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Research
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學術漫步 / / <數學人系列講座> Physical law and the quest for mathematical understanding (高涌泉/台大物理系)
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3 Year 4 Months Ago
講者：高湧泉(台大物理)
紀錄：黃朝章、王紹宣
校稿：黃籃萱
2002/11/18
紀錄：黃朝章、王紹宣
校稿：黃籃萱
2002/11/18
註:本文章可至http://www.ams.org/bull/0000-000-00/搜尋。
數學系系學會找上我的原因，是因為看完數學傳播上我寫的一篇文章，那篇文章的題目叫作「Bμ場的質量」，等一下我會解釋為什麼那篇文章的內容跟今天講的主題有關。系學會請我給一個關於數學跟物理的演講，我就想why not ，既然文章都寫了，如果學生有興趣的話，我就有義務和大家談一談。差不多幾個禮拜以前，系學會的學術長問我有沒有具體的題目和內容，剛好我在網路上看見Edward Witten在Bulletin有這篇文章，我覺得這篇文章的內容和程度也都是蠻介紹性的，所以我就想說拿這篇文章當作演講主題。
這篇文章它是今年(2002年)才剛發表出來的，在美國數學協會(AMS)出版的Bulletin這份很有名的雜誌上。這篇文章是基於兩年前的一場演講，兩年前就是所謂的千禧年，那時全世界包括美國和其他地方都辦過回顧和展望會。美國數學協會大概在洛杉磯辦了一個大會，找了很多數學子領域的領導者來解釋他們這個領域的進展，Witten就是在這場合給了一個演講，題目是「Physical law and the quest for mathematical understanding」直接翻譯就是「物理定理和數學理解的追求」。首先我看到這篇文章的第一個疑惑是，為什麼要晚兩年才登？也就是2000年可能在夏天講完，2001就可以登出了，為什麼要隔了那麼久，到2002年才刊出？不過這方面的進展也不是快到兩年前的東西就馬上失效，所以我想我們現在講這些也還不過時。Bulletin上的Editor comment有說，他慢慢要推出這千禧年大會的演講文稿，所以這大概是第一或第二篇，爾後你們可以彼此找同學討論或是找老師來報告Bulletin這些即將要登出的每個子領域的介紹，我覺得這是蠻好的構想，我想我們物理系也應該也應該要學一下，找某些人來用不那麼技術性的方式介紹每個子領域的進展，可是當我講「不那麼技術性」的時候，也許反而是個瓶頸，例如今天看這篇文章裡頭沒什麼數學式子，可是可能更難。我今天的任務就是要讓你們接受，Edward Witten說的這些東西的確是可以理解的，這個是我今天給自己設定的任務。
我在數學傳播這篇文章中的動機的一部份，是同樣來自新世紀一個數學研究所Clay Mathematics Institute模仿Hilbert在1900年提出的23個問題，他們Clay Mathematics Institute提出七大問題，每一個問題100萬美金。那時我在這邊(台大數學系館)的樓上和數學系的朋友介紹那七個問題其中的一個問題，有很多人在開玩笑，如果你想要到哈佛當教授或是拿費爾茲獎，並且同時拿到100萬美金，那就把七大的問題解決掉一個。不過，以另一個角度來看，很多數學家他們寧願拿100萬給你，請你給我這個解答，因為他們也很好奇這個答案到底是什麼？所以這七大問題是蠻有意思的。我不知道數學系是不是還有另外的企劃，請對另外六個問題有了解的同學或老師來介紹這些問題，在美國是有一些學校，他們安排這些半通俗的演講來介紹這七個問題。你們在網路當然也可以看到這些題目的介紹，如果你可以了解一個問題的前因後果，在數學知識上來說就已經很充實。
我們現在就來看Edward Witten這篇文章。一開始他就先回顧20世紀的物理。Edward Witten提到在1925年之前物理有幾個重要的發現，第一個就是狹義相對論，接著是廣義相對論，再來就是量子力學。大家都知道前兩個理論是愛因斯坦做出來的。對於量子力學，當然愛因斯坦也有貢獻，但一般主要對於量子力學有貢獻的，還是從海森堡、狄拉克、薛丁格、波耳等人。前面這兩個理論牽涉到的數學，尤其廣義相對論牽涉到的微分幾何，具體來講是黎曼幾何。這是19世紀所發展出來的數學，也許那時還不是那麼完善，20世紀主要的數學領域是微分幾何，數學系以微分幾何為領域的老師非常多，大家也都知道微分幾何和物理互相的影響。愛因斯坦發展廣義相對論，借用那時候已經知道的黎曼幾何知識，可是反過來黎曼幾何和微分幾何也受到廣義相對論的刺激，都有更進一步的發展。例如20年前丘成桐和Shoen還要證明廣義相對論裡頭的正質量猜想(positive mass conjecture)，這是廣義相對論裡頭的一個猜想。做所謂純數學的數學家還是會把廣義相對論的題目當作微分幾何重要的問題來做，現在這兩個領域的關係還是非常密切。至於量子力學所需要用到的數學，大概就是泛函分析或是我們說Hilbert space相關的概念，包括operator algebra，當然operator algebra在一般來來講是非交換的。當初量子力學在發展的時候，許多數學家已經對Hilbert space有相當的研究了，當然量子力學這邊的要求也刺激數學上進一步的發展，這到現在還是做分析領域的重要議題。
現在21世紀，Witten提出新的問題，我們有美好的過去而未來會是如何發展，這是這篇文章所要提出的問題。物理學的發展是從1925年之後，這些都是各自發展出來，如廣義相對論、量子力學，而在物理學上必須要把這些領域綜合起來，從物理的角度來講，物理的進展也就是結合了狹義相對論和量子力學，在某種意義下我們已經做到了，就是量子場論，而量子場論的學問，我們可以說大致結合了狹義相對論和量子力學產生出來的學問。量子場論所誕生出來的時間，其實就是在量子力學誕生後馬上誕生出來，但是它成熟的很晚。因為量子力學相關的數學問題數學家已經差不多打好底，所以幾乎等個一年突破點捉到，半年後就只剩應用問題，整個架構也就出來了。不過量子場論不太一樣，就是我等一下會談論的。量子場論是即便你知道它誕生了，但它相對應的一些數學結構還不是很清楚，不過物理學家是不會等數學家搞清楚再來進行，我們物理學家自有一套講不清楚的方法，雖然我們數學不是很懂但我們還是有進展，還是有人可以因為提出量子場論的工作而到斯德哥爾摩(諾貝爾獎的頒獎地點)去，起碼物理學家有他們的成就和進展。
我們說量子力學與量子場論緊貼著誕生，其實量子力學的第三篇論文就幾乎是和量子場論同時的誕生，但是量子場論的成熟以物理的角度來講是比較晚的，至少到1947、1948年薛丁格和費因曼提出重整化(renormalization)理論以後才知道整個樣子，要來對付這裡頭的問題。當然之後還是持續的發展，之前是狹義相對論和量子力學，下一步就是結合廣義相對論和量子力學。結合這兩個理論到現在我們還沒有成功，雖然我們不能說量子場論就是成功，但至少已經成熟到提供機會讓別人去拿諾貝爾獎，但要結合廣義相對論和量子力學是到現在我們還有沒有把握的事情，不過起碼它有個名字叫量子重力論(quantum gravity theorem)，這是其中一個。量子重力論也是同樣的歷史悠久，但相對於量子場論，可以說它完全談不上成熟，可是它還是還有進展，只是說最後目標更高、題目更難。量子場論和量子重力論它們之間還有一些影響，量子重力論還是回過頭來影響量子場論的進展，它發展的技術可以用在量子場論，但就目標來說量子重力論還沒有達成，構造還沒有建構，所以不同的物理學家有不同的想法，提出我們該如何去接近這個問題。
其中一個比較為人家所注目的，我想你們一定不知道內容是什麼，但這個名字一定聽過，叫弦論(string theory)，它是屬於量子重力論的範疇。當然到了這個階段，實際作研究的學者在這裡可能在做數學跟物理的區別就不大了，雖然物理學家是在做物理，但他也可以說他在做數學，因為在這個地方數學跟物理彼此都認為互相有點幫助。不過Witten這篇文章的重點倒還不是說這個，Witten是弦論的大匠，這是大家都知道的。這個文章主要還是回過頭來談論量子場論的問題。量子場論這個學問在物理裡頭，我們現在已經發展成一套數學上嚴謹的理論，不過什麼是嚴謹這也很難說得清楚，不同時代有不同時代的要求。不過至少在量子場論中我們可以發展一套計算法則能夠跟實驗配合得很好，所謂實驗就是能跟現象配合。量子場論它可以解釋的現象範圍非常的廣，從電子現象到基本粒子現象，包括弱交互作用和強交互作用，都可以用量子場論這整個架構來理解，而且在統計力學、固態物理，量子場論也是非常成功，所以它可以說是非常成功的物理理論。但Witten在這篇文章中再次強調它的數學結構一直都不令人滿意，有一個基本的原因，我剛才提過量子力學需要operator algebra這些學問，我們這邊要先講個例子。在古典物理中，我們以
 代表粒子的座標， 是一般的函數；在量子力學或是operator algebra裡頭這些物理量 ，上面加個hat，強調它是operator，所以像momentum就要變成momentum operator，這些operator algebra一般來說是非交換的，例如說 和 這兩個operator，它的李氏積 。我們可以具體的物理解釋這抽象的符號，例如有一個 是一個gradient operator ， 這是大家都知道的。
在量子場論中什麼是場？我們講的是古典場，先舉一個最簡單的例子，
 ，這個 在某一個流形(manifold)上，對應到空間中每一個點，所以場就是有一個流形，流形上每個點對應到的一個值real-valued、complex-valued或是matrix，每一點都要有個東西在那裡，這就是場的概念。我們在高中學過電場和磁場，空間中每一個點就有一個向量，這就是向量場。最簡單的是實數純量場(real scalar field)。一旦談量子場論，空間中的每一點都是物体，空間每一點的這個 ，把它寫成operator ，所以每一點變成一個operator，一般來講流形上的點是不可數、無窮多個，所以我們談的是無窮維的問題，因此我們必須考慮無窮維非交換代數(infinite-dimensional non-commutative algebra)。有限維交換代數(Finite-dimensional commutative algebra)是已經比較了解，當然現在還是有可研究的問題，不過大致上已經比較了解了。從有限維的東西跳到無限維就很容易犯錯，你們數學家最喜歡找一些反例了。事實上也是有些東西在有限維是對的，跑到無限維的時候就不對了，我們物理學家把量子力學的概念直接用在量子場論就絆倒好多次，因為沒有數學家來告訴我們，我們是自已絆倒就自已摸索，終於摸索出一個比較成熟的量子場論，幾乎沒有借助到數學家的幫忙。
Witten在這篇文章的第二頁倒數第二行也說「Having to do functional analysis in a space with infinitely many variables brings a whole new level of analytic difficulty」。為了處理在無限維中跑進來的因素，我們物理學家發展出重整化(renormalization)，我相信你們很多人有聽過，但是還是不清楚它到底怎麼回事，以物理實驗的角度來看，我們有一套方法做重整化，但數學上它的妙處可能還沒完全被挖掘完。20世紀下半葉中期，物理學家都在忙著在做這個，而量子場論的數學基礎很困難不容易說清楚，所以物理學家和數學家這時候都各作各的，數學家也忙作自己的事情，如微分幾何、代數幾何的發展。數學家也不覺得這些跟物理會有什麼關係，也不信相物理家弄的這些場論會對數學家感興趣的題目有什麼影響，於是兩個領域就分開來了。當然Witten強調分開的原因，是因為用數學的角度來研究量子場論有內在的困難，可是代數幾何中的一些東西又出現在弦論裡，沒有人可以理解為什麼比較抽象的數學和物理，好像又是在談同一件事情。Witten認為這個世紀，他提出一個挑戰認為數學家應該正視這個問題，那麼他給些理由，在演講稿的第三頁中間的標題「Motivations for understanding quantum field theory mathematically」，從這個標題就可以知道，他想說服數學家無限維的交換代數是不可以避免投入的。他給了一些理由。第一個理由，這些東西在自然現像中真的有用，在傳統上來說，描述自然現象有用的數學一向是純數學的靈感來源，像是Maxwell方程式對數學的影響，或是說熱力學、傅立葉分析，所以他說為什麼量子場論不能成為數學的靈感來源？第二個理由，即便量子場論目前還沒有給人滿意的結構和了解，但已經有許多相當的進展了，這些進展包括，
*Donaldson theory of four-manifold,
*Jones polynomial of knots and related three-manifold invariants,
*mirror symmetry,
*cohomology of moduli spaces,
*elliptic cohomology,
*SL(2,Z) symmetry of characteristics of Kac-Moody algebras.
上面提到的這些名詞，多半我是不懂的。在數學系裡這上面每個名詞都可以找到老師問，多少可以有些收穫。量子場論的研究雖然是半成熟狀態，不過已經有一些好的結果，因此很值得去研究，這裡頭也有好幾個得了費爾茲獎(Fields Medal)。當初Donaldson或 Jones他們得到的結果和場論沒有關係，可是後來大家發現用場論觀點來看更妙，現在已經沒有人用當初Donaldson的方式，而用場論的工具來理解Donaldson的東西。量子場論可以提供一些靈感讓Witten猜一些結果。第三個研究量子場論的動機，在量子場論中我們還有很多東西不了解，如果能夠把量子場論的數學弄清楚，可以回過頭來解決理論物理裡頭還未解決的問題，這表示數學家那邊有進展可以解決物理的問題的話，也可以拿物理諾貝爾獎，所以做純數學也可以拿諾貝爾獎。於是Witten就提出具體的問題，讓大家起碼有個方向去回答，Witten認為他要提出一個好的量子場論的問題，希望解決這個問題後可以解決無窮維非交換的問題，所以他就提出一個標題「Four-dimensional quantum gauge theory」，什麼樣的數學問題最能恰當代表量子場論中的困難的挑戰？我們需要這個問題必須具備以下條件，
*central in physics,
*important mathematically, and
*representative of the difficulties of QFT.
Witten給自己設下的題目是「Prove the existence and mass gap of quantum Yang-Mills theory on R4, with gauge group a compact simple non-abelian Lie group G」，這個細節我們等下再談。
我們現在就先來介紹什麼是quantum gauge theory。有一本楊振寧傳，書名是「規範與對稱之美」，規範就是gauge的中文翻譯，要解釋什麼是gauge我就先從電磁學講起。從高中到大一的普通物理都學過，電磁學用電場和磁場的概念，電場和磁場又可以引入另外一個場的概念，例如以磁場為例子，把磁場寫成另一個場的curl，物理學家把它叫做向量位能(vector potential)，因為它是向量而且又有類似電場中位能的角色。我們在電磁學中談
 代表電場和 代表磁場，其實是可以用Φ跟 來取代， ，只要知道Φ跟就可以唯一決定和，但如果知道和要反過來求Φ跟，這樣並不是唯一決定的，所以cohomology的概念就進來了，這就是Maxwell理論會對cohomology理論產生影響的緣故。數學家喜歡問唯一和存在性的問題。 ,i=1,2,或3，我可以把這個一起寫成Aμ,μ={0,1,2,3}這個場是向量位能再加上電位能(electric scalar potential)，最主要的向量是三維空間裡頭的三個向量。物理學家又直接把Aμ說成向量位能，因為這樣一個向量是由四個向量構成，這要用狹義相對論的概念，把時間也看成向量的元素之一，我們也還是把它叫做是向量，只是現在把時間的元素包括進來，所以我們也可以把它叫做是向量位能。Ai是一個three vector，Aμ是一個four vector，這個向量位能就是規範場(gauge field)，數學家可能看見這種足標很多，他直覺地不喜歡，他覺得Aμ跟座標有關，他喜歡講的很廣義，所以寫成A≡Aμdxμ，據說你觀念要做極大的改變，要想這個跟座標不相干，然後物理學家說，呃？
無論如何，你現在有了一個form，根據陳省身講的要很快地來把它d一下，這是一個名言，他到處講看見一個form數學家第一個就忍不住一定要把它d一下。那我們就把它d一下，
 這裡頭的Fμν，其實我知道很多數學家或是一些數學家對這些form也不是說好像很理所當然大二就知道，其實很多人還不知道，當然你們以後會學到。所以我們這個F是電場跟磁場，它是物理量，起碼在古典物理我們相信可以量得到的。我們在物理裡頭常常需要知道F是多少，解它的算法就是先把A解出來，然後把它d一下就得到F，可是我剛剛有強調過，反過來的話，如果你知道F，那A有好多個可能性，因為那個偉大的公式ddΛ=0，如果做A→A+dΛ這樣一個變換的話，f不變，因為dA=d(A+dΛ)，那麼兩個不同的向量位能A和A+dΛ就對應到同一個F，其中Λ是一個zero form。
所以你可以選擇你的自由度，也就是說，同一個物理可以有不同的向量位能來描述它，這個我們可以作一種規範對稱(gauge symmetry)，我們物理學家在談對稱是很具體的，這個對稱是說L(A)是A的函數，可是做這樣的變換
 ，L(A)不變對應到L(A’)=L(A)還是A的函數，這個變化我們稱為是A的規範變換(gauge transformation)，這個對稱就叫做規範對稱。我更具體一點講，我們在物理裡頭所談的F是up to constant，這個常數我今天不談。 ，*F是F的對偶(dual)，所以我們在談4維空間，F是一個2 form，*F也是一個2 form，所以我今天所談的是這樣子的一個函數，L(F)叫做Lagrangian，因為這樣一個Lagrangian給我Maxwell方程式，所以我們把它說成是Maxwell Lagrangian，這樣我把一學期的電磁學課程都講完了。
問：那為什麼電磁學還要上一學期呀？
那是因為你們還沒有做習題。我們學一個學期的原因是因為，天底下沒有人是天才。沒錯，我是可以把廣義相對論的方程式寫下來，說我們一個學期都是要學這個方程式，我就已經講完，還什麼好學的？那是因為你還不曉得這個方程式解會是怎麼樣，它相關的現象你還不曉得，所以才要花時間慢慢學。因為沒有人是天才。當然有一種想法，以後我們教普通物理就這樣教，告訴你1 form、2 form這些方程式。的確有人很認真地說新世紀要有新作為，傳統的20世紀的教法太落伍，因為知識膨脹太快了，既然你已經知道有一些很重要的基本原則，我們就不要從頭教起，不要浪費時間去學習。可是這種做法就是不成功，我不能說原則上這樣子的想法有什麼不對，但就是沒有例子有人可以這樣來學然後可以學的很好，可以學但是學的不好。楊振寧也反對這樣子做。我們一開始就跟國中生講，世界就是由夸克做成的，然後Yang-Mills，然後就完了。這不是很多人講九年一貫，學一次就好，我現在要來罵九年一貫…或是找另外一個時間再罵一下。反正古早的人就還是像我這樣子，要慢慢、慢慢地學，所以如果你們有人聽到我剛這樣講好像講得很順，那是因為我講太多次了，不是因為我懂得很多更深的，就跟你們以前高中上補習班一樣，老師講的那麼順，就是因為他講了一百零一次，所以不要被我嚇到了。
接下來，我們把A→A'=A+dA這個變換叫做是 U(1)規範變換(U(1) gauge transformation)。現在Witten講的問題就是要把這個變成non-abelian gauge thoory的推廣，我們現在這個Aμ是向量位能，是從x對應到一個4-vector，那我現在把這個推廣，所以這個就是楊振寧跟Mills所做的，他就把A=Aμdxμ推廣成B=Bμdxμ，A接下來推廣成B，就是我們剛剛講的What’s mass of the Bμ field，Bμ就是這樣出來的。現在不管是A還是B，一般的習慣上這個符號還是用A來寫。這個 Bμ就是楊振寧、Mills做的，其實不只他們，還有其他人也是做下去，不過楊振寧、Mills的論文發表了最早，做得最完整、最清楚、最漂亮，所以我們就只講Yang-Mills。這個Bμ也是一樣，弄成一個matrix valued 4-vector，就是每個元素都是一個矩陣，(A0，Ai)中這個元素裡面A0是一個數字，我現在這個B0是一個矩陣，最簡單是2×2，1往下就是2×2，所以楊振寧當初他們所作的具體的一個2×2矩陣的例子，2×2矩陣就可以用Pauli矩陣作基底把它作展開來，這就是SU(2)群基本的數學。我們現在就有一個變換，這個向量變成4 matrix valued vector，我們現在還是要d一下，可是你把它d一下你會發現什麼？Bμ沒有好的性質，d一下不夠。
當初這個楊振寧跟Mills的困難就是，其實這是楊的問題，楊知道他要推廣Maxwell方程式，他就是把Aμ推廣成Bμ，我們現在這個Aμ變成Aμ'，那他也要去找Bμ變成Bμ'，那他要問說現在這個F是等於什麼東西？我們猜第一項是Bμ，可是是不是還有別的？他就是在掙扎這個變換麼，Bμ'應該怎麼樣適當的廣？根據他自己的回憶錄，這個問題他在西南聯大當研究生的時候，腦筋已經約略有這樣的問題，可是沒有很明顯的進展，他把這個問題放在腦筋裡頭，想了六、七年，然後一直到1954年，他跟Mills共用同一個辦公室，Mills是那個時候剛出道的Ph.D學生，兩個人一起把這個問號找出來。答案是F=dB+B^B。那麼在了解這個以後，這個Maxwell Lagrangian就可以推廣成Yang-Mills Lagrangian，那這個L是Maxwell Lagrangian，再這樣作下去之後，現在變成Yang-Mills Lagrangian，這個
 ，加一個trace就好，B^B這項我這個是用form的形式來寫，如果用component寫下來，就會有[Bμ,Bν]這樣的結構出現。
我知道這個地方講很快，我們不是馬上懂，只是有一點概念，感興趣回家再繼續念，不感興趣就忘記算了。那Maxwell Lagrangian談論電磁現象，電磁現象很重要的一個概念是電磁波electromagnetic wave，這個電磁波把它所謂量子化以後就得出一個概念叫做光子(photon)，所以Maxwell方程式就是來處理光子現象的方程式，應該是說Maxwell理論就是來處理光子的行為的理論，這一點是現在已經相當成功的一個理論，有關光子的現象我們了解的相當多、相當徹底，物理系的都知道，但是你們數學系的不一定知道，把這個理論講的比較全面、完整，就是我剛才有提過的Schrodinger和Feynman，他們就是把從量子化以後的Maxwell理論講的比較完整。那現在有一個Yang-Mills理論，它對應於光子的粒子是什麼？了解這個問題嗎？Maxwell理論描述的是這個光子，那現在Yang-Mills理論對應所描述的粒子是什麼，其實沒有一個好的名字，所以這個把它叫做Bμ粒子，或者說如果你勉強要講叫膠子(gluon)。光子不帶質量，也許我應該要比較精準的講，你們都知道有一個公式E = mc2，二十世紀最出名的公式，其實有一個更廣的公式E2=p2c2+m2c4。E = mc2這個公式有特殊的意義的，如果有個靜止粒子的質量是m，它有個能量是mc2，代表粒子靜止不動的能量，但是更廣的來講應該用E2=p2c2+m2c4，所以當我說光子是沒有質量的時候就是說，光子的動量跟能量的關係是E = pc，因為m = 0，所以光子的動量跟能量是成正比的，這就表示光子不能靜下來，一靜下來就沒有光子，就沒有意義，所以說光子雖然沒有質量，但是會有能量，就是因為它在動，而且它的速度永遠是c，我講過光子沒有質量的意思，具體地來說就是它的動量跟能量是成正比的。
當初有個很有名的一個故事，楊振寧寫在他的回憶錄裡面。楊振寧就在1954年，他在MIT演講Yang-Mills理論，楊振寧在講這個理論，當然是告訴人家他是怎麼想到這裡，他說我就是要推廣Maxwell理論，Aμ現在要推廣成Bμ，然後寫下Bμ，我不曉得他符號是什麼，基本上就像我剛剛講的，可是他把Bμ寫下來之後，Pauli在底下聽，Pauli就問” Bμ的質量是多少？”楊振寧說我不知道，然後他就繼續要講，Pauli就又再問一次” Bμ的質量是多少？”，那楊振寧就說這個問題很複雜，我們還沒有得到這個答案，Pauli說這個不是藉口，那當然是很嚴厲，高手過招就是這麼嚴厲。他的意思擺明就是說其實你講的我都知道，我問的就是我不知道的，那我不知道的也就是你不知道的，那你這個何必講？Pauli的意思就是說他的腦筋裡頭早就已經有這些概念了，只是沒有把它寫下來，沒有把它發表，言下之意就是說因為我不知道Bμ的質量，那我現在問你，你也不知道，楊振寧就覺得說，那接下來要怎麼講？於是他就是坐下來了。那Oppenheimer就出來打圓場「我們就讓Frank可以繼續講完吧！」Frank是楊振寧的英文名字。楊振寧從此以後就很順利講完，Pauli不再問一句話。後來Pauli給楊振寧的紙條說「我很抱歉，這個場面搞到這個樣子，好像我們就沒有辦法再繼續問答。」楊看在Pauli給一個紙條就再去找Pauli，Pauli就告訴他「我帶你去看什麼什麼文章」，然後把他帶去看Schrodinger的一些文章。其實，這種推廣的概念，在一些人腦筋裡頭已經有這樣的概念，但還是楊把它發表出來。也許是楊不像Pauli已經拿諾貝爾獎，想說我不要隨便講錯的東西，楊那時候還不是現在所知道的楊，所以看錯還沒有什麼關係，他發表這個文章，其實是所謂半成品，因為他還沒有把這個答案寫出來，也沒有關係，反正我發表。那我想楊是這樣的一個策略是對的。以後，老闆要是告訴你說，你這個東西還沒想出來，那你就不要怕，反正你就專心發表。
Pauli問的這個問題，他問Bμ的質量，那Pauli說最簡單的一個答案是，這是跟光子一樣不帶質量，可是這個是不對的，Pauli不知道這個對不對，但是這個如果是這樣給答案的話太輕易了。其實答案不是不帶質量，這個楊振寧知道，那時候他有偏見認為好像就是Bμ不應該不帶質量，可是你又講不出怎樣去算出它的質量。這個我要來解釋他為什麼會有這個偏見，是需要更長的一個時間，那我就不講，這是一個很難的問題，這個問題一直到現在，從數學的角度來講還是一個未解的問題，不過我等一下還會講，為什麼問Bμ的質量不是一個公平的問題。你可以說，從1954 Yang-Mills理論出來，一直到1971、72、73，20年的時間，物理學家的成就，也許不是很自覺在回答這個問題，但基本上他們的成就就是解決了Bμ場質量是什麼的問題，那這個當然就有更多的故事，我就不說了。
為什麼問Bμ的質量這個不是fair question？光子我們說是電磁波，電磁波就是電場、磁場。電場、磁場是物理場，所謂物理場就是你可以量的到的，電場是多少？磁場是多少？量出物理量，而它是怎麼規範出電場的。因為我剛剛也寫過了，就是說F是物理量，A不是一個物理量，所以F這個物理量要唯一，起碼你要接受物理量要唯一，而這個A在傳統的物理裡頭，把它看成是一個輔助的數學工具。photon基本上是要跟F連在一起。B本身不是物理量，就好像A不是物理量一樣，所以你說Bμ場的能量是多少，或是Bμ場的質量是多少，這不是很公平的，因為B是一個規範理論，它不是一個物理量，那你要是問，在Yang-Mills裡頭這個量是什麼，這是一個大問題，你怎麼樣去找一個叫做規範不變量(gauge invariant quantity)在Yang-Mills理論裡頭，這個問題是從1954年一直到1973年持續地在研究，特別是有一些概念，我這邊就沒有時間講。所以Pauli這樣子問，第一點就顯現出他真的有遠見，因為他已經看出這個問題來；第二點也顯示出他問題還沒看清楚，不能問Bμ場。因為Bμ場不是一個物理場，所以你不能說Bμ粒子，什麼叫Bμ粒子？在這裡頭如果真的要去講的話，可能要一段時間。
我們能夠問的問題是這樣，因為我剛才講說E = pv，對光子來講你把這個畫出來，若寫成E跟p是線性的，所以如果光子的動量趨近於零的話，那麼它的能量也趨近於零，這個情形我們就說沒有mass gap。假如是E2=p2c2+m2c4這個公式的話，p = 0的時候E = mc2，沒有質量的話E跟p是線性關係，有質量的話，它一開始是有一個mass gap。Witten替Clay Mathematics Institute所提的這個問題就是，在Yang-Mills理論裡頭我們現在已經很多的物理的證據，但不是數學的嚴謹的證明，這個能量對於parameter，就是說把momentum當作常數，事實是有個gap，我們認為這是正確的，就是說來描述量子Yang-Mills理論應該是這樣子的。我剛才強調說不應該把Bμ看成是一個粒子，這個地方我要把一個光子看成粒子，光子是一個規範不變(gauge invariant)的場，所以這個可以看成是光子的能量，那我現在很含糊的來講，對於Yang-Mills場這個能量就沒有特別指明是Bμ的能量，那它是什麼呢？
如果我有一個Hamiltonian，在量子力學Schrodinger方程式裡頭，有一個方程式是在求一個系統的能量的時候，這個系統要滿足一個方程式，就是Hamiltonian operator作用到波函數，HΨi=EiΨi，Ψi是一個eigenfunction，Ei是eigenenergy，當然可以有同一個Hamiltonian，算出好多個可能的Ei出來，這些{Ei}叫做energy spectrum能譜。有一些能譜很容易有物理解釋，比如說Maxwell方程式，我沒有仔細講這個它的Hamiltonian是什麼，但是如果你把這個方程式寫出來，然後把它的能譜解出來，這些就是量子態，那其中的量子態可以跟光子對應起來。在Yang-Mills方程式裡頭，那些量子態不能夠有一個簡單跟Bμ的對應，我要強調這一點，但是你仍然有量子態，有A的eigenstate，我們相信對Yang-Mills來講，這個A的eigenstate是有個gap，我們講gap就是mass，那它要有一個dimensional parameter，它應該是帶單位的量，所以這個gap就是一個dimensional quantity。可是我們有一些的理論，沒有任何一個參數是帶單位，像長度這是帶單位的量，而不是一個不帶單位的量；像電荷，電荷是帶單位，不過也許你說我學的電荷是不帶單位，這個又講複雜了。在某種意義下，物理是比較難一點，就是我們這裡扯一點，那裡扯一點，你開始已經被我甩開了，你跟丟了。前30分鐘講的都很淺，後來我那裡扯一點，這裡扯一點，物理就是這個樣子，就是很混亂。
問：電荷是不帶單位的？
對，在適當的單位底下它是不帶單位的，所謂適當的單位就是浦朗克常數跟光速都等於1的情況之下，它就不帶有單位。
總之，這個理論原先是沒有帶單位的參數的時候，那我這個gap哪裡來？這也是當初楊振寧他們拿不下決心的地方。不過從單位的角度來看，Yang-Mills理論應該是gauge，我們不要講說是線性，它不一定是線性，但是它必須不能夠有gap，另外一種情形是中間沒有gap。如果回答是這個有gap的，那就必須要有帶單位的量；如果是沒有gap的，就不需要要有帶單位的量。楊振寧那時候從這個角度來看，Yang-Mills理論是沒有mass gap，但是他那時候談的是Bμ的質量，可是那時候因為對於什麼叫做規範對稱了解還不夠透徹，因為我剛才強調Bμ不是gauge，你不能問Bμ的質量。當初大家問Bμ的質量，也對也錯，對是說這個問題是對的，錯的是說你那個做法是錯的。所以從單位的角度來看，應該沒有mass gap，但是他又有另外的偏見告訴他應該有gap，那另外的偏見我在這邊就沒有解釋，反正現在那些論點都不是嚴謹的。
總之我們現在相信Yang-Mills理論應該是這個樣子的，如果要拿到那100萬，第一個，是要證明這個方程式是合理的，這個也許不能解，因為這個方程式寫下來是很複雜，H是operator，然後這個operator又是在無窮維的空間裡頭的operator，這個意義講不清楚，你必須要把這個意義在數學上講嚴謹，起碼要滿足Witten的嚴謹。然後第二個，我們剛剛不是說這個spectrum，假如你能寫出來是最好，不過一般大家要求不會這麼高，不要求會寫一般只要證明它有gap就好，那我這樣講的假設還不夠，你可以去Clay的網站，或者我寫的文章裡一些更精準的一些敘述。這個就是Witten給Clay的問題，他認為quantum gauge theorem的挑戰。
請大家看到第五頁，倒數第五行，comments下的方程式
 就是我剛剛講的東西。然後接下來看第六頁，這就牽涉到要怎麼定義一個量子 gauge theory，那在這個page裡頭，我今天完全沒有時間來講，它這個是用所謂路徑積分的語言來講，我們就跳過去，其實這個已經是問題的開始，寫在那個第六頁上面的式子， ，如果你能夠從數學上把這個式子講清楚，那這個問題大概已經解掉1/3了，就是怎麼樣來談論場論裡頭它的functional的意義，所以這個地方我就不解釋了。然後，底下我們看到第八頁中間D = 3，這個D的意義代表dimension。我們現在所談的是四維的Yang-Mills，但是Yang-Mills可以在任何維，二維、三維、四維、五維都可以，可是它需要具體的，因為在物理上需要四維，所以它就是講四維，所以四維Yang-Mills的理論，那麼剛才我寫個R4或R3，這裡牽扯到是Euclidean 還是Minkowski，我想也不再特別講什麼Euclidean manifold還是Minkowski manifold，如果我們是特別強調是R4，以拓樸來講的話那當然是R3 × R1，就是把時間跟空間拆開來對待，在空間的metric可以跟時間的差個符號，那如果你不要這樣看，你要直接看R4，如果我的metric是[1,1,1,1]，那這個地方的metric是[-1,1,1,1]，我講這個太深入，反正就是說D = 4。所以Clay的問題是要你證明D =4的Yang-Mills理論有gap。可是Witten講，這個問題可能太難，大家要先作一個簡單的習題，他也不是要你作三維的Yang-Mills。D = 3時有一個理論叫做Chern-Simons理論， ，其中 是Chern-Simons不變量。 Witten認為，說不定有另外一個理論可以先進一步理解，這個是比Yang-Mills更簡單的一個理論，我沒有能力來解釋什麼意義底下把它看成是一個理論，這個必須要從頭講起，我想我不仔細解釋，總之Witten 說也許Chern-Simons這個理論大家可以先玩一玩。
Chern-Simons對物理學家來講也是原先就有意思的一個問題，但這個問題不全然是在問它的gap，像我要問這個理論有沒有gap，這樣的事情，你一樣都可以問，這不是一個適當的時間來解釋這個。我講到最後倒數第二頁了，你們感興趣的話自己再去把我中間跳過的地方補起來，包括最後一頁的 q = exp(2πi / (k+h) )，如果學Kac-Moody Algebra會發現這樣的規則是有點眼熟的，可是這不同的題目、不同的領域，居然出現一些式子是類似的，說不定表示說裡面有一些有趣的關聯，那什麼是k我就不解釋了。我甚至還可以宣稱為什麼是k+h我對這個還有點貢獻。
問：為什麼粒子看成string就可以跟quantum gravity有關聯？
這是很基本的問題。我們先講classical gravity，那我剛才講classical gravity的出發點是黎曼幾何，所以你的出發點一定要有個metric
 ，這個gμν，你可以把它看成是一個場，像ψ是一個scalar場，Aμ是一個向量場，gμν是一個張量場，這些都是場，所謂場只要它是space-time點的函數，所以在classical gravity，就是愛因斯坦的gravity，你所談論的是這個張量場，rank two的張量場，那在電磁學裡頭談的是這個vector potential，有的當然可以更複雜，反正場就是這些結構。ψ這一個場，如果我們把它量子化以後，發現說它所描述的粒子它是不帶角動量；Aμ這個場，把它量子化以後是spin 1；至於gμν如果把它量子化以後，你會發現說它是個spin 2，描述的是一個spin 2的粒子，我現在跳很快，因為我沒有解釋什麼叫做spin。spin1的粒子，舉個example就是光子photon，那這個spin 2的粒子，我給它一個名字叫做重力子graviton，把古典場量子化以後，我們相信這個理論應該帶有一個spin 2的粒子，所以我們常常見到有這種敘述，較通俗的敘述就是說電磁交互作用就是兩個帶電粒子交換一個spin 1的粒子，而重力交互作用是兩個物體交換spin 2的粒子，可是這個要有點要稍微小心一點，因為Maxwell理論是線性理論，所以量子化就比較單純，而愛因斯坦理論，我現在也沒有在解釋什麼是愛因斯坦理論，它是一個非線性理論，量子化比較複雜。所以我們把gμν看成是一個spin 2粒子，等於是取一個假設，它的線性化的理論還是有點意義，如果是那個樣子的話，我們可以來談論spin 2的粒子，很多人已經被我甩開了，什麼叫做線性化的理論？什麼是在愛因斯坦理論裡頭有一個粒子叫做graviton，它是一個spin 2？
不管怎麼樣，但是到一個地步以後，你的gμν扯進來以後，spin 2跟spin 2的交互作用之後，到底是spin 2還有沒有單獨意義你就講不清楚。photon是還有單純的意義，可是這邊就比較複雜了。不過，總之這是一個我們叫做是theoretical style，物理就是說有些現象，雖然我們有所保留，可是大致上你覺得spin 2還是可以去談論它的。你們知道一根繩子把它搖晃的話，取它的oscillation form震盪態，然後把這些震盪態量子化以後，這些震盪態也可以帶有spin，其中一個震盪態就帶有spin 2，spin 2可以連到gμν，gμν就連到metric，而metric透過equivalence principle是連到graviton，所以你只要有spin 2，我們是相信說大部分你可以得到graviton，所以這邊是太簡單了，因為我只要去把任何可以給我spin 2的系統，就可能可以得到quantum graviton，當然這樣講好像是很輕易，但是這個系統畢竟不一定是consistent，但是到目前為止，在string theory中你還沒有看見不是consistent，這個已經不得了，其他的得到spin 2的方法都不consistent，要不有無窮大，或者是各式各樣的問題。所以雖然string會寫出一些奇奇怪怪的理論，像它現在提出十維的時空，但是，它在十維的時空起碼是沒有矛盾的一個重力論，可是我們的時空是四維的，這樣怎麼下來，現在沒有人知道。
問：像您在做究的時候，常常需要用到很艱深、前端的數學工具，那您們是邊做研究邊學習的呢？還是以前就未卜先知的事先打過基礎？
我不能代替別人講話，對我來講，我也是一邊研究一邊學的。人的腦袋很奇怪，你有沒有讀過Feynman的書？他講說他去數學系，然後數學系學生可以講很多拓樸定律，他說”你講一個定律，我腦筋裡就會有一個具體的圖像，然後我就可以理解”，所以物理學家常常就是從具體的例子學習，所以我跟你講說我腦筋裡頭，我在講Yang-Mills可能很具體，那你們可能就很抽象，或者很廣義的來看這些東西，可是廣義到一個地步，你們就抓不住了。而物理學家就一直是很具體的，也許他很具體，但是他不夠廣，但是那樣起碼比較踏實一點，所以這個中間怎麼取得平衡是很難。那Witten據我們所知能取到一個平衡，比較抽象也行具體也行，那當然他自己比較走抽象這條路，所以很多東西他所提到的，也是我們很不容易去想像的。所以你問我怎麼學的，我說我也不知道，我也常常來這邊問你們的老師，我也是去跟你們老師去請教，這些概念是什麼？反過來講，你們的老師也覺得說數學家覺得很困難概念，你們怎麼好像嘴巴講一講就這樣子，那我們是裝作懂。像index定理，我們也覺得我們有一套我們物理學家懂得辦法，那一個定理你們可能會覺得說，噢，你想到一個定理，你們可能就覺得是很難的證明，那我們不是，我們不在乎證明，我們只要能夠了解這個定理在講什麼，它的意義對我來講就夠了，我們的證明就是有某一種我們覺得可以就好的證明。可是現在Witten的意思等於說，物理學家有一種場論證明index定理的辦法，可是這些辦法，是不是可以把它講的更清楚嚴謹一點，而且走這一條路顯然還有很多的有趣的秘密跟數學還沒有被挖出來。
我也許應該這樣講，傳統上面物理、自然科學從數學的角度來看，本來是比較應用的，相對是apply math的東西，可是其實現在是反過來，你如果跟理論物理比較接近的話，反而是非常純粹，就是說沒有什麼應用。你會說自然科學就是個應用，可是我想這個應用是說，它也不是computer science，也不是單純解微分方程式，也不是使用計算機，就是它其實是pure science。這麼說有點詭異，我同意，以前我們當學生覺得說我們物理就是把它看成是應用數學，但是當然數學也許不應該分成數學跟應用數學，可是我們勉強還是把它分。那如果是這樣的話，我會覺得很怪異的就是說物理可能恐怕比純數學更純，這是很詭異的，我沒辦法解釋中間為什麼會有這個狀況。所以不要以為說數學太難，我們走到物理裡頭，你會發現除非是你不做理論，不然你走到物理來，如果是作數學問題的話，其實是相當的沒有什麼應用價值，也就是說不好找事，我們講應用不應用具體來講就是你好不好找事，也許好找事，也許不好找事。不過我覺得很奇怪，像英國劍橋大學理論物理前面有一個帽子在上面，叫做應用數學，可是很怪異的，你再怎麼談的這個物理，它所牽涉到數學的大意，可是就是非常純數學的東西。
大家可以去看我有一篇在數學傳播上叫做「Bμ場的質量是什麼？」，我有把transformation的公式都寫下來，那如果你在有問題，當然可以來找我。
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2009-04-21 PM 3:11
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