Wednesday, August 15, 2012

量子力学其他几个基本假设也和特征值，特征函数有着或深或浅的关系。又比如，量子跃迁是量子力学中一个非常重要的问题，即在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁几率问题 。这个问题主要考虑特征函数空间

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中图分类号：O186
论文编号：10006SY0409204
硕 士 学 位 论 文
Riemann 流形的 k 阶特征值
作者姓名
高勋
学科专业
基 础 数 学
指导教师
赵　迪　副教授
培养院系
理 学 院
The kth Eigenvalue on Riemann Manifold
A Dissertation Submitted for the Degree of Master
Candidate：Gao Xun
Supervisor：Pro. Zhao Di
School of Science
Beihang University, Beijing, China
中图分类号：O186
论文编号：10006SY0409204
硕 士 学 位 论 文
Riemann 流形的 k 阶特征值
作者姓名
申请学位级别
指导教师姓名
职 称
学科专业
研究方向
学习时间自
年 月 日起 至
年 月 日止
论文提交日期 年 月 日 论文答辩日期 年 月 日
学位授予单位
学位授予日期 年 月 日
关于学位论文的独创性声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得
的成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致
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学位论文作者签名：
日期： 年 月 日
学位论文使用授权书
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保密学位论文在解密后的使用授权同上。
学位论文作者签名：
日期： 年 月 日
指导教师签名：
日期： 年 月 日
i
摘要
研究始于上世纪 60 年代开始的流形上微分算子的特征值问题，目前已成为流形上
分析的前沿课题之一，在数学，物理等学科中有着广泛的应用。Laplace 算子是微分几
何中一类重要的微分算子。流形上 Laplace 算子的谱是重要的解析不变量，对流形上
Laplace 算子的谱进行研究具有重要的几何意义。本文研究了 Riemann 流形上的 Laplace
算子的特征值问题，主要考虑了 Ricci 曲率具有负下界的紧致 Riemann 流形上的 k 阶
特征值问题。本文分四章:
第一章介绍了特征值问题的研究意义及研究进展，介绍了 Laplace 算子的 Dirichlet
特征值问题，重调和算子的 Dirichlet 特征值问题等，同时介绍了本文的主要工作。
第二章是关于特征值问题的预备知识,简要介绍 Riemann 流形上的主要微分算子，
热方程和热核的性质，以及特征值问题的基本事实。
在本文第三章中，我们对 Ricci 曲率具有负下界的紧致 Riemann 流形给予了研究，
改进了 k 阶特征值的估计。
最后是结论。
关键词：特征值 ，Riemann 流形，梯度估计，Harnack 不等式
ii
Abstract
The research of eigenvalues of Riemann manifolds began in 1960’. Now it has been
one of important fields in analysis of manifold. It has many applications in mathematics,
physics and so on. Laplacian operator is one of important operators in differential geometry.
The eigenvalues of Laplacian opretor is important invariant of analysis, and has important
meaning of geometry. In this paper, we discuss the kth eigenvsalues of Laplace operator on
Riemannian manifolds. In fact, we investigate the problems on Riemann manifold with Ricci
curvature bounded below.
There are four chapters in this paper.
In chapter1, we introduce the significance of the eigenvalue problems, and summarise the
results about the Dirichlet eigenvaluie problem f Laplacian operator. Then we present our
main results.
In Chapter 2,we give some knowledge about the eigenvalue problems. Besides
introducing some main differential oprators, the heat equation and heat kernel, we also present
some fundamental facts of the eigenvalues.
In chapter 3,we study the case of Riemann manifold with Ricci curvature
bounded below. We use the properties of the heat kernel and the estimates of the first
eigenvalue to get estimate of lower bound of higher eigenvalue.
Finally, we make a sum-up。
Keywords: eigenvalue, Riemann manifold, gradient estimate, Harnack inequality
iii
目
录
第一章
绪论 ............................................................................................................................................ 1
1.1 特征值问题的研究意义..................................................................................................................... 1
1.2 特征值问题的研究进展...................................................................................................................... 4
1.2.1 特征值的估计........................................................................................................................... 4
1.2.2 特征值不等式............................................................................................................................. 7
1.2.3 特征值比值问题..................................................................................................................... 10
1．3 本文的主要工作............................................................................................................................. 14
第二章　基本知识 ...................................................................................................................................... 16
2.1 梯度估计及 RIEMANN 流形上的微分算子.......................................................................................... 16
2.2 特征值问题的分类........................................................................................................................... 18
2.3 热方程 ............................................................................................................................................. 21
第三章 RIEMANN 流形的 K 阶特征值................................................................................................. 23
3.1 高阶特征值 ....................................................................................................................................... 24
3.2 第一特征值 ....................................................................................................................................... 32
结论 .............................................................................................................................................................. 36
参考文献 ...................................................................................................................................................... 37
攻读硕士学位期间所发表的论文 .............................................................................................................. 39
致　谢 ............................................................................................................................................................ 40
北京航空航天大学硕士学位论文
1
第一章 绪论
我们知道微分几何中，微分算子的特征值问题的研究有着悠久的历史。从 20 世纪
60 年代起许多杰出的数学家在这方面作出了许多工作。本章根据微分算子的特征值问题
的研究发展历史，从介绍特征值问题的研究意义开始，然后就特征值问题研究中密切相
关的几个方向——特征值的上下界估计，特征值不等式（谱隙），特征值问题——介绍
了特征值问题的研究进展和主要结果，最后我们介绍了本文的主要工作。
1.1 特征值问题的研究意义
在微分几何中,流形的曲率与流形的拓扑之间的关系是一个中心的课题。因为曲率是
度量不超过二阶导数的组合,所以曲率与拓扑的关系，体现着流形局部的性质与整体性质
之间的关系。曲率算子的最小特征值与最大特征值之比是曲率算子的代数性质,由曲率算
子的代数性质推出流形的拓扑性质,这正体现了微分几何的宗旨。
从上世纪开始，微分几何与物理学以及数学中的代数几何，拓扑等相互影响，相互
促进，得到了迅速发展。如 J.W.Milor 著名的<<从微分观点看拓扑>>。特别是分析方法
的引入，对微分几何学的发展产生了深远的影响。而开始于上世纪 60 年代的 Riemann
流形特征值问题的研究，现在成为流形上分析的重要课题之一。在数学、物理学和工程
等方面有着广泛的应用。
关于 Riemann 流形的 Laplace 算子谱的第一篇文献是 S.Minakshiundaram 和
A.Pleijel 在 1949 年发表的文献[1]。许多数学家，如 S.T.Yau,P.Li,I.Chavel 和钟
家庆等都曾在特征值方面做过许多工作。随着研究的发展，人们渐渐意识到，流形的谱
（Laplace 算子的特征值构成的集合）携带了流形的大量信息。
到了 60 年代 Leon Green 提出了一个著名的问题：任一个 Riemann 流形是否为
它的谱完全决定？ 1987 年，M.H.Protter 对这个问题又作了比较 细致的介绍和研究。
我们知道几何中有多种重要的微分算子，包括 Laplace 算子，重调和算子，
Schrodinger 算子等，这也是特征值问题研究的主要对象。Laplace 算子是其中最为重
要的一类微分算子，这是因为很多重要的非线性算子在线性化之后，往往就是某个
Riemann 度量的 Laplace 算子。尽管 J.W.Milor 在 1964 年对 Green 的等谱问题给出了
否定的答案，但是这并不防碍人们研究特征值问题的热情。因为对流形 Laplace 算子的
第一章 绪论
2
谱进行研究具有重要的几何意义（参见 L.Chavel[3]和 M.H.Protter[4]）.流形 Laplace 算
子的谱是重要的解析不变量，它在很大程度上决定了流形的几何。
A.Liichnerowicz 证明了如下著名的定理：设 M 为 n 维的紧无边 Riemann 流形，
其 Ricci 曲率
0
)1()( >
−
≥
K
n
MRic
，则其第一特征值
1
λ 满足：
nK
≥
1
λ
(1.1)
这个定理本身是紧 Riemann 流形的第一特征值下界估计方面的一个重要工作，但
它更重要的意义在于： M.Obata 证明：如果上式等号成立，则必等距于具有常曲率的
球面 n
S ，即此时流形的特征值决定了流形的几何。
如果我们把闭流形 M 看作放在RM
× 中的，用 ),(
txu 表示当Rt
∈ 时流形在 Mx
∈
处
的形变量，则 u 满足波动方程
0
2
2
2
=
Δ
+
∂
∂
ua
t
u
.
(1.2)
其中 2
a 为依赖于流形的物理性质及处值的常数，Δ表示 M 的 Laplace 算子。
求解该方程的一个经典方法为分离变量法：寻找如下形式的特解
)()(),(
tTxvtxu
=
,
代入波动方程可得
)(
)(''
)(
)(
2
tTa
tT
xv
xv
−
=
Δ
,
从而存在常数
R
∈
λ
，满足
v
v λ
=
Δ
,及
0
)(''
2
=
+ Ta
tT
λ
.
而Δ为自共轭算子，根据自共轭算子的谱理论，特征值问题
v
v λ
=
Δ
有可数多个λ 使得Δ
有非平凡解，即该特征值问题具有实离散谱：
∞
→
⋅⋅⋅
≤
≤⋅
⋅⋅
≤
≤
≤
<
=
k
λ
λ
λ
λ
λ
3
2
1
0
0
其中每个特征值按其重数重复出现。我们记
k
λ 为该特征值问题的第 k 个特征值，
k
a 为
对应于
k
λ 的特征值函数，则
)(
2
MLf
∈
可以表示为
kk
k
uc
f
∞
=
Σ
=
0
。从而求得波动方程的解
为 Fourier 级数
)()
sin
cos
(
),(
0
xut
a
t
a
txu
k
k
k
k
k
k
λ
β
λ
α
+
Σ
=
∞
=
其中
k
α 和
k
β 由初值条件
决定。一方面，对固定的
0
tt= 来说，描述了振动流形在时间时位置状态,另一方面，
)()
sin
cos
(
)(
0
xut
a
vt
a
u
ts
k
k
k
k
k
k
λ
λ +
Σ
=
∞
=
.
则反映了流形 M 在 x 处随时间 t 的位置状态变化情况。由此可以看出特征值
k
λ 决定了振
北京航空航天大学硕士学位论文
3
动流形的振动情况。在某种意义上说，我们能借助特征值问题“听到流形的声音”。
S.t.Yau 在其 《几何与分析回顾》[5]一文中提出了十个有待解决的数学问题，其中
第二个问题即为：如何理解完备流形的 Laplace 算子的谱，以及如何从流形的 Laplace
算子的谱刻画流形的任何几何量。
同时，特征值问题也促进了数学其它分支中相关问题的研究与应用。例如非线性科
学，计算数学等中的反散射理论，谱方法的数值分析,湍流等。
微分算子的谱理论在工程与物理领域也有着广泛的应用。兴起于二十年代的量子力
学理论是描述微观粒子状态的主要工具，大大促进了现代科学技术的发展，使人类掌握
了先进的科学技术。而量子力学中的一个主要问题就是考虑微分算子的特征值与特征向
量，微分算子的谱理论已成为当代量子力学的主要数学支柱，应用广泛。
假设一个体系处于量子态φ ，当人们去测量力学量时，一般说来，可能会出现不同
的结果。但是对于都是用来φ 来描述其状态的大量的完全相同的体系，进行多次测量的
平均结果将趋于一个确定的值。为此，我们定义涨落
τ
φ d
AA
A
2
2
)
(∫ −
=
Δ
(1.3)
也就是说每次测量的结果围绕着平均值有一个涨落，即
0
2 ≥
ΔA
。但是若体系处于一种
特殊的状态下，测量所得结果是唯一确定的，即
0
2 =
ΔA
.
则称这种状态为力学量 A 的本征态。而由（1.3）知，φ 满足
φ
φ A
A =
.
由此，不难得到量子力学中的一个基本假设，测量力学量时所有可能出现的值都是相应
的厄尔米特算符的特征值。量子力学其他几个基本假设也和特征值，特征函数有着或深
或浅的关系。又比如，量子跃迁是量子力学中一个非常重要的问题，即在某种外界作用
下体系在定态之间的跃迁几率问题 。这个问题主要考虑特征函数空间。
另外，对于一个量子体系，能级分布是在理论与观测上都极其重要的性质。厄尔米
特算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量，而厄尔米特算符的特征值则对应于该量
子力学的能级。A.Martin 证明了一个美妙的结果：设 N(V)为 n
R 上的 Schrodinger 算子
V
+
Δ
−
的边界状态数（非特征值）其中 V(x)为 )(
2
n
n
RL 的负位势。
2
2
lim ( )/
(2 )
( ( ))
n
n
n
n
n
N V
V x d x
λ
λ
λ
π τ
−
→∞
=
∫
第一章 绪论
4
其中
n
τ 为 n
R 中单位球的体积。这个结果的美妙之处在于它借助于特征值联系了量子力
学和经典力学。
Dirac 算子的理论也是一个新兴而活跃的研究方向，其中也有许多特征值问题有待
研究。又如 n
R 中有界域上的重调和算子的 Dirichlet 特征值问题：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
Ω
∈
=
Δ
Ω
∂
Ω
∂
0|
,1
2
n
u
u
uu
u λ
.
(1.4)
其中表示边界法向量的方向导数。这个问题也具有一定的物理意义。在低维情况下，
它来源于水动力学和夹持边薄板的振动问题。而问题
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
Ω
∈
−
=
Δ
Ω
∂
Ω
∂
0|
,1
2
n
u
u
uu
u
λ
.
(1.5)
则描述了夹持边薄板在受到外部压力后变弯曲的临界负荷。因此，它在工程，建筑力学
上有着重要意义。
1.2 特征值问题的研究进展
正如前文所说，特征值问题从上一个世纪以来受到特别的重视，许多数学家投入
了这个方面的理论与应用的研究，不断推动着特征值问题研究的进展。在本节中，我们
介绍一下 特征值问题的研究进展及现状。我们以介绍 Laplace 算子的特征值问题的研
究情况为主，同时我们也会简要地提及重调和算子，Schrodinger 算子等其它微分算子
的特征值问题。特征值问题的研究中有几个密切相关的方向,主要有：
1.2.1 特征值的估计
特征值问题的研究中的一个重要方向，就是利用几何量对特征值进行估计。这方面
研究的目标就是利用尽可能少和尽可能明确的几何量给出特征值尽可能精确上，下界的
估计。
先从第一特征值的下界估计的研究开始。第一特征值的下界估计是一个历史悠久的
问题，许多著名的数学家都在这方面作过工作。这方面的第一个工作就是前文提到的
A.Lichnerowicz[6]的估计（1.1）。J.Cheeger 通过定义某些等周常数给出了的下界估计。
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5
在此基础上 S.T.Yau，给出了更便于计算的几何量，如直径，体积，Ricci 曲率的上，
下界等，估计第一特征值下界的方法。 P.Li 和 S.T.Yau 提出了用梯度估计的求得下界
的方法。 在文献[7]中，他们证明了如下结果：
1）设为紧致无边 Riemann 流形，其 Ricci 曲率
0)(
≥
MRic
，则
2
2
1
2d
π
λ ≥
. 其中 d 为 M 的直径。
2）设 M 为 n 维的 紧致无边 Riemann 流形，则
2
2
2
1
)1(2
])
)1(411[
exp(
d
n
Kd
n
−
−
+
+
−
≥
λ
.
（1.6）
它说明了
2
1d
λ
的下界是以的 d 指数衰减的，其衰减速度为
K
n
)1(2
−
。
钟家庆和杨洪苍[8]用改进了的梯度估计方法证明了： 对具有非负 Ricci 曲率的紧
致无边 Riemann 流形 M，其第一特征值有下界估计
2
2
1
d
π
λ ≥
.
(1.7)
需要特别指出的是，这一结果在
0)(
=
MRic
时为最佳估计。杨洪苍[9]又进一步获得了如
下结果：设为紧致无边 Riemann 流形，
K
MRic
−
≥
)(
(K>0)则
)
exp(
2
2
2
1
Kd
Cn
d
−
≥
π
λ
,
K
d
−
≥
2
2
1
π
λ
,其中
)2,1
max(
−
=
n
Cn
。同时，他猜测上述
结果还可以进一步改进为：
)
exp(
2
2
1
2
2
1
Kd
Cn
d
−
≥
π
λ
(1.8)
K
d
2
1
2
2
1
−
≥
π
λ
(1.9)
1991 年，猜想（1.8）为贾方[10]证明。我们注意到，此处的指数衰减速度已经变为
K
Cn
2
1
。
D.G.Yang 考虑了具有正 Ricci 曲率的闭 Riemann 流形，证明了如下结果：设 M 为 n
维的闭 Riemann 流形，
0
)1()( ≥
−
≥
K
n
MRic
则
K
n
d
)1(
4
1
2
2
1
−
+
≥
π
λ
. (1.10)
1999 年，赵迪 [11]获得了与猜想（1.9）相近的结果：设 M 为紧致无边 Riemann 流形，
第一章 绪论
6
若
K
MRic
−
≥
)(
，(K>0)，则其第一特征值满足
K
d
52.0
2
2
1
−
≥
π
λ
.
(1.11)
若
2
2
3/5
0
d
K
π
≤
<
，则
K
d
2
1
2
2
1
−
≥
π
λ
.
(1.12)
一般说来，给出第一特征值的上界比给出它的下界来得更容易。给出第一特征值上界估
计的一个工具是 S.Y.Cheng [12]建立的比较定理：
设 M 为 n 维的紧致 Riemann 流形，
0
)1()( ≥
−
≥
K
n
MRic
,以 ),(
0 τ
xB
表示 M 中以
0
x 为
心，r 为半径的测地球，V(K,r)表示单连通的 n 维具有常曲率 K 的空间形式中半径为 r
的测地球， )),((
1 rKV
λ
表示 ),(
rKV 中 ),(
0
rxB 上问题的第一特征值，则
))
2
,((
)(
1
k
d
KV
M
k
λ
λ
≤
.
利用比较定理，S.Y.Cheng 具体估计了不同曲率条件下空间形式中测地球的第一
特征值，获得如下的第一特征值上,下界估计：
1）若
0)(
≥
MRic
，则
2
1
/)4(2d
nn +
≤
λ
2）若
1
)(
−
≥ n
MRic
，则
2
2
1
/d
nπ
λ ≤
3）若
)0
.()1()( >
−
−
≥
KK
n
MRic
，则
2
1
/
4
1
dCK
n
+
≤
λ
. (
0
>
n
C
)
另外一个角度是研究与具体曲面有关的第一特征值上界估计。
G.Szego[13]证明：对 2
R 中单连通有界域，Neumann 特征值问题
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
−
=
Δ
Ω
∂
0
.
n
u
u
u
λ
1.14)
的第一特征值满足
)(
2
1
Ω
≤
A
π
ξ
λ
. 其中
8412.1
≈
ξ
， )(
Ω
A
表示Ω的面积。这一估计在为
单位圆盘时为最佳的。1970 年，J.Hersch 将 Szego 的结果推广到 2 维紧致曲面 2
S ：对
2
S 的任何度量，有第一特征值估计：
)(
8
2
1
SA
π
λ ≤
.
其中
)2
(SA 为对所给估量而言的面积。后来，H.Uralawa 指出 hersch 的结果无法推广到
高维紧致流形上去，而需要额外的其他几何量。事实上 ，P.Yang 和 S.T.Yau 也是加上
亏格条件后，才将 Hersch 的结果推广到高维紧致流形上去的：
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7
设
g
Σ 是亏格为 g 的紧致 Riemann 曲面，则对 g
Σ 的任何度量而言，都有
)(
)
1(8
1
g
A
g
Σ
+
≤
π
λ
.
A.Selberg 证明：若
}0
Im{
),,2(/
>
=
=
Σ
z
z
Hz
SL
H
g
，则
16
3
)(
1
≥
Σg
λ
.
高阶特征值的上下界估计同样是一个非常值得研究的问题。设Ω为 n
R 中单连通有
界域，对 Dirichlet 边界条件的特征值问题
⎩
⎨
⎧
=
Ω
∈
−
=
Δ
Ω
∂
0
.
u
uu
u
λ
.
H.Weyl 利用热核证明了著名的渐进公式
k
λ ≈
n
n
n
Vol
kC
2
2
)(
−
Ω
.
∞
→
k
其中
n
n
n
n
C
2
1
2
)
/()2(
−
−
=
ω
π
,
1
−
n
ω 为
1
−
n
S 的面积。在此基础上，G.Polya 给出了著名的猜测：
k
λ ≥
n
n
n
Vol
kC
2
2
)(
−
Ω
E.Lieb 证明了存在比
n
C 小的常数
n
C
~
，使得
k
λ ≥
n
n
n
Vol
kC
2
2
)(
~
−
Ω
.
后来，P.Li 和 S.T.Yau 引入曲率条件，考虑了在曲率一定的假设下，给出高阶特征值的
下界。热核，即热方程
0),()
(
=
∂
∂
−
Δ
txu
t
(1.17)
的基本解，是认识 Laplace 算子特征值的基本工具，借助于热核的迹常常可以给出关于
特征值较小依赖于几何的估计。P.Li 和 S.T.Yau 在[7]中就是利用热核的梯度估计方法
（参见 [14]和 [15]），对具有非负曲率的紧致 Riemann 流形给出了
k
λ 的下界：
k
λ ≥
2
2
)(
−
dknCn
.
(1.18)
而对 Ricci 曲率具有负下界即
K
MRic
−
≥
)(
(K>0)的情形，他们获得
),,,(
dKknC
k ≥
λ
(1.19)
其中 C(n)和 C(n.k.K,d)分别进以来于常数 n 和 n,k,K,d。1998 年，R.Chen [16]利用热核
的梯度估计方法得到了与这两个估计类似的 Schrodinger 算子下的高阶特征值下界估
计。
1.2.2 特征值不等式
另外一个重要的研究方向是关于特征值不等式的研究，主要是利用实验函数及不等
第一章 绪论
8
式等。高阶特征值的估计的一个侧面就是给出相临两个特征值之差（即谱隙）的尽可能
精确的估计。1956 年,L.E.Payne,G..Polya 和 H.F.Weinberger 获得如下高阶特征值缝
隙的上界估计：设Ω为 2
R 中有界域，
k
λ 为特征值问题(1.15)的第 k 阶特征值，则有
∑
=
+
≤
−
k
i
i
k
k
k 1
1
2
λ
λ
λ
,
⋅⋅⋅
⋅
=,2,1
k
(1.20)
这个不等式的一个主要特点是：它是一个不依赖域的形状和大小的不等式。因此，它的
主要意义在于给出了一个特征值估计的一般不等式。
C.J.Thompson 将 Payne,Polya 和 Weinberger 的结果推广到 n
R 中有界域Ω的情形，
获得如下不等式（称为 PPW 不等式）
∑
=
+
≤
−
k
i
i
k
k
nk 1
1
4
λ
λ
λ
,
⋅⋅⋅
⋅
=,2,1
k
(1.21)
在推广 Payne,Polya 和 Weinberger 和.Thompson 的特征值一般不等式方面，许多数
学家作了很多工作。其中 G.N.Hile,M.H.Protter 和 H.C.Yang 的工作是这方面的两个
主要贡献。 G.N.Hile,M.H.Protter 获得如下不等式（称为 HP 不等式）
4
1
1
kn
k
i
i
k
i
≥
−
∑
=
+
λ
λ
λ
(1.22)
这个不等式明显强于（1.20）和（1.21）。我们只要用
k
λ 代替上式左端分母中的
i
λ 就
可以获得不等式(1.21），而当 n=2 时，即为 Payne,Polya 和 Weinberger 的不等式（1.20）。
而 H.C.Yang[17]在 1991 年获得了更强的不等式（称为 Yang 第一不等式）
0])
4
1(
)[
(
1
1
1
≤
+
−
−
∑
=
+
+
i
k
i
k
i
k
n
λ
λ
λ
λ
(1.23)
注意到上式是关于
1
+
k
λ 的二次不等式，可得如下不等式
2
1
1
2
1
2
1
1
1
])
1
(
1
)
4
1()
12
[(
1
)
2
1(
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
+
−
+
−
+
+
≤
k
i
i
k
j
j
k
i
i
k
i
i
k
k
kn
kn
kn
λ
λ
λ
λ
λ
(1.24)
这个不等式是目前已知的最佳结果。由该不等式可的如下不等式（称为 Yang 第二不等
式）
∑
=
+
+
≤
k
i
i
k
kn 1
1
1
)
4
1(
λ
λ
⋅⋅⋅
⋅
=,2,1
k
(1.25)
不等式（1.23），（1.24）和（1.25）要明显强于不等式。事实上有如下关系图：
PPW
HP
Yang
Yang
⇒
⇒
⇒
2
1
(1.26)
北京航空航天大学硕士学位论文
9
关于不等式（1.23），（1.24）和（1.25）的具体讨论及评价参见[1]和[2]。
由前文可知，重调和算子的 Dirichlet 特征值问题和 Buckling 问题也是非常有意
义的问题。L.E.Payne,G..Polya 和 H.F.Weinberger 和在中同时研究了重调和算子的特
征值问题（1.4）对 n
R 中有界域Ω，他们获得如下不等式
∑
=
+
+
≤
−
k
i
i
k
k
kn
n
1
2
1
)2(8
λ
λ
λ
⋅⋅⋅
⋅
=,2,1
k
(1.27)
G.N.Hile 和 R.Z.Yeh 改进为如下不等式
≥
−
∑
=
+
k
i
i
k
i
1
1
2/1
λ
λ
λ
∑
=
+
k
i
i
n
kn
1
2/1
2/32
)
(
)2(8
λ
(1.28)
S.M.Hook ,Z.C.Chen 和 C.L.Qian 各自独立证明了如下结果：
∑
=
≤
+
k
i
i
n
kn
1
2/1
22
)2(8
λ
∑
=
+ −
k
i
i
k
i
1
1
2/1
λ
λ
λ
(1.29)
Q.M.Cheng 和 H.C.Yang 获得较（1.27），（1.28）和（1.29）都强的不等式
∑
=
+ ≤
k
i
i
k
k 1
1
1
λ
λ
+
2/1
1
1
2/1
2
)]
([
1
]
)2(8
[
i
k
i
k
i
k
n
n
λ
λ
λ
−
+
∑
=
+
(1.30)
最近，H.C.Yang 和 Q.M.Cheng 研究了重调和算子的 Bucking 问题（1.5），对 n
R 中有界
域Ω 获得如下特征值不等式
≤
−
∑
=
+
k
i
i
k
1
2
1
)
(
λ
λ
2
)2(4
n
n +
i
k
i
i
k
λ
λ
λ
∑
=
+ −
1
1
)
(
(1.31)
在谱隙的下界估计方面，主要结果是 I.M.Singer,B.Wong,S.T.Yau 和 S.S.T.Yau[1]
给出的：设Ω 为 2
R 上的有界光滑凸域，则有
2
2
1
2
4d
π
λ
λ
≥
−
(1.32)
其中 d 为域Ω 的直径。对于这个问题，由于不知道凹函数在流形上对应于什麽条件，目
前这一结果还没有推广到流形上。
一个自然的问题是考虑 PPW 不等式，HP 不等式和 Yang 不等式在流形上的推广。
当 M 为紧齐次 Riemann 流形，单位球的紧极小子流形或复射影空间的有界连通域时，
许多数学家对算子的特征值估计作了很多工作，如 [19]，[20]，[18]等。当 M 为紧齐
次流形时，对 Laplace 算子的 Dirichlet 特征值问题，P.Li[21] 证得:
1
1
1
1
1
2
1
}
)1()
([
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
+
+
+
≤
−
∑
∑
∑
=
=
=
+
k
i
i
k
i
k
i
i
i
k
k
k
k
(1.33)
第一章 绪论
10
P.C.Yang 和 S.T.Yau [22]研究了单位球的紧极小子流形的情形，获得了子流 形上
Laplace 算子的 Dirichlet 特征值的谱隙估计
1
1
1
1
1
2
1
}
)1()
([
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
+
+
+
≤
−
∑
∑
∑
=
=
=
+
k
i
i
k
i
k
i
i
i
k
k
k
k
，
对单位球
)1(
N
S
的紧极小子流形 M，
}
)1(
)
([
)1(
2
1
1
1
2
2
1
∑
∑
∑
=
=
=
+
+
+
+
+
+
≤
−
k
i
i
k
i
k
i
i
i
k
k
kn
kn
n
λ
λ
λ
λ
λ
(1.34)
P.F.Leung 纠正了 P.C.Yang 和 S.T.Yau 中的一个错误并改进了他们的结果。后
来，E.M.Harrell 和 J.Stubbe 获得了一个抽象的代数不等式，作为应用，他们对单位
球的紧极小子流形得到了如下估计
∑
=
+
+
+
≤
−
k
i
i
k
k
kn
n
1
1
)1(
4
λ
λ
λ
(1.35)
同时，对 n 维紧齐次 Riemann 流形，他们获得如下估计
1
1
1
1
4
λ
λ
λ
λ
+
+
≤
−
∑
=
+
k
i
i
k
k
k
(1.36)
Q.M.Cheng 和 H.C.Yang 对单位球
)1(
N
S
的 n 维紧极小子流形 M 的 Dirichlet 特征值
问题，得到了如下不等式
2
1
1
2
1
2
1
1
1
])
1
1
(
1
1
)
4
1()
2
1
12
[(
2
1
1
)
2
1(
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
+
+
−
+
+
−
+
+
+
+
+
+
≤
k
i
i
k
j
j
k
i
i
k
i
i
k
k
kn
n
kn
n
kn
λ
λ
λ
λ
λ
(1.37)
由此可得相临特征值之差的估计
≤
−
+
k
k
λ
λ 1
2
1
1
2
1
2
1
])
1
1
(
1
1
)
4
1()
2
1
12
[(2
∑
∑
∑
=
=
=
+
−
+
+
−
+
+
k
i
i
k
j
j
k
i
i
k
kn
n
kn
λ
λ
λ
(1.38)
对 n 维紧齐次 Riemann 流形，他们获得如下不等式
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
+
+
−
+
−
+
+
+
+
+
≤
k
i
k
j
k
i
i
j
i
k
i
i
k
k
k
k
k
1
0
1
2
2
1
1
1
1
)
1
1
(
1
20
)
1
4
(
2
1
2
1
3
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(1.39)
由此可得相临特征值之差的估计
≤
−
+
k
k
λ
λ 1
∑
∑
∑
=
=
=
+
−
+
−
+
+
k
i
k
j
k
i
i
j
i
k
k
k
1
0
1
2
2
1
)
1
1
(
1
20
)
1
4
(
λ
λ
λ
λ
(1.40)
1.2.3 特征值比值问题
北京航空航天大学硕士学位论文
11
我们回顾下前文介绍特征值不等式时，我们提到 L.E.Payne、G.Plya 和
H.F.Weinberger 的工作（1.20），并介绍它的一个意义。下面我们从另外一个角度考察
这个不等式。我们用
k
λ 代替（1.12）右端的
i
λ ，即得
k
k
λ
λ
3
1 ≤
+
.
因此，Payne、Polya、Weinberger 不等式的另外一个意义可以概括如下：在 2
R 的
有界域Ω 上的 Dirichlet 问题的谱当中，后一个特征值不会超过前一个特征值的 3 倍，
也就是说，特征值的比值不会超过 3。
特征值比值问题也是一类非常有意思的特征值问题。它常常和特征值不等式有着密
切的关系。下面详细介绍一下这方面研究的具体情况。事实上，对 2
R 重的有界域Ω，
L.E.Payne、G.Plya 和 H.F.Weinberger 研究了 Laplace 算子的 Dirichlet 特征值问题
（1.15）他们证得
6
,3
1
3
2
1
2
≤
+
≤
λ
λ
λ
λ
λ
.
同时，他们作出如下猜测：设Ω 为 2
R 中的有界域，对Ω 上的 Dirichlet 特征值问题，
有
1.
5387.2
1
2
1
2
≈
≤
disk
λ
λ
λ
λ
,
2.
077.5
1
3
2
1
3
2
≈
+
≤
+
disk
λ
λ
λ
λ
λ
λ
,
3.
5387.2
1
2
1
≈
≤
+
disk
m
m
λ
λ
λ
λ
.
而对不等式（1.21），我们可以推知
k
k
i
k
k
i
i
k
k
n
nk
nk
λ
λ
λ
λ
λ
∑
∑
=
=
+
=
≤
≤
−
1
1
1
4
4
4
因此，
有如下不等式
k
k
n
λ
λ
)
4
1(
1
+
≤
+
(1.44) 即在
n
R 上有界域Ω的 Dirichlet 问题的谱当中，后一个特征值不会超过前一个特征值的
n
4
1+ 倍。事实上，C.J.Thompson 和 M.S.Ashbaugh、R.D.Benguria 提出了一般维数 n
情形下的 Payne-Polya-Weinberger 猜想：
Payne-Polya-Weinberger 猜想：设Ω为 n
R 中的有界连通域，
i
λ 为 Laplace 算子的
第一章 绪论
12
Dirichlet 特征值问题（1.15）的第 i 阶特征值，则有如下不等式：
1.
)(
0
1
2
1
2
nC
ball
n
=
≤
−
λ
λ
λ
λ
,
2.
)(
0
1
1
3
2
1
1
3
2
n
nC
ball
n
n
n
=
+⋅
⋅⋅
+
+
≤
+⋅
⋅⋅
+
+
−
+
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
,
3.
)(
0
1
2
1
nC
ball
n
m
m
=
≤
−
+
λ
λ
λ
λ
.其中
2
1,1/
1,2/
0
)
()(
n
n
j
j
nC =
，
kp
j ,
表示 p 阶第一类 Bessel 函数的第
k 个正零点。
为方便起见，我们简称 Payne-Polya-Weinberger 猜想为 PPW 猜想。对 PPW 猜想(A)，
许多数学家给予了研究。例如 L.E.Payne、G.Polya 和 H.F.Weinberger ,C.J.Thompson 等
等。最终，M.S.Ashbaugh 和 R.D.Benguria 解决了该猜想.
对 PPW 猜想(B)，当 n=2 时，J.J.A.M.Brands 改进了 L.E.Payne 和 H.F.Weinberger
获得的上界
6
1
3
2
≤
+
λ
λ
λ
，他得到
7
3
1
3
2
+
≤
+
λ
λ
λ
G.N.Hile 和 M.H.Protter 将上述结果进一步改进为
622.5
1
3
2
≤
+
λ
λ
λ
.
P.Marcellini 在 中获得了更好的结果
6
345
15
1
3
2
+
≤
+
λ
λ
λ
.
M.S.Ashbaugh 和 R.D.Benguria 在给域Ω 附加条件后，证明了
2
≥
n
的一般情形，他们
证得：
)
4
1(
1
1
1
n
n
n
i
i
+
≤
∑
=
+
λ
λ
(1.45)
对 PPW 猜想(C)，M.S.Ashbaugh 和 R.D.Benguria 证明了当
3
≤
k
时的情形。最近，
H.C.Yang 和 Q.M.Cheng 对一般的获得了如下估计
n
knC
k
2
)(
0
1
1 ≤
+
λ
λ
(1.46)
其中 )(
0
nC 好于 PPW 猜想(C) 中的常数。
对重调和算子的 Dirichlet 特征值问题，L.E.Payne、G.Polya 和 H.F.Weinberger 对
n
R 上有界域Ω获得如下的上界估计
1
9
k
k
λ
λ
+ ≤ .
Q.M.Cheng 和 H.C.Yang[20]证明了一个较（1.30）弱的不等式:
北京航空航天大学硕士学位论文
13
1
2
1
2
2 1/2
2
2
1
1
4( 2) 1
[1
]
4( 2) 1
8( 2) 1
1
{[
]
(
) }
k
k
i
i
k
k
i
i
j
i
j
n
n
k
n
n
n
k
n
k
k
λ
λ
λ
λ
λ
+
=
=
=
+
≤ +
+
+
+
−
−
∑
∑
∑
∑
由此不难得到
2
1
4
(1
)
k
k
n
λ
λ
+ ≤ +
.
（1.48）
对于 Bucking 问题，L.E.Payne、G.Polya 和 H.F.Weinberger 对中的有界域获得如下严
格不等式 2
1
3
λ
λ
<
.
（1.49）
对 n
R 中的有界域Ω的情形，对应的结果为 2
1
4
1
n
λ
λ
< +
.
（1.50）
后来，G.N.Hile 和 R.Z.Yeh 将上述结果分别改进为 2
1
2.5
λ
λ
≤
(1.51)
2
2
2
1
4 8
n
n
n
λ
λ
+
+
≤
(1.52)
H.C.Yang 和 Q.M.Cheng 对 n
R 中有界域Ω重调和算子的 Bukling 问题（1.5），获得了特
征值不等式（1.31），由该不等式可得
2
1
2
4 8
k
k
n
n
n
λ
λ
+
+
+
≤
(1.53)
一个自然的问题是，考虑上述结果在流形上的推广。 S.Y.Cheng 对 2
S 中的有界域，获
得
4
2
1
1
1 2(
) ,0
1 cos
λ
θ π
λ
θ
≤ +
< <
+
(1.54)
其中θ 为Ω 的外接圆的测地半径。 E.M.Harrell 将这一结果改进为
2
2
1
1
1 2(
) ,0
1 cos
λ
θ π
λ
θ
≤ +
< <
+
(1.55)
E.M.Harrell 和 J.Stubbe 对紧齐次 Remann 流形的 Laplace 算子的 Dirichlet 特征值问
题得到了如下估计
2
1
(2
3)
λ
λ
< +
(1.56)
H.C.Yang 和 Q.M.Cheng 将这一结果改进为 2
1
3
λ
λ
≤
(1.57)
同时，他们对单位球的有界连通域上的算子的特征值问题得到了如下低阶特征值估计
第一章 绪论
14
2
1
1
1
(1
)
k
n
n
k
n
λ
λ
+ ≤
+
(1.58)
1．3 本文的主要工作
本文主要是对 Ricci 曲率具有负下界的紧 Riemann 流形，根据 Ricci 曲率的下界、
流形 M 的直径 d 和特征值的阶数，给出特征值的新估计。
P.Li 和 S.T.Yao 在文献[7]中获得如下结果：对的紧流形，有
2
2
( ) n
k
C n k d
λ
−
≥
.
(3.1)
而对 Ric(M)
K
≥ − (K>0) 的紧 Riemann 流形，则有
( , , , )
k
C n k K d
λ ≥
(3.2)
其中 C(n)和 C(n,k,K,d)分别仅依赖于和的常数。
对具有非负曲率的紧致无边的流形，钟家庆和杨洪苍证明了其第一特征值有下界
估计
2
2
1
/d
λ π
≥
，而且这一结果在 Ric(M)=0 时为最佳估计。对 Ric(M)
K
≥ −
(k>0)的
紧致无边的 Riemann 流形，杨洪苍证明其第一特征值满足：
2
2
1
2
exp(
),
n
C Kd
d
π
λ ≥
−
2
1
2
K
d
π
λ ≥
− ， 其中
max(
1, 2)
n
C
n
=
−
。同时，
他猜测上述结果还可以进一步改进为：
2
2
1
2
1
exp(
),
2
n
C Kd
d
π
λ ≥
−
(3.3)
2
1
2
1
2
K
d
π
λ ≥
−
(3.4)
猜想（3.3）为贾方 [10]所证明。赵迪[11]获得了与猜想（3.4）相近的结果：
2
2
1
/
0.52 .
d
K
λ π
≥
−
若
2
2
0
5 /3
K
d
π
< ≤
，则
2
1
2
1
2
K
d
π
λ ≥
−
。
我们在[25]中得到
2
2
1
/
0.518 .
d
K
λ π
≥
−
对高阶特征值，G.Polya 给出了著名的猜想
2
2
( )
( )
n
n
k
C n k Vol M
λ
−
≥
.
根据这些结果，孙和军[24]对曲率具有负下界的流形的高阶特征值下界作出估计。
北京航空航天大学硕士学位论文
15
本文对以上估计作出改进，得到结果：
定理：设 M 为
( )
.(
0)
Ric m
K K
≥ −
>
的 n 维紧 Riemannd=diam(M)流形，则
2
2
2
2
( )
exp( ( )
)
n
k
k
B n
C n Kd
d
π
λ ≥
−
(3.6)
其中
{
2
1
3
,
3
1
2
2
1
( ) ( 1) exp( 2
), ( )
2
2
,
2
2
n
n
n
Bn
Cn
n
n
n
π
−
+
≥
−
≥
+
−
=
+
=
第二章 基本知识
16
第二章 基本知识
2.1 梯度估计及 Riemann 流形上的微分算子
设(M,g)为 n 维光滑 Riemann 流形，其度量在局部坐标 1
( , , )n
x
x
⋅⋅⋅
下的表示为
2
i
j
ij
ds
g dx dx
= ∑
.
我们用
( ) ( )
C M
M
χ
∞
、
分别表示 M 上的光滑函数及向量场。
M 上一个自然的函数，即关于一个固定点的距离函数。任取固定点
M
ρ ∈ ，
定义
( )
( ), ,
.
x
dist
x
x M
ρ
ρ
=
∀ ∈
定义梯度算子 : ( )
( )
C M
M
χ
∞
∇
→
为 ( )
( , ),
( )
X f g X f X
M
χ
=
∇ ∀ ∈
在的局部坐标卡
1
( ; , , )n
U x
x
⋅⋅⋅
上有
,
,
|
i j
U
j
i
i j
f
f
g
x x
∂ ∂
∇
=
∂ ∂
∑
其中
1
( ) ( )
ij
ij
g
g
−
=
.
定义散度算子
: ( )
( )
div
M
C M
χ
∞
→
为
(
)
divX trace
X
ξ
ξ
=
→ ∇
.
在的局部坐标卡
1
( ; , , )n
U x
x
⋅⋅⋅
上，设 |
j
U
j
j
X
X
x
∂
=
∂
∑
，则有
(
)
1
|
j
U
j
j
gX
divX
x
g
∂
=
∂
∑
,
其中
det( )ij
g
g
=
.
设 f 为 M 上的 2
C 函数，定义其 Laplace : ( )
( )
C M
C M
∞
∞
Δ
→
为 f div f
Δ =
∇
则由梯度算子及散度算子的定义可知，在 M 的局部坐标卡
1
( ; , , )n
U x
x
⋅⋅⋅
上，有
1
|
(
)
ij
U
i
j
f
f
g g
x
x
g
∂
∂
Δ
=
∂
∂
∑
.
(2.1)
特别地，对一个 n 维 Riermann 流形，若在 x M
∈
的邻域中取正规坐标系 1
( ,......, )n
x
x ，则
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