同伦是由一个连续参数所确定的映射变形，它最终可转换为空间的变形。由此方法得到的拓扑特征尽管很不完全，但却是非常有意义的
引言
前面我们提到，直观上，若一个拓扑空间可连续地变形为另一个拓扑空间，则它们是等价的。一般，寻找由同胚确定的完全等价是比较困难的。我们可以适当地放松要求，去寻找那些只保持部分拓扑特征的特殊形变。这一节我们研究的同伦就是这样一个重要的方法，粗略地讲，同伦是由一个连续参数所确定的映射变形，它最终可转换为空间的变形。由此方法得到的拓扑特征尽管很不完全，但却是非常有意义的。在这一章我们将首先引入与拓扑空间相关联的基本群或第一同伦群，建立基本群的一些性质，并且，对于可三角剖分的空间，我们将说明如何确定基本群。
1X1δ1γ 1β1α 2X2β 2α图1
作为开始，我们考虑一个简单的例子。图
1中显示了中的两个矩形区域和：其中包含一个洞，而中则没有洞。直观上，中的任何一个圈都可连续地收缩为一点，而则不然。因此，空间只有一种圈——可收缩为一点的圈；而中则有两种圈——一类如2E1X2X1X2X2X1X2X1X1γ，1δ那样可收缩为一点，另一类则如1α1β，那样包含一个洞，不能收缩到一个点。所以，我们可在圈之间引入等价关系：若一个圈可由另一圈经一系列连续变形而得到，则称它们是等价的（这种等价关系在数学上有一个名称：同伦）。
例如中，
2X2α和2β是同伦的，表示为22αβ≈；中则有1X11αβ≈以及1 γδ≈，但是，1α与1γ并不同伦。我们看到，尽管和中有无限多个1X2X
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圈，但是如果将同伦的圈视为等价的，那么，在中只有一个同伦类，而在中，每个整数
n都对应一个同伦类：一个圈若绕洞次，则它属于：意指顺时针方向，为逆时针方向，而2X1Xnhnhn0n>0n<0n=则不包含洞。因此，圈的同伦类，而不是圈自身，使我们可将和区分开。这个例子表明对圈同伦类的研究可以确定拓扑空间中的洞。后面会看到，可以赋予这样的圈同伦类一个群结构，即在同伦类间定义某种乘法运算，使得同伦类的集合1X2X()1Xπ成为一个群，这就是基本群。这里我将仍然用这个例子说明这个群结构是如何出现的。首先，由两个从同一点1x1xβ出发的圈α和的组合可产生另一个同样以为基点的圈1β−1x1xγαβ=∗β：它从出发，先沿圈α走，再沿回到；其次，圈的逆定义为从1x1xβ出发，沿着与相反方向行进；最后，恒等圈定义为始终停留在点的圈。
考虑以
1
x
为基点的圈1εββ−=∗。若圈本身构成群，则ε必须是恒等圈，而这显然不对。但是，我们发现，尽管ε不是恒等圈，它与恒等圈却是同伦的，图2表示了从ε到恒等圈的连续变形。因此，我们推断，基本群的元素应该是圈的同伦类，而不是圈自身。接下来，我们就把上面直观的图像用严格的数学语言加以表述，使其精确化。1x 1x 1x1x
图
2
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