數學幫助理論物理進步的例子, 3

數

學幫助理論物理進步的例子, 幾

何

方面有:

1.

英國的霍金(Hawking)/潘羅斯(Pen-

rose)

運用微分拓樸於黑洞理論;

2.

丘成桐/孫理查(R. Schoen) 證明了廣

義

相對論正質量猜測;

3.

丘成桐的卡拉比-丘空間(Calabi-Yau

space)

以及研究愛因斯坦方程的解。根

據

作者的了解, 上述第三項成就目前理論

物理

仍難有任何物理上有說服力的論證

可解釋, 這是數學很實質的貢獻之一。

幾

何與物理的迷思

蔡

宜洵

幾

何與物理的發展, 歷史上分分合合。

值

此新世紀元年, 目前的情況又是如何。本文

旨

在用回顧個人經驗的方式與一般讀者分享

一

些看法。

數

學與物理在許多人的學習經驗裡, 似

乎

是彼此獨立的課題, 只除了物理計算裡有

些

數學式子。一直到我唸高中, 仍感覺如此。

期

間曾聽說相對論要利用到微分幾何, 但又

聽說

懂相對論者全世界寥寥無幾, 因此只當

成特

例。當然微積分之於物理學是很重要的,

不

過這似乎來得自然得多(在學過微積分與

物理

之後), 因此不意外。下面一件事也顯示

數

學與物理的關聯性是有些陌生的。我在大

二

時, 翻閱了一本書:「數學物理的方法」, 它

是由

大數學家希爾伯特(Hilbert) 與庫朗

(Courant)

合寫的巨著。此書的書名提示“數

學

物理”(mathematical physics) 似乎是一

科

目, 就像數學、物理、化學· · ·一樣, 但是我

不

確定, 因此問了某位教授。他回答, “數學

物理

” 只是作者所用的書名而已, 不具有其它

的意

義· · ·。聽了之後, 有些失望, 但也沒再多

問。

在大學

期間(1979-1983), 個人感覺數

學

與物理的鴻溝似乎越來越大, 除了量子力

學

與算子理論, 相對論與幾何, 再也感覺不出

二者

會有何互相影響。可是若翻閱當時的數

學

書籍: 微分拓樸(differential topology)、

代

數幾何(algebraic geometry)、數論、多

複

變· · ·等等, 令人不禁納悶, 這麼龐大的數

學

, 難道就只能存在於數學家的想像裡嗎?

關

於這點, 我的學長姚鴻澤教授(我國

傑

出數學家, 美國2000年麥克阿瑟天才獎得

主

) 當時也與我談到了類似的困惑。他表示數

學上

研究了低維, 就要研究高維; 研究了具體

的

, 就轉向抽象的(推廣)。常常低維的, 具體

的

, 我們還可認為其有趣, 有意義, 但是再走

下去

的意義呢· · ·? 他問道, 變成為了求解問

題而解

問題, 那我們何不去解歐氏幾何的證

明題(那也困難得很呀!) 來一較高下算了