纸上乱弹物理学（11,11特别版）——孤子与单极
恩，很久以前就答应别人要写这个了，不过一直感觉没有把握。这会在节日的鞭策下花了两天终于写出来了，好像也没有想象的那么难写。
PS：
shiki从标题里硬是看出了孤单两个字，恩，所以我写的其实不是物理，而是寂寞——么？
纸上乱弹物理学——孤子与单极
物理学经历过多次革命，每一次革命都会摒弃原有的一些观念，建立新的概念和模型。不过，也有一些事物如小强一般，在一次次革命中存活下来，有些甚至在革命之后被发掘出更深刻的物理内容——孤立子（Soliton）和单极子（Monopole）这两个“钻石王老五”就是如此。
有记载的孤立子最早由苏格兰工程师Russell于1834年观察到。他看到运河之中的一个“大水包”保持了大致的形状和速度向前跑了1-2英里才消失——而一般的水波由于色散的缘故很快就会被抹平消失。Russell称其为“Wave of tranlation”，并在水槽实验中重复了类似现象。Russell的“大水包”的稳定性乍一看之下会很令人费解。因为在与“大水包”相同速度的参考例看来，这个“大水包”可是突兀的静止在水面上的——而无论是常识还是“能量最低原理”都告诉我们，水面总是会趋向于平如镜的稳定状态。Russell的“大水包”似乎成了长在经典力学身上的一个肿块。
物理学家仔细的对一些非线性系统考察之后发现，Russell的“大水包”在理论上是完全可能的，而且同能量最低原理没有任何矛盾之处。原因就在于系统前面“非线性”这个定语。我们先考虑简单的单粒子情况：线性系统有简单的弹簧势能：
V(s)=ks^2
只有一个极小值在s=0（它是线性的，因为力作为势的一阶导数正比于s），运动粒子的稳定状态就在s=0这一点。但是，如果我们加入一点非线性的因素，比如说把势能写成：
V(s)=s^4-s^2
系统将会在s=-1/2和s=1/2处拥有两个稳定的平衡点。就好像过山车的轨道，虽然最低的地方是在出口，但是整段轨道上却可以有好几个局部的“最低点”，过山车能量不够的话乘客可是会被卡在某个“最低点”到不了终点的。
同样的现象也可以出现在波动系统中，区别只是维数更高了。任何的波都可以用波函数A(x,t)来描述，此处A和上面单粒子中的s地位相同，系统的势能也将是A(x,t)的函数（或者说泛函，因为A(x,t)本身是x,t的任意函数）。同样由于非线性项的作用，系统势能打到极小的时候，A(x)可能并不为0，而且由于此时A仍然可以是坐标的函数，A(x)就可以具有某种形状——就像Russell看到的“水包”一样。严格来说，对于波动系统，平衡点也并不是一个真正的点，A(x)也可以跟一些参数有关。此时系统的势能处于极小值，同其它极小值之间有势垒的存在，当系统的能量不足以超过这个势垒的时候，A(x)就会是稳定的，直到由于耗散效应（摩擦力等等）将势垒逐渐抹平。这种孤零零的波也被称作孤波（Solitary wave），由由于波量子化之后是粒子，所以量子化的孤波也被称为孤（立）子（Soliton）（这个名字在很长一段时间被Physical Review的编辑所抵制，因为他们固执的认为只有实验上发现的粒子才可以被称作XX-on，所以那时候的作者只能将Soliton换成quasi-particle或者pseudo-particle。讽刺的是在supersymmetry出现以后，更多的粒子反倒不叫XX-on了）
经典的孤波解总有下面的性质：
1、不随时间变化，以示稳定。不过孤波仍然可以作为一个整体运动，因为这不过是做了一个参考系变换。
2、孤波总是会“凝聚”在空间的某个区域，换句话说，孤波的总能量是有限的。孤波大多像高斯函数一样有个明显的空间位置，所以即使经典的孤波远远看上去都像是个粒子。
3、要产生孤波必须有非线性效应。即使是很弱的非线性效应都可能产生孤波（但是一定要有），而且还这个孤波本身可能很强！
经典的孤立子有很多的应用，比如说光学，比如说木星大红斑，不过我这里想说的是在量子革命之后大放异彩的一种孤立子（理由很简单，我只懂这一种）。此乃后话，我们先把视角转向单极子。
说到单极子（Monopole）一般都是指磁单极子。电场和磁场实在是过于对称，所以总让人觉得电荷也应该和什么东西对称。的确，如果我们先写下真空中无源的Maxwell方程组（高斯单位）：
div E=0，curl E=-1/c dB/dt
div B=0，curl B=1/c dE/dt
在如下的对偶变换（duality transformation）1下（恩，或者叫Ctrl+R变换）：
E‘=B，B‘=-E
方程组：
div B‘=0，curl B‘=-1/c d(-E‘)/dt
div E‘=0，curl E‘=1/c d(-B‘)/dt
如何，还是原来的方程，只不过上下行换了个个，我们也可以去考察电磁波的各种物理观测量（比如，能量动量），结论是这些量都不随对偶变换而变化。我们也可以把变换稍稍扩展成一个转动2：
E‘=EcosA+BsinA，
B‘=-EsinA+BcosA
Maxwell方程组在这个转动之下仍然是不变的（这里的方程组都写在Gauss单位制下，因为在该单位制下电场和磁场量纲相同，这也是很多教授抵制SI单位的原因之一）。
那么，如果加上电荷之后这个对偶性如何呢？其实也不难。在变换1下，一个只带电荷的粒子会变成一个只带磁荷的粒子，也就是磁单极。在变换2下，一个带电荷的粒子会变成一个既带电荷也带磁荷的粒子（关于经典电磁对偶的具体讨论，见Jackson）。总之，如果我们画出一个2维的直角坐标，横轴是电荷量，纵轴是磁荷量，那么横轴上的点将代表带电粒子，纵轴上的点代表磁单极，平面上任意一点代表既带电荷又带磁荷的粒子，这种粒子叫dyon（很不幸dyon缺乏标准的中文译名，似乎有人翻译成“双子”，也许双荷子更准确一些——顺便鄙视一下现在国内名词和国外名词严重脱节的状况，怀念仍然有物理学名词委员会的时代）。在这个平面上，变换2代表一个转了角度A的转动，变换1当然就是一个90度的转动了。加入磁单极和dyon之后，我们可以看到，电和磁之间的“对称”越来越完美了。
你可以注意到我一直使用的是对偶（duality）而并非对称（Symmetry）。因为毕竟这个变换把粒子的电荷和磁荷变掉了，虽然变换后的理论和原有的理论结构上一样，但毕竟是另一个相互作用常数不一样的理论了，所以这并不是像规范对称一样的对称性变换。不过当我们知道电荷解的形式之后，我们可以通过对偶变换轻易得到磁单极解和dyon解，因为理论的形式并没有变。对偶性在物理中出现的也很早，而且是大家很熟悉的东西，比如经典力学中心势问题中1/r势（万有引力）和r^2势（胡克力）就是对偶的。听起来很扯，不过这是事实，一个证据就是只有万有引力和胡克力可以有闭合的轨道（想一想牛顿和胡克之间的关系，就会觉得万有引力和胡克力的对偶很有喜感，也许他们两个人也是对偶的而且他们两个意识到了这一点，所以关系才那么不好，哈哈哈。。。这是胡说八道）。对偶性在弦论中甚至扩展到了强-弱耦合常数的对偶，给很多困难的计算带来福音，不过具体细节属于超超超展开，我们还是不要跑题了（以后我也许会写，你也许会看？）。
磁单极子在经典电动力学里没什么用。任何粒子都可以用电-磁荷平面上的一个点来代表，如果所有粒子的电荷和磁荷之比都一样，也就是说如果所有的粒子都分布在一条直线上，我们可以把电荷坐标轴转到这条直线上，把电场磁场重新定义一下，世界上就又没什么磁荷了。至少现在对于质子、中子、电子的测量表明他们确实在一条直线上，误差小于10^-20！找磁单极就是寻找一个在这条直线之外的粒子，不过找到了又能如何呢？磁铁又不会一下子不磁了。所以1894年Pierre Curie提出磁单极假设的时候不受重视也挺正常（觉得这个人眼熟？恩，他夫人很有名，叫Maria Sklodowska，跟他结婚后被称作Mrs Curie。啥？你还不知道他和她是谁？哦，你的素质低于二战时候德国陆军平均水平）。
量子力学和Dirac在1931年给磁单极子提供了更重要的意义。从Millikan的油滴实验我们知道电荷是量子化的，但是电荷的量子化和量子力学似乎毫无关系！Dirac最早可能是想研究量子力学里面的磁单极，但是量子力学里面描述电磁场最好是用标量势phi和矢量势A，可是矢量势的存在是建立在磁场散度为0
div B=0
之上的，磁单极的存在直接破坏了这个条件，也就无法定义矢量势A。为了解决这个问题，Dirac看着他手头的通电螺线管。。。恩，如果我们站在螺线管外面很靠近某一个头A的地方，我们会觉得磁场都是从螺线管A端跑出来的（或者跑进去，结论类似），就好像螺线管的这一端点A像电荷发射电场一样往外发射磁场。当然，如果我们跑到螺线管里面去看，我们会发现磁场线是绕圈的。可是如果这个螺线管越来越细，那么越来越多的人会处在螺线管的外面，也就会觉得螺线管的A端是磁场线的源头——如果把螺线管缩成一条线（并不是把螺线管拉成直线，而是想象螺线管以无穷小的半径缠绕）并且把另一头B拉到无限远，那么只要不是正好站在线上，你就会觉得螺线管的A端就像是磁荷一样产生磁场。螺线管外部的矢量势有定义，那么磁单极的矢量势也有定义——当然，你要从空间去掉那根无限长无限细的螺线管——这个螺线管后来被称作叫Dirac string。换个角度想一想，如果从三维空间里去掉一条从磁单极出发的射线，那么剩余的空间里任何封闭的2维曲面都不可能把磁单极包在里面，所以可以定义矢量势（静磁学里面有类似的技巧，在空间里划出特定的区域可以给磁场定义磁标量势），这从另一个角度说明了引入Dirac string 的合理性。不过我们虽然从磁单极引出了Dirac string，这条string并不属于磁单极的一部分，它对于其它粒子必须是不可见的——否则就真成了螺线管啦。Dirac string不可见的条件再加上量子力学里面的AB效应，Dirac得到结论，只要有磁单极存在，量子力学原理将要求电荷是量子化的！所以，为了电荷的量子化，实验家们，上吧！（注意，此处Dirac的思考过程是我通过Dirac的文章自己YY的，并不代表Dirac本人同意我的说法，当然他也不能反对就是）顺便一说，Dirac string的描述可以清楚的看出为什么磁单极子通过一个金属环之后金属环的磁通量有一个永久性的增加（实验中的磁单极信号）。
Dirac string是个不太清楚的概念，每一个磁单极后面都拖着一条长尾巴实在是太囧了，哪怕这条尾巴是非物理的也还是很囧，又不是哈雷彗星人。1968年，吴大峻和杨振宁（噢噢，终于出现中文人名了）推广了Dirac“螺线管外面空间”的想法，给出了给出了磁单极矢量势更好的描述方式。如果把磁单极子放在三维空间的原点，在整个三维空间中没法定义势。但是如果选取两个子空间A和B，A是三维空间去掉正z轴，B是三维空间去掉负z轴，A和B的并集是整个三维空间，并且A和B各自内部是可以定义势的（因为A、B各自相当于磁单极拖了Dirac string）。如果在A和B交集上的势相互之间只差一个规范变换，或者说A、B上定义的势互相相如，我们就说整个三维空间的势由A，B上的势决定。几何学家这此时插入：说了这么一大堆，电磁势不就是主从（principle bundle）上的一个联络么，磁单极不就是个non-trivial principle bundle么（数学家装B300句之首：XXX不就是个YYY么，其中XXX为任意具体事物，YYY为某对应抽象概念，例如：虎躯一震，上下嘴皮一动：“环面不就是一个亏格为1的Riemann surface么。”王八之气直逼而出）。于是磁单极就摇身一变成了微分几何中的对象甲，当然这种变身是很好的，因为我们可以直接使用微分几何中的定理的直接得到磁单极的性质——比如说电荷量子化就是同伦群（homotopy group）为Z的直接结果。吴杨稍早时候还有一篇文章（或者说字典）就是解释Yang-Mills规范场和微分几何之间的对应的，杨本人对此很自豪，认为是重新把数学和物理结合起来了。
我们再转回来看看这个时候孤立子的发展，这个时候量子场论已经诞生了。量子力学告诉我们经典的稳定平衡解其实是量子的基态。如果有好几个平衡点的话基态自然也是简并的了。量子场论中，每一个经典解就代表了一种真空态。平凡解（场为零）自然是一种真空态，每一个孤立子解（如果有的话）自然也代表了一种真空态，相对与孤立子真空的激发自然是一种新的粒子。一般的想法会认为每个粒子对应这一种场，每种场对应了一个粒子，这种说法对于电子光子问题不大，但是对于有孤立子的场来说，一个场可能对应不只一种粒子。打个比方，把亚欧大陆看成某个场的平凡真空，上面的人看成是从该真空激发出来的粒子，而美洲大陆相对于亚洲大陆就是一个孤立子，它上面“激发”出来的人就叫美洲人。美洲人和亚欧人的个体肯定是不一样的，但他们都是人，这就是粒子和场的关系。
量子场论里面考虑孤立子有什么用呢？这就要从核子说起啦。一开始人们以为基本粒子就是质子电子，可是随后发现了各种介子各种重子各种轻子。一开始数量少还可以把基本粒子扩充扩充，后来这个数目越来越大，甚至快要比元素都多了，于是没人觉得它们是基本的。那把它们当成更小东西组合出来的吧，就有了夸克模型。可是夸克之间的相互作用那可是强相互作用，而且能量越低相互作用越强，没有办法微扰计算的，只能搞出各种低能有效理论。但总不能每个粒子都搞个有效理论，正巧（？），一个非线性场方程如果有孤立子的话它可以表示好多个粒子，性价比很高。而且经典的孤立子解就有着空间凝聚、稳定这种好特性，活脱脱就是核子的好苗子（因为核子被看成是夸克的稳定束缚态）嘛。恩，你说核子衰变怎么办？好说，经典物理里面势垒能量不够没法穿过，可是量子里面不是还有隧穿效应么。。。各种心理建设完成，好，我们来看看手头有啥非线性模型，比如这个，Non-linear sigma model，名字一听就不是线性的，说不定可以用。Skyrme最早算了这个模型的孤子解，这种孤子就被成为了Skyrmion（当然是在同Physical Review顽固的编辑大战之后）。李政道对用孤立子表示核子的想法非常欣赏，以至于在他的书里用了一章专门讲孤立子。（其实6、70年代对核力和强相互作用的研究是复杂而比较混乱的，模型也并不只有孤子一种，比如弦论也是为了解释强相互作用而诞生的。这一段关于孤立子进入粒子物理有我相当的演义成分，有一些内容也未能完全依照时间顺序）
物理学家们随后将目光转向了一个更基本也更重要的非线性模型——Yang-Mills规范场。作为电磁场的非阿贝尔推广Yang-Mills场获得了电磁场所没有的自相互作用。1974年’t Hooft和Polyakov分别得到了SO(3)规范场破缺到U(1)电磁相互作用模型的一个孤立子解——而这个解既可以得到电荷也可以得到磁荷，也就是说这个孤立子可以是一个磁单极或者是双荷子，磁单极从此成了孤立子中的一种。顺便一说，’t Hooft和Polyakov两人的工作是完全独立的，因为’t Hooft是荷兰人，Polyakov是苏联同志——或者说是红夷和毛子，当时铁幕甚至有阻隔学术交流的功能——比现在的gfw牛多了——所以这两个人曾经不只一次在学术成过上撞车——两人一年前就在instanton的beta函数上撞了（铁幕对物理学的影响还有个有趣的例子，well-known的BRST对称性在以前是被称为BRS对称性，因为T被铁幕挡住了）。’t Hooft和Polyakov的磁单极影响力很大，因为他们所用的模型差一点就成了标准模型——唯一区别就是破缺SO(3)用的Higgs粒子“数量”不太一样。
N+1维时空中，场论中的孤立子和磁单极有个共同的特点，它们能量都是有限的（否则就没办法表示核子了），而且场强不随时间变化，因此无穷远处的场强都是零，也就是说N维空间中各个方向的无穷远可以看成一点。就像复平面可以紧致化成为一个2维球面一样，此时的N维空间也可以紧致化成一个N维球面。所有的孤立子解都是从N维球面到某个李群G的映射。拓扑学告诉我们，所有这种映射都可以用李群G的N阶同伦群分类——此类孤立子都被称作拓扑孤立子。也就是说，模型本身的拓扑性质决定了孤立子的种类以及量子化之后简并真空的个数。微分几何中还有一个Cartan-Mauer积分不变量来描述拓扑孤立子——这个量又可以和场论中的反常（Anomaly）联系起来。拓扑孤立子的研究为场论提供了一系列非微扰的研究方法（因为无法从平凡真空出发用微扰论和费曼图的到孤立子），其中最辉煌的成就是得到了Super-Yang-Mills规范场beta函数的严格解——一直到三圈图的微扰计算都证明这个解是正确的（除了拓扑孤立子自然还有非拓扑孤立子，李政道特别喜欢非拓扑孤立子，但是似乎这种孤立子在高能领域用处不大）。
在孤立子大力推动场论形式发展的同时，用孤立子却不太能够解释费米子核子，而且’t Hooft-Polyakov模型也不是标准模型。由于量子色动力学的崛起标准模型的建立，孤立子的研究又一次陷入了“低潮”。不过幸运的是，一次至今未完成的“革命”为孤立子重新注入了活力。1976年超对称（supersymmetry, SUSY）正式诞生之后，人们开始广泛研究超对称代数的各种表示。其中有一种叫做BPS的表示（BPS是三个人的首字母）引起了研究者的注意。这种表示有质量，但是又比一般有质量的表示拥有的粒子少——这意味这它的稳定性，对很多超对称模型的研究发现孤立子解都是BPS表示。超对称和孤立子结合起来之后可以给出更多的非微扰的信息。这其中最知名的例子莫过于1994年Seiberg-Witten给出的N=2 super Yang-Mills和super QCD的讨论。他们利用理论中的BPS磁单极和BPS双荷子给出了低能有效理论的严格解，并且证明磁单极可以通过类似超导的方式带来夸克禁闭和手征对称性破缺——虽然基于超对称模型，他们的工作对于理解量子色动力学的夸克禁闭也有很好的启发。他们工作中最漂亮的地方在于复几何和二维黎曼面上同调群（homology group）的应用，将模型中的磁单极和双荷子与椭圆函数的支点联系起来（我在本学期学习Seiberg-Witten模型的过程中深感复分析知识的缺乏和对黎曼面认识的粗浅）。另外，Seiberg-Witten模型也同时将经典电磁学中的U(1)对偶变换推广成了SL(2,Z)对偶变换，在这个变换下，强作用的理论和弱作用的理论直接等同了起来。
弦论中同样存在大量的孤立子，弦论二次革命中大放异彩的D膜就是一种孤立子。M-theory中也有大量的孤立子，而且由于M-theory至今没有明确的形式，很多结论都是通过对偶性和孤立子的性质得到了。孤立子在10维到4维的紧致化中也扮演了重要角色，Atiyah-Singer指标定理在孤立子解上的应用可以部分解释现在标准模型中的手征问题。不过我们还是就此打住不要再超展开了。
总之，在物理学的发展中，孤立子和磁单极是少见的“常青树”，并且成为了历次革命的赢家。这也许跟孤立子和磁单极深厚的几何背景有关，背后有人，也难怪孤立子和磁单极这对儿“钻石王老五”历久弥坚，身价越炒越高，呵呵。
关于confinement的补充：
关于磁单极导致的quark confinement，我查了一下，大概说法如下：
Seiberg-Witten严格解是在N=2 SQCD里面的，但是我们可以加一些susy breaking term得到一般的QCD。
PS：
shiki从标题里硬是看出了孤单两个字，恩，所以我写的其实不是物理，而是寂寞——么？
纸上乱弹物理学——孤子与单极
物理学经历过多次革命，每一次革命都会摒弃原有的一些观念，建立新的概念和模型。不过，也有一些事物如小强一般，在一次次革命中存活下来，有些甚至在革命之后被发掘出更深刻的物理内容——孤立子（Soliton）和单极子（Monopole）这两个“钻石王老五”就是如此。
有记载的孤立子最早由苏格兰工程师Russell于1834年观察到。他看到运河之中的一个“大水包”保持了大致的形状和速度向前跑了1-2英里才消失——而一般的水波由于色散的缘故很快就会被抹平消失。Russell称其为“Wave of tranlation”，并在水槽实验中重复了类似现象。Russell的“大水包”的稳定性乍一看之下会很令人费解。因为在与“大水包”相同速度的参考例看来，这个“大水包”可是突兀的静止在水面上的——而无论是常识还是“能量最低原理”都告诉我们，水面总是会趋向于平如镜的稳定状态。Russell的“大水包”似乎成了长在经典力学身上的一个肿块。
物理学家仔细的对一些非线性系统考察之后发现，Russell的“大水包”在理论上是完全可能的，而且同能量最低原理没有任何矛盾之处。原因就在于系统前面“非线性”这个定语。我们先考虑简单的单粒子情况：线性系统有简单的弹簧势能：
V(s)=ks^2
只有一个极小值在s=0（它是线性的，因为力作为势的一阶导数正比于s），运动粒子的稳定状态就在s=0这一点。但是，如果我们加入一点非线性的因素，比如说把势能写成：
V(s)=s^4-s^2
系统将会在s=-1/2和s=1/2处拥有两个稳定的平衡点。就好像过山车的轨道，虽然最低的地方是在出口，但是整段轨道上却可以有好几个局部的“最低点”，过山车能量不够的话乘客可是会被卡在某个“最低点”到不了终点的。
同样的现象也可以出现在波动系统中，区别只是维数更高了。任何的波都可以用波函数A(x,t)来描述，此处A和上面单粒子中的s地位相同，系统的势能也将是A(x,t)的函数（或者说泛函，因为A(x,t)本身是x,t的任意函数）。同样由于非线性项的作用，系统势能打到极小的时候，A(x)可能并不为0，而且由于此时A仍然可以是坐标的函数，A(x)就可以具有某种形状——就像Russell看到的“水包”一样。严格来说，对于波动系统，平衡点也并不是一个真正的点，A(x)也可以跟一些参数有关。此时系统的势能处于极小值，同其它极小值之间有势垒的存在，当系统的能量不足以超过这个势垒的时候，A(x)就会是稳定的，直到由于耗散效应（摩擦力等等）将势垒逐渐抹平。这种孤零零的波也被称作孤波（Solitary wave），由由于波量子化之后是粒子，所以量子化的孤波也被称为孤（立）子（Soliton）（这个名字在很长一段时间被Physical Review的编辑所抵制，因为他们固执的认为只有实验上发现的粒子才可以被称作XX-on，所以那时候的作者只能将Soliton换成quasi-particle或者pseudo-particle。讽刺的是在supersymmetry出现以后，更多的粒子反倒不叫XX-on了）
经典的孤波解总有下面的性质：
1、不随时间变化，以示稳定。不过孤波仍然可以作为一个整体运动，因为这不过是做了一个参考系变换。
2、孤波总是会“凝聚”在空间的某个区域，换句话说，孤波的总能量是有限的。孤波大多像高斯函数一样有个明显的空间位置，所以即使经典的孤波远远看上去都像是个粒子。
3、要产生孤波必须有非线性效应。即使是很弱的非线性效应都可能产生孤波（但是一定要有），而且还这个孤波本身可能很强！
经典的孤立子有很多的应用，比如说光学，比如说木星大红斑，不过我这里想说的是在量子革命之后大放异彩的一种孤立子（理由很简单，我只懂这一种）。此乃后话，我们先把视角转向单极子。
说到单极子（Monopole）一般都是指磁单极子。电场和磁场实在是过于对称，所以总让人觉得电荷也应该和什么东西对称。的确，如果我们先写下真空中无源的Maxwell方程组（高斯单位）：
div E=0，curl E=-1/c dB/dt
div B=0，curl B=1/c dE/dt
在如下的对偶变换（duality transformation）1下（恩，或者叫Ctrl+R变换）：
E‘=B，B‘=-E
方程组：
div B‘=0，curl B‘=-1/c d(-E‘)/dt
div E‘=0，curl E‘=1/c d(-B‘)/dt
如何，还是原来的方程，只不过上下行换了个个，我们也可以去考察电磁波的各种物理观测量（比如，能量动量），结论是这些量都不随对偶变换而变化。我们也可以把变换稍稍扩展成一个转动2：
E‘=EcosA+BsinA，
B‘=-EsinA+BcosA
Maxwell方程组在这个转动之下仍然是不变的（这里的方程组都写在Gauss单位制下，因为在该单位制下电场和磁场量纲相同，这也是很多教授抵制SI单位的原因之一）。
那么，如果加上电荷之后这个对偶性如何呢？其实也不难。在变换1下，一个只带电荷的粒子会变成一个只带磁荷的粒子，也就是磁单极。在变换2下，一个带电荷的粒子会变成一个既带电荷也带磁荷的粒子（关于经典电磁对偶的具体讨论，见Jackson）。总之，如果我们画出一个2维的直角坐标，横轴是电荷量，纵轴是磁荷量，那么横轴上的点将代表带电粒子，纵轴上的点代表磁单极，平面上任意一点代表既带电荷又带磁荷的粒子，这种粒子叫dyon（很不幸dyon缺乏标准的中文译名，似乎有人翻译成“双子”，也许双荷子更准确一些——顺便鄙视一下现在国内名词和国外名词严重脱节的状况，怀念仍然有物理学名词委员会的时代）。在这个平面上，变换2代表一个转了角度A的转动，变换1当然就是一个90度的转动了。加入磁单极和dyon之后，我们可以看到，电和磁之间的“对称”越来越完美了。
你可以注意到我一直使用的是对偶（duality）而并非对称（Symmetry）。因为毕竟这个变换把粒子的电荷和磁荷变掉了，虽然变换后的理论和原有的理论结构上一样，但毕竟是另一个相互作用常数不一样的理论了，所以这并不是像规范对称一样的对称性变换。不过当我们知道电荷解的形式之后，我们可以通过对偶变换轻易得到磁单极解和dyon解，因为理论的形式并没有变。对偶性在物理中出现的也很早，而且是大家很熟悉的东西，比如经典力学中心势问题中1/r势（万有引力）和r^2势（胡克力）就是对偶的。听起来很扯，不过这是事实，一个证据就是只有万有引力和胡克力可以有闭合的轨道（想一想牛顿和胡克之间的关系，就会觉得万有引力和胡克力的对偶很有喜感，也许他们两个人也是对偶的而且他们两个意识到了这一点，所以关系才那么不好，哈哈哈。。。这是胡说八道）。对偶性在弦论中甚至扩展到了强-弱耦合常数的对偶，给很多困难的计算带来福音，不过具体细节属于超超超展开，我们还是不要跑题了（以后我也许会写，你也许会看？）。
磁单极子在经典电动力学里没什么用。任何粒子都可以用电-磁荷平面上的一个点来代表，如果所有粒子的电荷和磁荷之比都一样，也就是说如果所有的粒子都分布在一条直线上，我们可以把电荷坐标轴转到这条直线上，把电场磁场重新定义一下，世界上就又没什么磁荷了。至少现在对于质子、中子、电子的测量表明他们确实在一条直线上，误差小于10^-20！找磁单极就是寻找一个在这条直线之外的粒子，不过找到了又能如何呢？磁铁又不会一下子不磁了。所以1894年Pierre Curie提出磁单极假设的时候不受重视也挺正常（觉得这个人眼熟？恩，他夫人很有名，叫Maria Sklodowska，跟他结婚后被称作Mrs Curie。啥？你还不知道他和她是谁？哦，你的素质低于二战时候德国陆军平均水平）。
量子力学和Dirac在1931年给磁单极子提供了更重要的意义。从Millikan的油滴实验我们知道电荷是量子化的，但是电荷的量子化和量子力学似乎毫无关系！Dirac最早可能是想研究量子力学里面的磁单极，但是量子力学里面描述电磁场最好是用标量势phi和矢量势A，可是矢量势的存在是建立在磁场散度为0
div B=0
之上的，磁单极的存在直接破坏了这个条件，也就无法定义矢量势A。为了解决这个问题，Dirac看着他手头的通电螺线管。。。恩，如果我们站在螺线管外面很靠近某一个头A的地方，我们会觉得磁场都是从螺线管A端跑出来的（或者跑进去，结论类似），就好像螺线管的这一端点A像电荷发射电场一样往外发射磁场。当然，如果我们跑到螺线管里面去看，我们会发现磁场线是绕圈的。可是如果这个螺线管越来越细，那么越来越多的人会处在螺线管的外面，也就会觉得螺线管的A端是磁场线的源头——如果把螺线管缩成一条线（并不是把螺线管拉成直线，而是想象螺线管以无穷小的半径缠绕）并且把另一头B拉到无限远，那么只要不是正好站在线上，你就会觉得螺线管的A端就像是磁荷一样产生磁场。螺线管外部的矢量势有定义，那么磁单极的矢量势也有定义——当然，你要从空间去掉那根无限长无限细的螺线管——这个螺线管后来被称作叫Dirac string。换个角度想一想，如果从三维空间里去掉一条从磁单极出发的射线，那么剩余的空间里任何封闭的2维曲面都不可能把磁单极包在里面，所以可以定义矢量势（静磁学里面有类似的技巧，在空间里划出特定的区域可以给磁场定义磁标量势），这从另一个角度说明了引入Dirac string 的合理性。不过我们虽然从磁单极引出了Dirac string，这条string并不属于磁单极的一部分，它对于其它粒子必须是不可见的——否则就真成了螺线管啦。Dirac string不可见的条件再加上量子力学里面的AB效应，Dirac得到结论，只要有磁单极存在，量子力学原理将要求电荷是量子化的！所以，为了电荷的量子化，实验家们，上吧！（注意，此处Dirac的思考过程是我通过Dirac的文章自己YY的，并不代表Dirac本人同意我的说法，当然他也不能反对就是）顺便一说，Dirac string的描述可以清楚的看出为什么磁单极子通过一个金属环之后金属环的磁通量有一个永久性的增加（实验中的磁单极信号）。
Dirac string是个不太清楚的概念，每一个磁单极后面都拖着一条长尾巴实在是太囧了，哪怕这条尾巴是非物理的也还是很囧，又不是哈雷彗星人。1968年，吴大峻和杨振宁（噢噢，终于出现中文人名了）推广了Dirac“螺线管外面空间”的想法，给出了给出了磁单极矢量势更好的描述方式。如果把磁单极子放在三维空间的原点，在整个三维空间中没法定义势。但是如果选取两个子空间A和B，A是三维空间去掉正z轴，B是三维空间去掉负z轴，A和B的并集是整个三维空间，并且A和B各自内部是可以定义势的（因为A、B各自相当于磁单极拖了Dirac string）。如果在A和B交集上的势相互之间只差一个规范变换，或者说A、B上定义的势互相相如，我们就说整个三维空间的势由A，B上的势决定。几何学家这此时插入：说了这么一大堆，电磁势不就是主从（principle bundle）上的一个联络么，磁单极不就是个non-trivial principle bundle么（数学家装B300句之首：XXX不就是个YYY么，其中XXX为任意具体事物，YYY为某对应抽象概念，例如：虎躯一震，上下嘴皮一动：“环面不就是一个亏格为1的Riemann surface么。”王八之气直逼而出）。于是磁单极就摇身一变成了微分几何中的对象甲，当然这种变身是很好的，因为我们可以直接使用微分几何中的定理的直接得到磁单极的性质——比如说电荷量子化就是同伦群（homotopy group）为Z的直接结果。吴杨稍早时候还有一篇文章（或者说字典）就是解释Yang-Mills规范场和微分几何之间的对应的，杨本人对此很自豪，认为是重新把数学和物理结合起来了。
我们再转回来看看这个时候孤立子的发展，这个时候量子场论已经诞生了。量子力学告诉我们经典的稳定平衡解其实是量子的基态。如果有好几个平衡点的话基态自然也是简并的了。量子场论中，每一个经典解就代表了一种真空态。平凡解（场为零）自然是一种真空态，每一个孤立子解（如果有的话）自然也代表了一种真空态，相对与孤立子真空的激发自然是一种新的粒子。一般的想法会认为每个粒子对应这一种场，每种场对应了一个粒子，这种说法对于电子光子问题不大，但是对于有孤立子的场来说，一个场可能对应不只一种粒子。打个比方，把亚欧大陆看成某个场的平凡真空，上面的人看成是从该真空激发出来的粒子，而美洲大陆相对于亚洲大陆就是一个孤立子，它上面“激发”出来的人就叫美洲人。美洲人和亚欧人的个体肯定是不一样的，但他们都是人，这就是粒子和场的关系。
量子场论里面考虑孤立子有什么用呢？这就要从核子说起啦。一开始人们以为基本粒子就是质子电子，可是随后发现了各种介子各种重子各种轻子。一开始数量少还可以把基本粒子扩充扩充，后来这个数目越来越大，甚至快要比元素都多了，于是没人觉得它们是基本的。那把它们当成更小东西组合出来的吧，就有了夸克模型。可是夸克之间的相互作用那可是强相互作用，而且能量越低相互作用越强，没有办法微扰计算的，只能搞出各种低能有效理论。但总不能每个粒子都搞个有效理论，正巧（？），一个非线性场方程如果有孤立子的话它可以表示好多个粒子，性价比很高。而且经典的孤立子解就有着空间凝聚、稳定这种好特性，活脱脱就是核子的好苗子（因为核子被看成是夸克的稳定束缚态）嘛。恩，你说核子衰变怎么办？好说，经典物理里面势垒能量不够没法穿过，可是量子里面不是还有隧穿效应么。。。各种心理建设完成，好，我们来看看手头有啥非线性模型，比如这个，Non-linear sigma model，名字一听就不是线性的，说不定可以用。Skyrme最早算了这个模型的孤子解，这种孤子就被成为了Skyrmion（当然是在同Physical Review顽固的编辑大战之后）。李政道对用孤立子表示核子的想法非常欣赏，以至于在他的书里用了一章专门讲孤立子。（其实6、70年代对核力和强相互作用的研究是复杂而比较混乱的，模型也并不只有孤子一种，比如弦论也是为了解释强相互作用而诞生的。这一段关于孤立子进入粒子物理有我相当的演义成分，有一些内容也未能完全依照时间顺序）
物理学家们随后将目光转向了一个更基本也更重要的非线性模型——Yang-Mills规范场。作为电磁场的非阿贝尔推广Yang-Mills场获得了电磁场所没有的自相互作用。1974年’t Hooft和Polyakov分别得到了SO(3)规范场破缺到U(1)电磁相互作用模型的一个孤立子解——而这个解既可以得到电荷也可以得到磁荷，也就是说这个孤立子可以是一个磁单极或者是双荷子，磁单极从此成了孤立子中的一种。顺便一说，’t Hooft和Polyakov两人的工作是完全独立的，因为’t Hooft是荷兰人，Polyakov是苏联同志——或者说是红夷和毛子，当时铁幕甚至有阻隔学术交流的功能——比现在的gfw牛多了——所以这两个人曾经不只一次在学术成过上撞车——两人一年前就在instanton的beta函数上撞了（铁幕对物理学的影响还有个有趣的例子，well-known的BRST对称性在以前是被称为BRS对称性，因为T被铁幕挡住了）。’t Hooft和Polyakov的磁单极影响力很大，因为他们所用的模型差一点就成了标准模型——唯一区别就是破缺SO(3)用的Higgs粒子“数量”不太一样。
N+1维时空中，场论中的孤立子和磁单极有个共同的特点，它们能量都是有限的（否则就没办法表示核子了），而且场强不随时间变化，因此无穷远处的场强都是零，也就是说N维空间中各个方向的无穷远可以看成一点。就像复平面可以紧致化成为一个2维球面一样，此时的N维空间也可以紧致化成一个N维球面。所有的孤立子解都是从N维球面到某个李群G的映射。拓扑学告诉我们，所有这种映射都可以用李群G的N阶同伦群分类——此类孤立子都被称作拓扑孤立子。也就是说，模型本身的拓扑性质决定了孤立子的种类以及量子化之后简并真空的个数。微分几何中还有一个Cartan-Mauer积分不变量来描述拓扑孤立子——这个量又可以和场论中的反常（Anomaly）联系起来。拓扑孤立子的研究为场论提供了一系列非微扰的研究方法（因为无法从平凡真空出发用微扰论和费曼图的到孤立子），其中最辉煌的成就是得到了Super-Yang-Mills规范场beta函数的严格解——一直到三圈图的微扰计算都证明这个解是正确的（除了拓扑孤立子自然还有非拓扑孤立子，李政道特别喜欢非拓扑孤立子，但是似乎这种孤立子在高能领域用处不大）。
在孤立子大力推动场论形式发展的同时，用孤立子却不太能够解释费米子核子，而且’t Hooft-Polyakov模型也不是标准模型。由于量子色动力学的崛起标准模型的建立，孤立子的研究又一次陷入了“低潮”。不过幸运的是，一次至今未完成的“革命”为孤立子重新注入了活力。1976年超对称（supersymmetry, SUSY）正式诞生之后，人们开始广泛研究超对称代数的各种表示。其中有一种叫做BPS的表示（BPS是三个人的首字母）引起了研究者的注意。这种表示有质量，但是又比一般有质量的表示拥有的粒子少——这意味这它的稳定性，对很多超对称模型的研究发现孤立子解都是BPS表示。超对称和孤立子结合起来之后可以给出更多的非微扰的信息。这其中最知名的例子莫过于1994年Seiberg-Witten给出的N=2 super Yang-Mills和super QCD的讨论。他们利用理论中的BPS磁单极和BPS双荷子给出了低能有效理论的严格解，并且证明磁单极可以通过类似超导的方式带来夸克禁闭和手征对称性破缺——虽然基于超对称模型，他们的工作对于理解量子色动力学的夸克禁闭也有很好的启发。他们工作中最漂亮的地方在于复几何和二维黎曼面上同调群（homology group）的应用，将模型中的磁单极和双荷子与椭圆函数的支点联系起来（我在本学期学习Seiberg-Witten模型的过程中深感复分析知识的缺乏和对黎曼面认识的粗浅）。另外，Seiberg-Witten模型也同时将经典电磁学中的U(1)对偶变换推广成了SL(2,Z)对偶变换，在这个变换下，强作用的理论和弱作用的理论直接等同了起来。
弦论中同样存在大量的孤立子，弦论二次革命中大放异彩的D膜就是一种孤立子。M-theory中也有大量的孤立子，而且由于M-theory至今没有明确的形式，很多结论都是通过对偶性和孤立子的性质得到了。孤立子在10维到4维的紧致化中也扮演了重要角色，Atiyah-Singer指标定理在孤立子解上的应用可以部分解释现在标准模型中的手征问题。不过我们还是就此打住不要再超展开了。
总之，在物理学的发展中，孤立子和磁单极是少见的“常青树”，并且成为了历次革命的赢家。这也许跟孤立子和磁单极深厚的几何背景有关，背后有人，也难怪孤立子和磁单极这对儿“钻石王老五”历久弥坚，身价越炒越高，呵呵。
关于confinement的补充：
关于磁单极导致的quark confinement，我查了一下，大概说法如下：
Seiberg-Witten严格解是在N=2 SQCD里面的，但是我们可以加一些susy breaking term得到一般的QCD。
虽然我们不再知道严格的低能有效理论，但是monopole和dirac condition都不会消失（因为这是拓扑性质）。在高能的时候，由于渐进自由，electric-like的qcd coupling很小（就是我们平时用的g_s），magnetic-like的qcd coupling很大（dirac condition），磁单极的质量很大，表现为quark的复合态。在低能的时候正好相反，electric-like的qcd coupling很大，此时magnetic-like的coupling很小，根据duality，此时的磁单极就好像是高能时候的quark，而quark对偶成了磁单极的复合态，这样就有了confinement。quark-gluon plasma中可以用这个得到关于QGP相变的信息，可以和lattice计算、RHIC的实验结果相比的（但是似乎没有AdS/CFT的计算好）
可以参考：hep-ph/0611131
No comments:
Post a Comment