磁阱中。
由該方式所產生之磁阱，屬於保守力場。因此，
由雷射冷卻所產生之高相空間密度之冷原子便有一
極佳棲息之處。一般而言，在真空度約10-11 torr 之條
件下，原子可有數分鐘之生命期。圖四中所示，乃利
用線圈組之排列方式、尺寸、與各線圈中電流之大
小， 便可決定原子於磁阱中之位能形式與阱深
(potential depth)。一般用於囚禁冷原子之磁阱，包括
本實驗採用之拓樸阱(time-averaging orbiting potential
trap, TOP trap) [14]，其位能均為簡諧(harmonic)形式。
磁阱提供一極佳之囚禁條件，又可快速開關[15]。
然而，其保守力場並未提供冷卻機制。欲繼續增加原
子之相空間密度約5~6 個數量級，必須尋求一新的冷
卻方式。蒸發冷卻(evaporative cooling)即為其中理想
且可行者。
四、蒸發冷卻
蒸發冷卻由Hess 於1986 年提出[16]。主要原理乃
基於一多粒子之平衡系統中，其能量分佈為一玻茲曼
形式。粒子間以彈性碰撞(elastic collisions)交換動能以
達成熱平衡。當粒子能量高於所囚禁之位能障
(potential barrier)時，該類粒子將脫離位能阱，並同時
帶走能量。所剩餘之粒子將再藉由彈性碰撞重新分配
能量，而達成新的熱平衡。其總能量因脫離粒子攜走
部份而減少，因而新的熱平衡溫度將降低。此即所謂
蒸發冷卻。日常所見，如熱豆漿、或熱咖啡之變冷等
即屬於此典型例證。
然而，於磁阱中執行原子之蒸發冷卻有諸多特性
與限制。首先，冷原子於磁阱中與背景熱原子或與阱U(r)
U(r) = -μ．B(r)
r
低場追隨原子
強場追隨原子
圖三、 磁阱原理示意圖。
圖四、拓樸磁阱構造簡圖。
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中其他冷原子之非彈性碰撞，因而有一限度之生命
期。如前所述，在真空度約為10-11 torr 且原子密度小
於1012 原子/cm3 之條件下，其生命期約數分鐘。若在
該有限時間內無法達成所欲冷卻之低溫，則蒸發冷卻
將無法成為有效之冷卻方式。再者，蒸發冷卻之執行
速率與冷原子間之彈性碰撞有效截面積(effective
cross section) σ、原子密度n、及原子溫度T 成正比。
唯有當冷原子間之彈性碰撞時間遠短於磁阱之生命
期，則原子間經由蒸發高能量之粒子後，方可於短時
間內達成新的熱平衡，並因而降低溫度。唯有如此，
蒸發冷卻方能持續進行，原子團之溫度因而降低至所
需。實驗上，如何尋找適當蒸發冷卻路徑，以維持冷
卻期間冷原子間彈性碰撞率持續增高，甚或達於失控
(runaway)之條件，實為一重要課題。
其次，蒸發冷卻是以失去較高能量之粒子以達冷
卻之目的。此時，高能量之粒子便扮演冷媒之角色。
此點與雷射冷卻原子不同。基本上，於雷射冷卻中，
原子數不因冷卻而減少。然而，蒸發冷卻之過程中，
原子數將隨著溫度降低而逐漸減少。倘若蒸發冷卻之
效率[17]不高，則當所有原子用盡之前，亦無法達到所
需之溫度與相空間密度。一般而言，超過百分之九十
以上之原子在達到量子簡併前就已蒸發出磁阱而離
去，最後僅存少數原子形成簡併氣體。為增加簡併氣
體中之原子數，因此最初於磁阱中之原子數越多，則
越是有利於此目的之達成。這也是為何最初於磁光阱中若能捕獲超過109 個原子之大量原子數，對量子簡
併氣體之產生極為有利。
此外，於磁阱中進行蒸發冷卻必須尋找如何趕離
較高能量原子之機制。如直接非緩近式(non-adiabatic)
降低磁阱高度，亦將同時減小原子之空間密度，因而
減緩原子間之彈性碰撞速率，最終將導致蒸發冷卻失
效。可行方法之一，乃利用磁阱本身於空間中之不均
勻磁場所造成原子於不同位置上不同之塞曼分裂
(Zeeman splitting) (參閱圖五)。因唯有低場追隨能階
之原子方能被磁阱囚禁。利用射頻波(radio frequency)
誘發原子自某一低場追隨能階躍遷至一強場追隨能
階，則該原子將離開磁阱中心，等同於蒸發。而射頻
波之頻率正可用以選擇所欲蒸發之原子。此一機制自
動存在於磁阱中。圖五中顯示，較高能量之原子其與
磁阱中心位移較低能量之原子為大。而位移越大，相
鄰塞曼能階間之差也越大，產生射頻波躍遷之頻率也
越高。因此，藉著降低射頻波之頻率即可逐步蒸發較
高能量之原子，對原子團進行蒸發冷卻。圖六(a) 所
顯示者，為射頻波誘發之蒸發冷卻前原子團之速度分
佈，該原子團中含有2×108 個原子，溫度為100 μK。
圖六(b)為蒸發冷卻後原子團之速度分佈，此時僅剩
105 個原子，但溫度卻低至 2 μK。
我們所採用之拓樸磁阱，由原子團起始溫度約15
μK 起始，經過約5 秒射頻波誘發之蒸發冷卻，便可
將原子冷卻至玻愛凝聚約450 nK 之臨界溫度。
mF=-1
RF photons mF=0
mF=1
r
圖五、磁阱中執行由射頻波誘發之蒸發冷
卻示意圖。
蒸發離開磁阱之原子
圖六、由上至下，代表射頻波誘發之蒸發冷卻前、
後之原子團速度分佈圖
(a)
(b)
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五、玻色-愛因斯坦凝聚之達成
銣原子經雷射冷卻與囚禁， 極性梯度冷卻
(polarization gradient cooling)[18]，光學激發純化後置入
磁阱中囚禁。再於磁阱中繼而進行射頻波誘發之蒸發
冷卻。此時已可將銣原子之溫度冷卻至1 μK 左右或
更低，而空間密度亦增高至1013 原子/cm3 以上，並且
相空間密度已可達於玻愛凝聚所需。
觀測冷原子之溫度主要經由測量冷原子之速度
分佈，以決定原子團平均速度<v>。若該原子團已達
熱平衡，則該系統僅有唯一之平衡溫度T。熱力學中
之能量均分定律(equipartition principle)告訴我們，此
時每一維度之平均速度均相等， 即
<vx>=<vy>=<vz>=<v> 且 kBT=m<v>2，其中kB 為玻茲
曼常數，m 為原子質量。實驗上，通常測量冷原子之
速度分佈之方法，乃是將囚禁原子之位能阱突然關掉
[19]，然後等待一段時間(通常約為數 ms 至 數十
ms) ， 原子團則依其速度分佈而自然膨脹
(expanding)。若原子團膨脹後之大小遠超過其於阱中
空間分佈之尺寸，則此時原子團之空間分佈實為一速
度分佈。計算原子團自然膨脹時間與膨脹後之大小，
即可測得原子團平均速度與其平衡溫度T。此一測量
低溫冷原子之方式，一般稱之為飛行時間測量法(time
of fly measurement, TOF measurement)。
若原子團為一般非凝聚態氣體，其三維速度分佈應為一球形。實驗上之觀測均利用光學吸收
(absorption method)之方式，將三維分佈之冷原子團照
射一微弱、接近原子共振頻率之雷射光束，然後將該
雷射光束投影至一平面CCD 像機，以記錄光束被原
子團吸收後之二維影像。一球形之三維速度分佈即使
投影至二維平面，亦應呈現圓形之二維分佈。因此，
利用飛行時間測量法，一般非凝聚態氣體之速度分佈之二維投影將呈現圓形，如圖七、八中 (a)所示。
隨著蒸發冷卻持續進行，原子團溫度持續降低，
並伴隨相空間密度增加。當溫度降至玻愛凝聚之臨界
溫度時(Tc=450 nK)，原子團將開始凝聚於速度分佈之
最低處。此時，原子團之速度分佈將突然呈現雙高斯
分佈(double Gaussian distribution)，且中央速度之最低
處之分佈呈橢圓形，而非圓形，圖七、八中 (b)所示。
主要原因乃為此時部份之原子團中之原子已為玻愛
凝聚態，其速度分佈已非古典熱力學描述，而必須用
波動方程，即Gross-Pitaevskii equation[20]來描述。此
處原子團呈橢球形分佈肇因於磁阱之囚禁位能並非
球形對稱，因此原子團之波函數，及其平方[21]也非球
形對稱。當溫度繼續降低，凝聚態之原子數繼續增
加，一般之熱原子(thermal atoms)數比例降低，直到
所有原子形成一幾全為凝聚態之原子團，也就是一純
凝聚體(pure condensate)。此時之凝聚體猶如一整體之
物質波(matter wave) 。將兩團純凝聚體交會
(overlapping)，將形成物質波的干涉條紋，一如光波
間的干涉。圖七、八中 (c)所示，即為包含3 104 個
銣原子之近似純凝聚體(almost pure condensate)。該近
似純凝聚體之生命期(1/e lifetime)，於我們之實驗條件
下約為10 秒。
圖七、 由左至右，分別代表銣原子於達成玻色－愛因斯坦
凝聚前、達成時、與幾乎為完全玻愛凝聚體時之速度分佈
圖(註，該測量之飛行時間為 18 ms)。圖中之著色代表原子
分佈。紅色代表原子分佈最多，藍色則代表原子分佈越少。
該圖為三維速度分佈於二維平面之投影。水平軸為位置座
標r，縱軸為位置座標z。
(a) (b) (c)
圖八、此三維顯示圖為圖七之另一呈現方式。縱軸
代表代表原子數目之分佈。水平軸分別為位置座標 r
與z。
(a) (b) (c)
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六、結論
玻愛凝聚之達成僅為研究相關有趣物理之第一
步。利用相關技術與理論亦同時擴及於費米子。該研
究由最初僅用於原子與分子物理之領域，經二十餘年
之努力已將該領域推廣至與統計物理、凝聚態物理、
天文物理等跨領域之研究。此乃當初之原子物理學家
始料未及。這也是科學研究有趣之處。
感謝清華大學余怡德教授、成功大學蔡錦俊教授
的熱心幫忙、交通大學洪天河先生為本實驗製作玻璃
真空室，以及洪德昇、藍永昌、韓百增、楊蘭昇與黃康豪同學在本實驗各階段所作的貢獻。
參考資料：
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對一群原子玻色子而言，除其原子核結構與能態
相同外，其電子能態亦必須相同。
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12. 該玻璃真空室由交通大學電物系洪天河先生製
作。其中之真空度可達3 10-11 torr。
13. 磁光阱中，光子之反彈(photon recoil)限制原子最
低可達溫度。臨近原子間光子之再吸收(photon
reabsorption)限制了原子最高可達之空間密度。
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Ensher, and Eric A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 74,
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15. 磁阱之開關速度，一般皆小於或接近1 ms。
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17. 蒸發冷卻效率的定義為
N
dN
d
p
p
ρ
ρ
γ = −。γ 的意
義為，當原子數目N 減少X 倍時，相空間密度ρp
會增加Xγ 倍。因此，γ是蒸發冷卻的一個重要的
參考指標。在冷卻的每一個階段中，我們要求γ
值達到最大，以得到最大的冷卻效率。
18. J. Dalibard and C. Cohen-Tannoudji, J Opt. Soc. Am
B 6, 2024 (1989)。P. J. Ungar, D. S. Weiss and
Steven Chu, J Opt. Soc. Am B 6, 2058 (1989)。
19. 進行飛行時間測量法時，位能阱之關閉時間必須
以遠快於原子於阱中之振動週期，以免此一期間
為一緩進過程，使得原子有充份時間將動能轉換
為位能，導致低估位能阱於關閉之時刻原子團之
溫度。此一非緩進過之快速關阱將使原子團呈瞬
間膨脹(ballistic expansion)。為一般進行飛行時間
測量時所必須。
20. E. P. Gross, Nuovo Cimento 20, 454 (1961); J. Math.
Phys. 4, 195 (1963)。L. P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Theo.
Fiz. 40, 646 (1961)[Sov. Phys.-JETP 13, 451
(1961)]。
21. 實驗上所觀測者，為波函數之平方值。
作者簡介
韓殿君，美國德州大學奧斯汀分校物理博士，現任職
國立中正大學物理系。
Email:djhan@phy.ccu.edu.tw
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