安西大都护
黄尘足今古，白骨乱蓬蒿
2012-01-02 00:29
特征值与量子数
特征值与量子数
朴素的来说，量子的思想在经典物理问题中早就存在了。比如说两端固定弦振动所形成的驻波就可以用离散可数的特征值来标记它的状态。一个特征值就是一个能级，特征值就是量子数，一个特征值唯一对应一个特征函数，这个函数就是振动的可能形式。量子物理里面大量的能级就是用相似的方法得出来的，只是在那里弦的波动方程被换成了波函数的波动方程，反正都是波动方程嘛，从数学上来看都是双曲型二阶方程，没什么本质区别。而弦的固定端则被替换成了各种各样的势场边条件、周期边条件、自然边条件。边条件是很重要的，可以说正是因为这些边条件，才有了量子化，而反应场本性的波动方程本身并不导致量子化。但是呢，反过来也可以看到，其实量子化并不是量子物理最根本的特性，只不过是波动方程的特征值问题嘛，波粒二象性，不确定性什么的才是最根本的观念，量子化只不过是表面现象而已。一根绳子上的驻波，我们把这根绳子剪短一点，驻波的性态就要改变，特征函数就要变，但是我们能把电子的电量改大一点么？不可能，然而这就绝不是解方程能解出来的事情了。所以弦这样的经典模型与微观世界毕竟本质不同，所以朴素终究是朴素的。
分离变量与积分变换
分离变量和积分变换差不多是一件事情，不同的是，积分变换霸道得多。如前所述，分离变量的结果得到一个特征值问题，特征值问题有施图姆刘维尔理论，特征函数就是系统状态空间的一组基，这组基是完备的，正交的。既然完备正交就可以把系统所有可能的状态在这组基上分解，总的解是这些特征函数也就是基本状态的线性组合。对于有一些变量而言，系统的限制比较强，而且是齐次的，于是这些条件和变量就成为了边条件和边变量，其实条件合适边条件和初条件换一换也挺好的，但是我们对空间加以限制比对时间加以限制是更容易的，我们生活在空间里嘛。
积分变换就比较“单边主义”，以傅里叶变换举例，不论系统有什么特征都一律按复指函数展开，这种展开抹杀了系统方程和条件的“特征”，没有了特征函数，取而代之的是连续的傅里叶核。刘思齐说积分变换把特征值从离散推广到了连续，我觉得这么讲并不恰当，都已经成连续的了还谈什么特征值！一点特征都没有。还是叫频谱好了。于是对方程的变换、对非齐次项的变换、对条件的变换就相当于原来对特征函数系所做的展开，而反变换的积分就相当于原来特征函数与系数乘积的求和。
行波法
二次型之所以有用可能就是因为很多美好的东西都是二次的吧，比如二次元什么的，当然还有二次曲线，二次方程。我们应该感谢造物把最基本的物理方程的次数限制在了二阶，否则工作量就随阶数而败坏了。二次曲线的标准化方法很容易借鉴到二次偏微分方程，于是我们就有了椭圆型、抛物型、双曲型方程。但是要在这些方程中找到与他们名字直接联系的图形好像并不容易。如果说有什么相似的也可以说二次方程特征线与二次曲线渐近线是对应的。但是呢，也只有双曲型的方程能找到两条实的特征线，这使得只有对于波动一类的方程按照特征线进行代换，将特征线变换为新变量的坐标线才是有意义的。至于KdV方程等一些奇怪的非线性方程也会有行波解，因为他们本来就是波嘛......
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