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发信人: dailybyte (wandering), 信区: math 标 题: 庞加莱猜想-附录三：低维拓扑(zz) 发信站: 饮水思源 (2003年11月07日11:28:55 星期五), 站内信件 发信人: Dionysus(悲剧的诞生), 信区: Science 标 题: 庞加莱猜想-附录三：低维拓扑 发信站: BBS 水木清华站 (Mon Jul 28 17:19:17 2003), 转信 低维拓扑 代数拓扑和微分拓扑是数学的女王。 —— Jean Dieudonn\'e 按其研究方法，拓扑可分为代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑。代数拓扑和微分 拓扑一直是拓扑学的主流，而几何拓扑更注重几何直观。很难说这三种拓扑学之间 有什么严格的界限，因为我们经常是综合使用三种方法的。 二十多年来在数学里颇为热门的低维(2,3,4维)拓扑更多地属于几何拓扑的范围， 因为传统的代数、微分方法在低维大多失效。关于为什么低维会比高维更困难，中 科院数学所的李邦河院士认为有如下原因： 一是 Whitney 技巧失效。这是微分拓扑的奠基人 Hassler Whitney 在三十年 代引入的一种把流形嵌入高维空间的的方法。但如果两者的维数相差过小，就无法 施行操作，原因在“维数的玩笑”一节中已经简略解释过。 二是示性类失效。示性类(characteristic class)是同调群中的一些特定元素， 可以反映流形的一些拓扑性质。但在低维情形，有意义的示性类非常少，能由此获 得的信息也很少。例如可定向三维闭流形的各种常见示性类都是0，四维流形有意义 的常见示性类也只有两三个。这使得代数拓扑的许多方法在这里都无能为力。 以上都还是技术原因，按笔者理解，还有一个心理原因。在许多问题上，低维 其实比高维容易得多(毕竟低维更容易想象，变化也更少)，但就因为这样，人们对 低维问题的要求便更多更细，使低维时遇到的问题尤为困难。 举个例子，流形的分类问题在二维时早已解决，三维情形还不知道能否解决， 四维以上则是不可解的。事实上，任何一个有限表现(finitely presented)群都能 实现为某个四维闭流形的基本群。如果我们能够对四维流形进行分类，那么我们当 然就能对有限表现群进行分类，而这是不可能的：群论学家们已经证明了这种群的 区分是“不可解”问题，也就是说，不存在一种能够在 Turing 机上实现的算法来 判断任意两个给定的有限表现群是否同构。所以在流形的分类问题上，高维比低维 更困难，但我们在高维只能满足于部分的解答，只是在低维才期望一个完全的解答。 传统方法在低维时无能为力，数学家们便引进了种种奇奇怪怪的方法，使低维 拓扑同许多别的数学分支联系起来。我们在正文中已经谈过 Thurston 的工作. 几 乎就在同时，丘成桐, Meeks, Schoen 等人把微分几何里的“极小曲面”引入三维 拓扑，解决了一些基本的问题。Hamilton 的工作也算是将微分几何同三维拓扑联系 在一起。 四维拓扑里则是另外一番景象。就在 Freedman 证明四维 Poincar\'e 猜想后 几个月，Atiyah 的学生 Simon K. Donaldson 在他的博士论文中利用 Yang-Mills 场找到了一组四维流形的不变量。Donaldson 不变量是微分拓扑的不变量，因而能 够区分一些同胚但不微分同胚的四维流形。很快，Freedman 就用 Donaldson 的结 果发现了 R^4 上有不同的微分结构，后来人们又发现 R^4 上有无穷多种不同的微 分结构。(微分结构是流形上的一种结构，它使我们能像在通常的欧氏空间中一样在 流形上作微分。) 这是一个非常令人吃惊的结论，因为在 n≠4 时，R^n 上都只有 唯一的微分结构。Donaldson 的工作揭示了我们所生活于其中的四维空间的一些与 其它维数空间不同的深刻性质，而且将四维拓扑与规范场论联系到了一起，他本人 因此获得1986年的 Fields 奖。 Donaldson 的理论吸引了大批数学家去研究，90年代初曾召开过一次这方面的 国际会议，有超过两百人参加。但 Donaldson 理论需要解SU(2)丛上的非线性偏微 分方程，计算十分困难，经过十年左右的努力，数学家们才摸到一些计算的门道。 1994年，Edward Witten 提出了一种新的不变量：Seiberg-Witten 不变量。 在 Seiberg-Witten 理论中，只需要解U(1)丛上的非线性偏微分方程，困难程度远 比 Donaldson 理论低，按 Taubes 的说法，"at least a thousand times easier". 但令人惊诧的是，它的威力与 Donaldson 理论不相上下，Witten 甚至能够从物理 上说明它们是等价的。 嗅觉敏锐的数学家们迅速扑向这个新理论，大量问题和例子瞬间被解决。如著 名的关于嵌入曲面亏格的 Thom 猜想，有四五组人几乎在同时用 S-W 理论给出了证 明。到1995年的春季学期，许多大学已经开设了讲授 S-W 理论的研究生课程；到 1996年，则有好几本关于 S-W 理论的专著面世，如[Moo],[Mor]. Seiberg-Witten 理论的一个严重后果是：除了少数动作最迅猛的人以外，其余 早先研究 Donaldson 理论的专家基本上都失业了，据说还有人因此而自杀。而且 Seiberg-Witten 不变量的计算实在太容易，(相对于 Donaldson 理论，) 以致于 那些好做的、有趣的问题在一两年内就全被人解决了。近年来 Seiberg-Witten 理 论虽然也有一些发展，但已经远不如它刚诞生时那样引人注目。当然这方面的研究 仍有很多，上学期 Princeton 就开设了两门 S-W 理论的研究生课程。Anyway, 包 括田刚在内的很多人都相信，四维拓扑在不远的将来还会迎来一次新的高潮。 低维拓扑与其余数学(或科学)分支的最令人惊异的结合发生在纽结理论中。纽 结理论(knot theory)是一门研究绳子打结方式的数学分支，它最早是由物理学家 William Thomson (Lord Kelvin) 于19世纪末开始研究的。那时普遍认为世界是 由“以太”构成，Kelvin 勋爵提出一种假说：以太在空间中产生旋涡，就像抽烟 时吐出的烟圈一样。旋涡可以打结，不同种类的结表示不同的化学元素。于是物理 学家们便开始研究纽结，并编制出了最早的纽结表。后来以太说被摒弃，物理学家 不再理会绳子如何打结，倒是数学家出于纯数学的兴趣研究它了。纽结理论早期的 研究进展记叙在一本被誉为"godgiven"的书[Ro]中，[Jia]则是一本很好的普及读物。 在低维拓扑进驻数学核心的同时，算子代数里也在发生着由 Alain Connes 领 导着的一场革命，新西兰数学家 Vaughan Jones 就是这场革命中的一员年轻干将。 一次，Jones 作一个学术报告，台下听讲的拓扑学家 Joan Birman 指出，他所写 的一组公式跟纽结理论里的一些公式非常相象。Jones 同 Birman 作了长谈，自己 又回去刻苦研究，终于发现了两者之间的内在联系。他利用 von Neumann 代数， 提出了一种新的纽结不变量：Jones 多项式。 Jones 多项式是一种威力强大的纽结不变量，但它并不复杂，后来 Kauffman 甚至提出了一种完全初等的看法，高中生便能读懂。所以很多人对 Jones 因此获得 1990年的 Fields 奖都感到很不以为然。但通过这么简单初等的多项式，Jones 把 纽结理论与算子代数这两个看上去完全没有关系的的两个数学分支联系到了一起， 进而使得纽结理论同量子群、李代数、统计力学、量子场论等许多数学和物理分支 发生了密切关系。 世界上有两种伟大的数学工作，一种是给很多人创造了饭碗，还有一种是砸掉 了很多人的饭碗，通常前一种更容易获得 Fields 奖。Jones 多项式无疑属于前一 种，由此甚至产生了一门被称为“量子拓扑学”的数学分支，发表了无数论文和专 著。Jones 多项式后来还有很多推广，比较有名的是由 Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter 和 Prztycki, Traczyk 等人提出的 HOMFLY-PT 多项 式，Witten 利用拓扑量子场论提出的 Witten 不变量，以及 Vassiliev 不变量。 参考文献： [Jia] 姜伯驹，“绳圈的数学”，湖南教育出版社 (1991). [Moo] J. D. Moore, "Lectures on Seiberg-Witten invariants", Lecture Notes in Mathematics 1629, Springer-Verlag (1996). [Mor] J. W. Morgan, "The Seiberg-Witten equations and applications to the topology of smooth four-manifolds", Princeton University Press (1996). [Ro] D. Rolfsen, "Knots and links", Publish or Perish (1976). -- 追求永无止境 ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 211.80.51.36] |
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