phymath999: 李代數:宏觀世界的所謂“連續性”只是一個“感官的假象”。對於討論微觀世界的量子力學而言，其數學分析方法就是關於“無窮小”的李代數（核物理）。

Friday, August 3, 2012

李代數:宏觀世界的所謂“連續性”只是一個“感官的假象”。對於討論微觀世界的量子力學而言，其數學分析方法就是關於“無窮小”的李代數（核物理）。

宏觀世界的所謂“連續性”只是一個“感官的假象”。對於討論微觀世界的量子力學而言，其數學分析方法就是關於“無窮小”的李代數（核物理）。

主人：wanglixin888

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關於數的科學[轉貼 2011-6-11 13:53:47]

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就牛頓對微分推導的錯誤認識答網友提問（本文很難懂）

jang[原創]

甘蔗網友在我帖子裏的留言：

（牛頓對數的理解是錯誤的，不存在沒有大小的數，這樣，微積分的計算只能是對事實的近似，這個事實，所有的數學家都不理解，這是哲學問題。）
======================
請樓主對上面的結論發個貼子，說得詳細一點，我感興趣。

我的答復：

你先看這一段我轉帖的，如果能理解我就談我的觀點。

"微積分誕生之後，數學迎來了一次空前繁榮的時期。對18世紀的數學產生了重要而深遠的影響。但是牛頓和萊布尼茨的微積分都缺乏清晰的、嚴謹的邏輯基礎，這在初創時期是不可避免的。科學上的巨大需要戰勝了邏輯上的顧忌。他們需要做的事情太多了，他們急於去攫取新的成果。基本問題只好先放一放。正如達朗貝爾所說的：“向前進，你就會產生信心！”數學史的發展一再證明自由創造總是領先於形式化和邏輯基礎。

於是在微積分的發展過程中，出現了這樣的局面：一方面是微積分創立之後立即在科學技術上獲得應用，從而迅速地發展；另一方面是微積分學的理論在當時是不嚴密的，出現了越來越多的悖論和謬論。數學的發展又遇到了深刻的令人不安的危機。例如，有時把無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時卻又令無窮小量為零而忽略不計。由於這些矛盾，引起了數學界的極大爭論。如當時愛爾蘭主教、唯心主義哲學家貝克萊嘲笑“無窮小量”是“已死的幽靈”。貝克萊對牛頓導數的定義進行了批判。

當時牛頓對導數的定義為：

當x增長為x+o時，x的立方（記為x^3）成為（x+o）的立方（記為(x+o）^3)。即x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。x與x^3的增量分別為o和3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。這兩個增量與x的增量的比分別為1和3 x^2+ 3x o+ o^2，然後讓增量消失，則它們的最後比為1與3 x^2。我們知道這個結果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設o是不為0的，而在論證的後一部分又被取為0。那麽o到底是不是0呢？這就是著名的貝克萊悖論。這種微積分的基礎所引發的危機在數學史上稱為第二次數學危機，而這次危機的引發與牛頓有直接關系。歷史要求給微積分以嚴格的基礎。"

本人觀點：

實際上沒有不可見的點，所謂即 Δx就是他定義的最小點，Δy:Δx反映的是它們的方程式的關系，就是它們間的本質關系，和它們的取值大小沒有關系。所謂的無窮小量就是這個它定義的最小量殘余成分，所以，這個比值的精確度和這個最小量的取值的精確度有關，但是誤差就是這個殘存的無窮小量。所以微積分只是個近似，它不能像整數運算那樣絕對準確。

點是有大小的，在古今數學思想一書中，後代的數學家提供了一些古怪的證明，其實都是思維不清晰的產物。線段，距離都是由有大小的點組成，點的大小取決於你的定義，這樣5厘米長線段的點的數目就是10厘米長線段的點的一半。從速度上來說，也沒有你即在又不在某地一說，在某一時間段，你必在某地段內。

我們看高中數學教材，Δy/Δx=tan B,就是說Δy/Δx是割線的斜率，如Y=X^2 +1那麽K=lim(Δx趨於0)f(x0+Δx)-f(x0)/ Δx,最後K=2，他的解釋是當Δx趨於0時，割線的極限就是曲線在某點的斜率，比如P（1,2）點吧。斜率就是2.

這完全是無中生有啊！只有有增量，才談得上斜率。你都趨於零了，等於回到了原來的位置，就是P(1,2)點，斜率即正弦是怎麽定義的呀？變了一番戲法，原地變出來個斜率，這是什麽意思呢？

這個點P是沒有斜率的，就是說，這個增量不能趨於零，才有意義。這個最小的增量是你定義的，根據你的精確程度的要求設定。沒有絕對的最小量，最小量只是相對的，只有有和無的區別。

所謂自變量X和因變量Y的關系是方程規定的，不管X有多小的變化，Y 都和它保持著這個方程規定的關系，但是如果X沒有變化，那Y也不會有變化，就談不上斜率。

哪位學生發現了這個微分推論的邏輯問題？學生就算了，老師教課不也是人雲亦雲嗎？就是把外國的東西拿來一背就完了。

我們知道了點是有大小的這個事實，就澄清了思維的誤區，這樣，比如，比如芝諾悖論這樣的問題就很小兒科了，我們知道速度就是一種距離和時間的對應關系，如果阿喀琉斯的速度超過烏龜的話，他肯定能追上烏龜，因為你取任何相同的短時間段，阿喀琉斯通過的距離都有超過烏龜。

數的概念是什麽意思？是我們對具有相同性質的事物的印象的記憶，只有整數存在。其他的數的概念是不可理解的。

再看我轉帖的觀點：

"這些事實使我們明白，在為分析建立一個完善的基礎方面，還需要再深挖一步：理解實數系更深刻的性質。這項工作最終由外爾斯特拉斯完成，使得數學分析完全由實數系導出，脫離了知覺理解和幾何直觀。這樣一來，數學分析所有的基本概念都可以通過實數和它們的基本運算表述出來。微積分嚴格化的工作終於接近封頂，只有關於無限的概念沒有完全弄清楚，在這個領域，德國數學家Cantor做出了傑出的貢獻。"

本人觀點：沒有無限這個概念，什麽都是有限的，你感受到的一切都是有限的，無限是一個偽概念，是不可理解的。也是不存在的。

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俺的評論：

所謂的數學，是人頭腦中對概念的理想化，在現實的物理世界，不存在無窮的實體，不管它是無窮大或是無窮小。所以人們就要玩弄概念的遊戲，用一種稱為辯證法的邏輯達到理想的境界。實數不是一個完備的概念集合，所以必須引入“無窮性”的不確定概念。所謂的實空間，就是忽略“無窮小”的點空間的一個非完備集合，所以實數的集合就是一個篩子，對實數集合的空間占用率就是一個概率的測度。實數集合的“疏密性”問題，在任意兩個實數之間，總可以找到一個介於之間的實數，這是它的稠密性，但由於這是個無限的過程，所以它是不能窮盡的，這就是它的稀疏性。在疏密的矛盾下，說明實數集合不能完全地覆蓋整個理想空間，所以在其間必定存在另一個數的集合。這個集合的數占有空間的“無窮小”間隔稱為實數的一個“補集”，稱為實數的一個“鄰域”。終極答案：如上所述，忽略“無窮小”，對實數集合運算之結果，沒有任何影響，因為這個“無窮小”根本不屬於實數集合

數學是純抽象的概念體系，雖然它自身在體系上是邏輯自洽的，但不能不顧及物理實在，不然就會出現謬誤和悖論，比如現有的“無窮大”概念本身就是一個悖論，康托就被自己的理論整瘋鳥，嘿嘿嘿。實際上，所有的無窮都只是概念上的存在，無論是實無窮或是潛無窮。因為數量的大與小總是一個比較的存在，所以大與小是一個相對的存在，當兩個數量不能進行確定性的大小比較時，無窮的概念就產生了，出現了一個絕對化的存在，也就出現了關於無窮的不確定性。這種不確定性在於抽象思維本質的假設性，而這個假設在現實的世界是根本不存在的，原因在於物質本身不是無限可分的，而是大到極致就是小，小到極致就是大。這一點在中國古代的哲學思想中有所描述，其大無外就是無窮大，其小無內就是無窮小。

數這個概念的起源，是源於人們對勞動成果的分配，也就是對物品的計數（自然數），隨後就出現對同一物品的分割分配（分數），接著就出現分割的非整數（無理數），這就是人們頭腦中“實數”的來源。幾何學的出現帶來了點、線和面及體積的觀念。這時抽象的元素就出現了，數學的對象由自然界分離的物品變化為連續的物質。事實上，從物理學的觀點來看，物質的連續性是一個感官的假象。在此假象下，數學家用帶有實數刻度的坐標系統來描述這種連續性，然而事實上，在微觀世界卻不存在這種連續性。這樣，作為對客觀自然物質世界的抽象描述工具的數學，走向了形而上學，與客觀自然發生了脫節。也就是說，在宏觀世界有效無誤的數學理念在微觀世界是行不通的。這種現象體現在對幾何線段的無窮分割上，不但數學悖論叠出，也由此帶來了數學危機，也即確定性的喪失！所以，現在是該到了產生數學革命的時代了。

關於微積分的“無窮小”分析，在宏觀世界的計算與結論是成立的，但是，由於“無窮小”的概念來自於“實數”對線段的“無限分割”，這時其思考的對象就已經進入微觀物理世界了。由於微觀世界不具有宏觀世界那樣的“感官連續性”，數學分析就失去了現實的物理模型，其抽象分析所依據的基礎就出現了問題，成為一種空洞的臆想。所以，以“實數”對線段無窮分割產生的“無窮小”概念沒有一個客觀的物質基礎，對於這樣一個不存在概念的分析，就會產生理論上自相矛盾的疑難。根據數學是對客觀物質世界的理性抽象的科學原則，我們的數學理論應該建立在客觀的物質對象上，這個對象就是物理學的時空。關於時間與空間的正確理論，肇源與愛因斯坦的相對論，而關於對物質構成的探索，發展出了量子力學，在經典理論的範疇二者是不相容的，其根本困難就出在空間的連續性質之上。這也是數學分析的“連續性”在“無窮小”問題上的矛盾顯現。從終極的觀點看，物質世界的本質是“非連續”的，而宏觀世界的所謂“連續性”只是一個“感官的假象”。對於討論微觀世界的量子力學而言，其數學分析方法就是關於“無窮小”的李代數（核物理）。由此可見，只有揚棄數學上對於“連續性”的“無限分割”觀點，才可以得到關於“無窮小”的正確概念。

現在我們來看看為何實數的集合是一個“感官的假象”，看一個簡單的例子：比如一個學校的老師在上數學課，講什麽是坐標的線段？首先他用粉筆在黑板上畫了一條直線，然後再畫上坐標的刻度，分別是坐標0，刻度1，2，3。。。（最後的刻度可標記為N）。然後再坐標刻度1到2之間細分10份，分別是1.1，1.2，1.3，1.4直到1.9，由於所畫線段長度有限，就不好在細分出1.01，1.02等等。這時這個老師會說：如果我們按此方法細分下去，永遠沒有窮盡。也就是說：無論多麽小的兩個實數間隔之間，我們總可以繼續細分下去，所以說，在任意長度上，實數的個數是無窮多的。而事實上，這是一個“感官的假象”。無論是什麽物質，都是由分子和原子構成，當我們把例子中黑板上的粉筆線條在電子顯微鏡下放大觀察時，就可發現，組成黑板的物質是由在空間上不連續的原子構成。也就是說，在宏觀上連續的黑板平面及上面的粉筆直線，在微觀下發生了“斷裂”，此時斷裂處是沒有物質的空間。而我們在理想化的最大限度細分線段的刻度處，並沒有物質存在。如果說在該線段上有的刻度對應到一些物質粒子，那麽必定存在另一些刻度沒有對應到物質粒子的情形。既然如此，我們定義的實數連續性意義何在呢？

如前所述，在對線段理想的無限分割情形下，我們可以看到，全體實數對應到兩類物質之上，一類是物質的粒子，另一類是物質所存在的空間（當然，在這個真空空間裏充滿著量子化的能場）。現在我們可以假定一下：我們的物質對象在其空間的分布是“均勻的”，而其間的能量場是按量子規律來分布。我們把對應到粒子的實數稱為“實粒子數”，把對應到空間的實數稱為“虛空間數”，這樣一來就把全體實數分為了兩大類。由於物質粒子在空間的均勻分布，並且實數的坐標刻度是一個“無標度量”（即無具體量度單位），所以它是可以“無極縮放”的。所以就可把實數中的“自然數”恰好對應到物質的每個粒子之上，而對於其分數和無理數，就對應到物質之外的空間之上。這個分數和無理數所在的刻度，正好是物質的“不連續”斷裂處。

根據前述的觀點，現在我們可以構造一個關於實數的模型，首先，從物質與真空空間的關系看，實物是哲學意義上的“有”（標記為S），而對於真空空間，對應哲學上的“無”（標記為T），從存在物質三維空間與真空場的關系看，兩者在空間關系上相差90°，也就是說我們可以把這個關系表達為：S+iT（其中i為單位虛數，i=e^iπ/2），這正好是一個二元的復數。也就是說，數學經典意義上的實數由於其“感官的假象”產生得到的是一個虛構的集合。根據前述的“數-物對應模型”，間夾於自然數之間的分數（有理數與無理數），實際上是一個二元復數的“虛部”。而其真正的實數只包含“自然數”，它是二元復數的“實部”。這也是在對整個物理空間進行理想全覆蓋定義下，把實數稱為“非完備集合”的理由。在此我們得到的結論是：對整個物理空間進行理想全覆蓋的數之集合，不是一個單純的實數，而是一個復數。

。。。未完

引用：

數學家們能夠從許多對立的方面推出新的結果，因為無法從事物本身判斷孰是孰非。其中，最重要的原因自然是數學的產生和發展以及數學對科學的作用，這是一種傳統的、仍然是最無可非議的原因。人們現在知道數學基礎的不確定性以及對於數學邏輯的疑問即使不能夠被解決，也可以通過加強它在自然上的應用來回避，用愛默生（Ralph Waldo Emerson）的話說，就是讓我們“用物質為思維營造基地”。在先驗的基礎上，我們不能斷言由數學定理產生的結果必定可以直接運用；我們也不能斷言，如果將其與合理的物理原理一同使用時，從這些原理中產生的演繹推理可以導致正確的物理結果。但是，應用可以提供一個實用的檢驗標準，對於那些反復推出正確結果的定理，人們使用它們的信心將會逐步增強。比如說，如果選擇公理能在連續的使用中始終得到合理的物理結果，那麽對它的疑慮也就自然消除了。

M·克萊因：數學，確定性的喪失

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數學：宏觀數學（微積分）和微觀數學（量子數學）

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