微分方程 局部性的幾何線性 全域性非線性的幾何類

些

微

分

方程所控制。一般來說, 對局部性的幾何

類而言

, 這些方程往往是線性的; 對全域性

的幾何類, 其方程則是非線性的幾何類

Ricci

流和Poincar´e 猜測

張

樹城

摘

要: 本文試著用通俗的描述來表達R. Hamilton在Ricci 流(flow) 上的進展及其與

Poincar´e

猜測之間的相互關係。

1.

前言

1.1

幾何與非線性微分方程

微

分幾何最基本的目的就是對一些幾何

類給一

個最適當的描述– 這通常包含了分

析

結構及構造在這分析結構上的幾何類的描

述

; 則我們必須研究這些結構及幾何類如何

彼

此相互產生作用, 此類關係通常由某些微

分

方程所控制。一般來說, 對局部性的幾何

類而言

, 這些方程往往是線性的; 對全域性

的幾

何類, 其方程則是非線性的幾何類。譬

如

:

1.

調和映射方程。

2.

最小曲面方程。

3. Monge-Amp´ere

方程。

4. Yang-Mills

方程。

5. Euler-Lagrangian

方程, 即黎曼泛函的

臨

界度量方程。

以上

這些方程都是elliptic 方程, 這些

方

程的解的存在性可反應出一些很好的幾何

結

果。

值

得一提的是: 為了研究這些elliptic

方

程, 通常會有另一個相對應的Parabolic

方

程(Heat flow)。

本文

主要也是從這著眼點出發, 即從

Parabolic

方程的觀點, 介紹某些類型的幾何

流

(Geometic flow) 方程–Ricci flow, 進而

描

述其與幾何拓樸之間的相互關係。

特

別地, 我們將著重在Ricci flow 與

Poincar´e

猜測之間的關係。自從費瑪最後定

理

被證實以後, 數學界下一個可能達成的大

目標

就是解決–Poincar´e 猜測。

1.2. Ricci flow

和Poincar´e 猜

測

於

1982, R. Hrmilton 考慮在Mn ×

[0

, T) 上的Ricci flow(RF):

∂

∂t

g

ij = −2Rij (∗)

及

Normalized Ricci flow(NRF):

∂

∂t

g

ij = −2Rij +

2

n

rgij

(∗∗)

3

4

數學傳播23卷2期民88年6月

其中

gij(t) 為n維流形M上的度量, Rij 為

Ricci

曲率, r =

R

R

Rdn

dμ

為平

均純曲率, R 為

純

曲率。

Hamilton

於1982證明了

定

理A ([Hal], 1982): 在封閉的

(closed)

的3維黎曼流形M3 上, 假如(∗∗)

的

初值度量gij(0) 的Ricci 曲率是正的, 則

對

所有時間t, (∗∗) 的解存在, gij(t) 逼近到

正的常

曲率度量, 而且M3 與S3

􀀀

可

微同胚,

其中

􀀀為有限群。

註

A:

1.

由定理A 可知給定一homotopy 3-

sphere M,

如果M 上存在一正Ricci

曲

率度量, 則M = S3, 所以Poincar´e

猜

測在此情況下是對的。

2.

一般情況之下, (**) 可能會有奇異解

出

現, 因為並非所有封閉的流形都會有

Einstein

度量; 另一方面, 短時間(∗) 光

滑

解的存在性總是成立的。

3.

此一定理可視為解決Poincar´e 猜測的一

大

進展。類似地, S. T. Yau 也找到了非

正

純曲率的K¨ahlen-Einstein 度量, 進

而解

決了Calabi 猜測。在此, Hamilton

找

到了正純曲率的Einstein 度量。

另

外, Tian-Yau也找到了一些正純曲率

的

K¨ahlen-Einstein 度量。

4.

在固定體積之下,

R

n

Rdμ 的Euler-

Lagrangian

方程為−2Rij+ 2

n

Rgij =0;

所

以(**) 式的右側式子並非其Euler-

Lagrangian

方程, 但Hamilton 的想法

基

本上由此而來!

1.3 Thurston’s Geometrization

猜

測

簡

單一句, Thurston’s Geometrization

猜

測描述說: 對每一個封閉3維流形,皆

可分

解成幾個分量, 其中每一分量存在一個

幾

何結構(geometric structure): H

3

, E

3

,

S

3, H2 × R, S2 × R, gSL(2, R), Niℓ, Sol。

註

B: 上述的猜測提了3維統形的幾何與拓

樸

之間的關係; 而Poincar´e 猜測是其

中

的一個結果!([A])

R. Hamilton

的Ricci flow 基本上是

想

利用幾何的方法來研究Thurston’s Geometrization

猜

測。大致上可分為二大部份:

•

第一部份: 研究有限的時間內(∗) 的奇異

解

。

•

第二部份: 非奇異解的分類。

我

們將詳述於後:

2. Ricci flow

的奇異解

2.1. Necks

和Geometric sur-

gery

首

先, 我們注意到, (∗) 的解沿著正

Ricci

曲率的方向向內收縮(shrinking); 然

而

沿著負Ricci 曲率的方向向外擴張(expanding)

。例如在

S2上, (∗) 的任何正曲率

解

在有限時間內將向內縮到一點。因此, 我們

猜

測一般的情況如下:

(a) (

S2, dumbell 度量)

Ricci

流和Poincar´e 猜測5

S

1 × B1

K>

0 S2 S2 K>0

K

 0

#

S

2

6

數學傳播23卷2期民88年6月

•

兩邊S2: 正曲率。

•

中間Neck S1 × B1: 很接近零的負曲率

我

們預測兩邊向內收縮(contract) 比

中

間向外擴張(expanding) 來得快, 最初變

成

單一S2, 然後漸漸收到一點。

(b) (

S3, dumbell 度量)

S

2 × B1

0

<K S3 S3 K>0

neck

K >

0

#

S

3 S3

扭

(pinching)

#

S

3 S3

•

兩邊S3: 正曲率。

•

中間Neck S2 × B1: 正曲率。

預

測Neck S2 × B1 將向內收, 進而分出兩

個

round S3。

(c) (

H2,dumbell 度量)

T

2 × B1

K

= −1 K = −1

short and fat

#

K

= −1 K = −1

long and thin

•

兩邊K ≡ −1

•

中間Neck T2 × B1: 曲率微負。

預

測Neck T2 × B1 將越來越長越薄, · · ·。

註

C:

1.

一般維度時, Neck:Np × Bq →֒Mn,

n

= p + q。

2.

如上面(a),(b), Hamilton的方法是在其

產生

奇異解之前做所謂的“幾何手術(geomitric

surgery)”,

如

n

= 3

S

2 × B1 → B3 × S0

n

= 4

S

3 × B1 → B4 × S0

S

2 × B2 → B3 × S1

3.

例子(C), 我們必須將解做適當的尺標變

換

(rescaling), 然後再做2。

4. Hamilton

理解到下列的對應關係





Neck pinching

off





↔





Thuston’s geometrization

猜

測中的分解





綜

合以上討論, Hamilton 想分析在有

限

時間的奇異解的特性, 使得在奇異解產生

以前

, 能夠做所謂“幾何手術”如上, 然後把流

形

作適度的分解, 再讓Ricci flow繼續作用

下去

, 進而得到非奇異解。

2.2. 3

維和4維流形的奇異解

上

一節的想法, 在某些四維流形上是可

以做到

的

Ricci

流和Poincar´e 猜測7

定

理B ([Ha6], 1999): 在四維closed

流形

上, 如果存在有正的迷向(isotropic)

曲

率(PIC), 則唯一的奇異解是如上所說的

Neck piching off,

如果在出現奇異解以前

作

“幾何手術”, 則流形可分解為S4, RP4,

S

3×S1, S3×2 S1, 然後再考慮Ricci flow,

則

經過有限次的“手術”後, 我們得到空集合,

即

表示M 與S4 比RP4, S3×S1, S3×2S1

的

connected sum是可微同胚!

現

在回到我們想理解的3維流形。

定

理C ([Ha9], 1999): 假設(M3,

g

ij(t)) 是(∗) 的奇異解, 則存在一子序列

的尺標

變換度量, 使得其收斂至S3/􀀀, 或

S

2×R/􀀀, 或

P

×

R/􀀀, 其中􀀀為有限群,

P

是

cigar soliton (非緊緻, 在無窮遠處類似

cylinder)

。

註

D:

(1) Hamilton

猜測

P

×

R 的情況是不可

能

的, 其中一個重要工具是下面將介紹

的

“Little Loop Lemma”。

(2)

例如1是對的, 則這些尺標變換度量將收

斂

至S3/􀀀或者可作一surgery, 然後證

明

經過有限次後, 得到非奇異解。

(3)

果真如此, 則整個問題就剩下這些非奇異

解

的分類了。

3. 3

維流形的非奇異解之分類

3.1.

定義與例子

定

義: 我們說(M3, gij(t)) 是(**) 的

非

奇異解當對所有時間0 ≤ t < ∞, gij(t)

皆

存在且其曲率一致有界。

例如

: (**) 在任一封閉流形有非奇異解存在,

當

初值度量gij(0) 是

(a) (

P

2, g0): 任一閉曲面,

(b) (

M3, g0): Ric(g0) > 0,

(c) (

M3, g0): 局部homogeneous 度量,

(d) (

M4,0 ): g0 有正的曲率算子,

(e) (

M, g0): K¨ahler 流形, C1(M) = 0 或

C

1(M) < 0。

3.2. 3

維流形的非奇異解

最後

, 當M是閉3維流形時, 非奇異解的

拓

樸性質完全被分類出來。

定

理D ([Ha5], 1998): 假如M3 存在

有

(**) 的非奇異解, 則我們可以完全把M3

分

解成為一些幾何結構.

由

上第二節與第三節可知, 整個問題剩

下來

的就是如何去解決註D(1) 的猜測了。

下

面我們提供一些可能的方法。

4.

極大值原理及Harnack 估

計

4.1.

極大值原理(Maxinum Principle)

Ricci flow

之所以能夠在分析與幾何中

建

立關聯, 最基本的性質就是幾何量滿足所

謂

的極大值原理;由此可知, 對所有進度而言,

正

純曲率R 及正曲率算子都被(∗)保持下來,

在

特殊的3維流形中, 正Ricci 曲率也被保持

下來

, 另外它用來證明了研究Ricci flow 一

個

重要的估計–Harnack 不等式。

8

數學傳播23卷2期民88年6月

4.2. Harnack

估計

我

們介紹下列的Harnack 不等式:

定

理E ([Ha7], 1993): 假設(M,

g

ij(t)) 是(∗)的解, gij(0)有非負曲率算

子

Rijkl, 則對任一向量場W, 2 − form U

Z

= MijWiWj + 2PijkUijWk

+

RijklUijUkl ≥ 0.

其中

P

ijk = DiRjk − ∇jRik

M

ij = △Rij −

1

2

∇

i∇jR

+2

gkpglqRikjlRpq

−

gklRikRjl +

1

2

t

R

ij

∇

i = Levi-Civita 連絡

=

gij∇i∇j

應用

:

(1) Harnack

估計用來研究(∗)的奇異

解與

Ricci Soliton 之間的關係, 如[Ha9]。

(2)

它也可用來證明下列的“Little

Loop Lemma”:

對

(m3, g0)而言, 如果g0 為非負截面曲

率

度量, 則存在常數A, B, 使得如果在某時

間

t, ρ 滿足

R

(y, t) ≤

A

ρ

2 , ∀y ∈ B(x)

我

們有如下估計

inj

(x) ≥ Bρ

其中

inj(x) = injectivity radius, ∀x ∈

M

.

由此

引理, 將可用來證明註D(1) 的猜

測

問題乃是在此引理中, 我們必須對曲率做

適

度限制。

5. Open

問題

從

以上討論以及註D(1), 第四節應用

(2),

知如果我們能得到類似如下猜測, 則整

個

Hamilton’s program 將可得到滿意的答

案

。

Conjecture:

考慮(M3, gij(t))上的

Ricci flow,

在任何初值度量gij(0)之下, 我

們也

有某種Harnack-type 的估計!

例子

: 在二維的例子, Hamilton 和

Yau

找到了類似的Harnack-type 估計。

參

考資料

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—本文作者任教於清華大學數學系—