夏烆光 非均匀引力场中物质的运动方程 在均匀的引力场中，我们用微分几何的关于二阶微分邻域的理论结果，讨论了物质作匀加速运动（加速度等于常数）时的运动方程

非均匀引力场中物质的运动方程

夏烆光

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一 引 言

在均匀的引力场中，我们用微分几何的关于二阶微分邻域的理论结果，讨论了物质作匀加速运动（加速度等于常数）时的运动方程。当我们把这种绝对加速度常数（η）看成是重力加速度常数（g）时，这个方程就是在均匀的引力场中，物质运动的微分方程。但是，考虑到物质的运动不仅会面临着均匀的引力场，而且更多地情况下是面临着非均匀的引力场。譬如，光子在广袤的宇宙空间中的传播过程，在沿途上，就一定会从许许多多质量迥异的恒星系或各种其它类型的天体附近通过。这些天体的引力场是各不相同的，因此光子在整个传播的路径上所通过的引力场就是非均匀的。现在我们来讨论，在非均匀引力场中，广义时空相对论意义上物质运动的引力方程。

二 三阶微分邻域的不变矢量

如同二阶微分邻域一样，这里所设：曲线M(t)上的点具有一阶、二阶和三阶的连续导数（参见《微分几何教程》，[苏] 芬尼可夫著，施祥林、徐家福译，高等教育出版社1954年7月第一版，第69页）。并且，我们来考虑曲线在M₀点的三阶微分邻域。一阶微分邻域给出了不变的切矢量τ，并且使我们可以选择特别参数s——曲线的弧长。二阶微分邻域包含了矢量dM/dt和d²M/dt²，给出了不变的主法线矢量μ，并由此给出全部的相伴三面形T(M,τ,μ,β)、以及曲线的第一个不变式——曲率k。不言而喻，三阶微分式包含着三个导数：dM/dt，d²M/dt²，d³M/dt³。然而，方便的做法是：不直接地通过对二阶导数d²M/dt²求导来得出三阶导数d³M/dt³。而是先确定了单位矢量μ和β的导数，然后再由它们之间的相互关系计算出三阶导数d³M/dt³来。在讨论二阶微分邻域的不变式和不变矢量时，我们已经避开了对于参数t的微分，而采用了计算导数d²M/s²。根据微分几何的理论结果，按照基本矢量τ和μ的展开式

d²M/dt² =τd²s/dt² +μk(ds/dt)² (1）

我们已经得到导数

d²M/ds² = kμ (2)

现在，我们把上式对具有内蕴意义的参数s微分，——这将使我们避开研究所得的矢量在参数代换时的变化法则，——但是，这里并不是直接把二阶导数d²M/ds² = kμ来对于特别参数“s”进行微分，而是对这个式子的右端的矢量μ和曲率k的乘积进行微分。不难理解，此处的不变式k的导数，不可能给出本质上新颖的不变式。——不变式k关于参数s的全部导数：dk/ds，d²k/ds²，d³k/ds³，……，只不过是一些“阶数”越来越高的不变式而已。我们对此并不感兴趣。但在对于矢量μ的微分中，却有可能得出一些本质上有用的理论结果，所以，我们的讨论将从对于矢量μ的微分开始。然后，用新的不变式来表示出三阶导数d³M/ds³、以及d³M/dt³。

三 三阶微分邻域的不变式与相伴三面形的运动

直接地写出微分几何的理论结果。三阶微分邻域的不变式总共包括着：

dτ/ds = kμ；dμ/ds = - kτ+ζβ；dβ/ds = -ζμ (3)

（参见《微分几何教程》，同上，第69—72页）。这些基本公式是选择了右旋坐标系时所得出的结果。倘若是改为左旋坐标系，对于曲线M(t)的定向来说，在切矢量τ改变方向时，由它与主法线矢量μ确定的旋转方向下，公式(3)所确定的副法线矢量β将改变自己的正方向。所以方程(3)确定的不变式“ζβ”也随之改变符号，——由（ζβ）变成了（-ζβ）；为了保持曲线M(t)的基本不变式ζ的原有符号，必须在公式(3）中改变矢量“β”的符号。这样一来，在左旋的坐标系中，相伴三面形的单位矢量的导数的“基本关系表”可以写成下列的形式：

dτ/ds = kμ；dμ/ds = - kτ-ζβ；dβ/ds = -ζμ (4)

其中的“ζ”是曲线的“挠率”。而r = 1/ζ是曲线的“挠率半径”。

正如所知，刚体的任何运动都可以分为两个部分：一是远离坐标原点的平行移动；二是绕固定轴的转动。换句话说，在物体运动的每一个给定的瞬间，都是由两个基本的运动所组成：第一是平移——此时物体在每一给定的时间内，它的各个部分具有相同的运动速度。物体上任何两个物理点，平行地描绘出相等的流动径矢。当然，在不同的时间里，整个物体可以具有不同的速度，这是因为在不同的时间里，物体所受到的外力可能有所不同；第二是转动——此时物体上的某一条直线固定不动，而物体的其它部分则绕着这个固定的直线旋转。

为了使问题简明起见，我们约定：点M必须在曲线上运动。这种运动可以是匀速运动，也可以是匀加速运动，或者是变速运动。若dM/ds等于常数，就是匀速运动；若d²M/ds²等于常数，就是匀加速运动；若d³M/ds³等于常数，就是变加速运动。相伴三面形T(M,τ,μ,β)的运动，它的顶点M的平移和转动是由下列四个关系式所确定的：

dM/ds =τ； dτ/ds = kμ；dμ/ds = - kτ-ζβ；dβ/ds = -ζμ (5）

这里，曲线上的每个点M，联系着一个相伴三面形T(M,τ,μ,β)，它是由曲线上对应点所发出的“切矢量”、“主法线矢量”、“副法线矢量”所构成的直角三面形。这个相伴三面形具有单位矢量的特征。因为同一个方向上的相伴三面形完全相同，所以我们可以把相伴三面形看成是一个固定三面形（刚体）的移动，当它的顶点描绘出一条曲线时，这个三面形移动到了不同的空间位置上。

因此说，在相伴三面形T(M,τ,μ,β)上——也就是在运动物体上，任何两个点之间的距离始终保持不变，不管这个运动是平移、还是转动。对于匀速运动的情况，dM/ds =τ代表了相伴三面形T(M,τ,μ,β)的顶点M的运动速度；而它的转动部分是由(4）式中的三个式子共同确定的，或者由(5）式中的后三个式子共同确定的。两个确定公式代表了相伴三面形旋转方向上的对立。如果以(3）式代表右旋坐标系这一正方向，那么(4）式就代表左旋坐标系这一负方向。二者的旋转方向刚好相反。

四 曲率和挠率在运动学中的物理意义

（一）曲率和挠率在运动学中的物理意义。诚如上述，在相伴三面形T(M,τ,μ,β)的匀速运动中，它的顶点M具有等于τ的平移速度；并且具有(4)式所确定的旋转运动。由此可以推知：1)、主法线μ是在相伴三面形T(M,τ,μ,β)上转动速度的分量等于0时的唯一的直线；2)、曲率k（= 1/ρ）确定了绕副法线β的转动时的线速度分量。这个分量确定着曲线的切线τ在密切平面上的转动，它改变着相伴三面形T(M,τ,μ,β)顶点M平移速度的方向；3)、挠率ζ（=1/r）决定着绕切线τ转动的“线速度”的分量的方向。这个分量确定着三面形T所沿着平移直线（速度分量τ）的转动。因此，相伴三面形T在空间中作螺旋转动，也叫做“挠动”。并且，螺旋轴本身也在“密切平面”中转动。正、负挠率确定着右旋、或左旋的螺旋运动。也就是说，当挠率为正时，第二个转动的“线速度分量”的方向位于切线τ的正侧，因而表明：我们所选择的坐标系是右旋的，即螺旋运动是右旋的。如果我们把“右手的中指”指向平移速度的方向，那么这个相伴三面形将以中指为旋转轴，由拇指开始向食指的方向逆时针地转动。（参见《微分几何教程》，同上，第88页）

（二）相对论问题与拓扑学的区别。基于上述的曲线M(t)关于坐标变换时的不变式（曲线的内蕴性质），使拓扑学可以顺理成章地应用到物理学关于各种运动问题的讨论之中。但是，我们必须指出：惟有相对论问题与上述情形之间存在着一定的出入！换言之，在相对论的问题中，并非是要把一个“流动径矢”简单地利用运动系上的时间坐标和空间坐标加以表示的问题。事实上，在相对论的问题中：一方面只有两个坐标系之间的相对运动，才能构成所谓的“径矢”；另一方面由于两个观测者总是分别地站在径矢的两个端点上，所以，这两个观测者之间的运动速度的大小与方向随时地改变着这个径矢本身的大小与方向。由此而来，同一个运动，对于两个不同的观测者来说，所构成的径矢或者只有一个，——对于直线运动的情形；或者随时地改变着径矢的方向，——对于曲线运动的情形。特别是，在相互作用传播速度有限性的影响下，一个流动的物理点，或者一个相伴三面形的顶点M，在任意空间位置上的时间坐标，只有运动时钟的读数（t^*）才是确切的，而静止时钟的读数（t）是不确切的。

正如我们一再指出的那样，假如认为两种情况下所得出的读数都是确切的，那末，静止的观测者肯定是没有摆脱绝对同时性的时间观念。换句话说，利用静止系坐标原点“O”上的时钟，根本不可能绝对同步地记录这个相伴三面形的顶点M在任何空间位置上的时间坐标。如果不这样地去理解，而是按照爱因斯坦相对论的观点去理解（即爱因斯坦校准时钟的考虑），那末，肯定是没有摆脱绝对同时性的时间观念！！因此说，相对论与拓扑学的含义并非完全一致，或者说：拓扑学只有在纯粹的数学中才是无条件地有效的。所以，我们决不可以没有任何限制地把拓扑学运用于广义相对论之中，而不会出现任何错误。

五 在相对论意义下三阶导数的变换公式

正如所知，相伴三面形的无穷小的移动的公式，也就是，三面形的基本单位矢量的导数公式(3)，除去了单位矢量τ，μ，β之外，只包括了两个“纯量”——曲线的曲率k和挠率ζ。这些纯量是运动群的不变式，是对于坐标变换而不变的量。或者说，它们与参数的选择无关，因而具有内蕴意义。不变式中的第一个不变式是曲线的曲率k = 1/ρ，它是曲线M(t)的二阶微分邻域；第二个不变式是曲线的挠率ζ= 1/r，出现在三阶微分邻域中，并且，它的倒数r = 1/ζ就是挠率半径。微分几何理论证明，这个不变式ζ= 1/r依赖于后面的三个导数：dM/dt，d²M/dt²，d³M/dt³。为了以下的讨论，我们这里需要简要地重复一下微分几何的理论结果。为此目的，我们写出：

dM/ds =τ；d²M/ds² = kμ (6）

由此得出三阶导数

d³M/ds³ = d(kμ)/ds = kdμ/ds + μdk/ds

由(3)式得出：

d³M/ds³ = - kτ² + (dk/ds)μ+ kζβ (7)

这个公式表明：除k = 1/ρ与ζ= 1/r之外，三阶导数不能导出另外的不变式。作矢量的“混积”

(dM/ds)(d²M/ds²)(d³M/ds³)=(dM/ds) x (d²M/ds²)d³M/ds³ (8)

由单位矢量间的相互关系：
τ=μxβ，μ=βxτ，β=τxμ (9)

得出：

(dM/ds x d²M/ds²)= k (τx μ)= kβ (10）

由此而得出：

(dM/ds)(d²M/ds²)(d³M/ds³)= k²ζ (11）

再由(6)式得：
k² =(d²M/ds²)²， (12）
于是，我们得出：

ζ=1/r =[(dM/ds)(d²M/ds²)(d³M/ds³)]/(d²M/ds²)² (13)

在左旋的情况下，上式的右端改变符号为“负”（-）。

六 非均匀引力场中物质的运动方程

现在，我们首先引入静止时钟所记录的时间坐标t，然后来讨论相伴三面形的顶点M随着时间t的运动规律。诚如上述，从刚体的运动学的观点出发，一阶导数dM/dt代表了相伴三面形的顶点M对于静止系坐标原点“O”的“相对速度”，用V = dM/dt来表示；二阶导数d²M/dt²代表了坐标三面形的顶点M对于静止系的坐标原点“O”的“相对加速度”，用 a=d²M/dt²来表示；三阶导数d³M/dt³代表了坐标三面形的顶点M对于静止系的坐标原点“O”的“相对加速度变化率”，用b = d³M/dt³来表示。我们来计算径矢对于参数t的微分。按着复合函数的微分法则，我们得出：

V =dM/dt = (dM/ds)(ds/dt)；

a =d²M/dt² = (d²M/ds²)(ds/dt)² +(dM/ds)(d²s/dt²)； (14)

b =d³M/dt³ = (d³M/ds³)(ds/dt)³+3(d²M/ds²)(d²s/dt²)+(dM/ds)(d³s/dt³)。

这些结果表明了相对静止坐标系上的观测者、用静止时钟，对于相伴三面形T（运动系）的运动规律，包括它的相对速度、相对加速度、相对加速度变化率等。

七 在相对论意义下的参数替换

相对论问题就是要导出用运动系（即相伴三面形T上）时间坐标t^*与用静止系时间坐标t，所给出的同一个事件运动规律的相互比较。也就是说，这里是要用运动时钟的读数t^*来替换方程(14）中静止时钟的读数t。为此，我们设曲线M(s)的特别参数s与运动系的时间坐标t^*的函数关系为：s = s(t^*)。把上式对时间坐标t^*微分三次，便得出：

ds = s’(t^*)dt^*；d²s =[s’(t^*)dt^*]’dt^* = s''(t^*)dt^*2；
d³s = [s''(t^*)dt^*2]'dt^* = s'’'(t^*)dt^*3 (15)

上式中的一阶导数s'(t^*)代表：站在相伴三面形T的顶点M上的观测者，用运动时钟t^*所得出地关于M点的“绝对速度”。这个绝对速度可以是常数，——对应着没有外力作用的保守体系；也可以是运动系上的时间坐标t^*的函数，——对应着外力作用引起地绝对速度和绝对加速度的变化率。为此，我们这里分别地引入下列定义：

绝对速度： υ= s'(t^*)；
绝对加速度： η= s''(t^*)；
绝对加速度变化率： θ= s'''(t^*)
于是，我们可以把(15)式写成：

ds = υdt^*，d²s = ηdt^*2 ，d³s = θdt^*3 (16)

这里，弧长s对于运动系的时间坐标t^*的微分，其方向对应着相伴三面形T(M,τ,μ,β)的三个方向τ、μ、β，它们共同地决定着静止系上的各种矢量的瞬时方向。这样一来，我们将(6）、(7）式和(16）式一一对应地代入(14）式，便可以得出静止系的相对速度、相对加速度、相对加速度的变化率。其中，

相对速度为： V=dM/dt = υ(dt^*/dt)τ； (17)
相对加速度为： a=d²M/dt²=kυ²(dt^*/dt)²μ+ η(dt^*2/dt²)τ； (18)
相对加速度变化率为：b = d³M/dt³ = - kυ³τ²(dt^*/dt)³ +υ³μ(dk/dt)(dt^*/dt)³
+ kυ³ζβ(dt^*/dt)³ + 3kημ(dt^*2/dt²)+τ(θdt^*3/dt³) (19)

很明显，在任何情况下，“相对加速度”、以及“相对加速度变化率”的大小与方向，都是“切向加速度”和“法向加速度”、以及“副法向加速度”的合成结果。

现在，我们来求出具有“纯量”特征的时间坐标（t^* 和t）的微分元（dt^* 和dt）之间的相互关系。为此，可以根据广义时空相对论的理论结果写出：

dt^*/dt = ξ (20)
其中，
ξ= c/(c² +υ²)^1/2< 1，（ξ≠1）。 (21)

假如ξ=1，则υ= 0，就不存在相对运动的情况了。把(20)和(21)式分别地代入(17)、(18)、(19)式，注意到：τ² = 1，经过整理，我们便可以相应地得出如下的理论结果：

1） 相对速度：
V =[υc/(c² +υ²)^1/2]τ (22)
——这个公式就是：在自由空间中，物质运动的基本公式。

2） 相对加速度：
a = [ kυ²c²/(c² +υ²)]μ+[ηc²/(c² +υ²)]τ (23)

——这个公式就是：在均匀的引力场中，物质运动的基本方程。

3） 相对加速度变化率：
b = υ³ξ4(dk/dt^*)μ + kυ³ξ³ζβ+³kξ²ημ+ξ³θτ- kυ³ξ³ (24)

——这个公式就是：在非均匀的引力场中，物质运动的基本方程。

至于涉及到，非均匀引力场到底是否存在的问题？我们说，在广袤的宇宙空间之中，这是一个不言而喻的事情。

再者，在上式中，除了(dk/dt^*)这一项之外，其余所有的参数都已经有了明确的定义。但是，可以清楚地看出，(dk/dt^*)代表了动点M的曲率k随着运动系上的时间t^* 的“变化率”。随着时间t^* 的推移，动点M在所经过的路径的周围，由于外界引力势的不同变化，从而引起了曲线M(t)上的动点M在不同的位置上，运动路径的曲率发生着相应地变化。这个变化率(dk/dt^*)本身的大与小，完全地取决于运动物质周围的引力势的大与小。不难理解，某一个位置上引力势的大与小，则取决于那个位置附近天体（比如恒星系）本身质量的大与小、动点M质量的大小、以及它与那个天体之间相对位置的近与远等因素。

现以光线在宇宙空间中的运动路径为例，粗略地考虑，可以认为：光速的“绝对值”（c）是个常数，绝对加速度η也是个常数，那么，绝对加速度的变化率θ= 0。这时，(24)式可以改写成：

b = υ³ξ4(dk/dt^*)μ+kυ³ξ³ζβ+ ³kξ²ημ-kυ³ξ³ (25)

——这个关系式表明：光线在广袤的宇宙中传播时，相对加速度方向的变化规律。毫无疑义，这种改变是来自于主法线μ方向的天体以及副法线β方向上的天体（恒星系）引力势的作用。可见，光线在宇宙中传播的路径是一条空间上的“波浪线”。

如果我们进一步简化地假设：在光线传播的路径上引力势是均匀的，则有dk/dt^* = 0。并注意到V =ξυ，那么，上式又可以改写成：

b = kV³ζβ+ 3(kV²/υ²)ημ- kV³ (26)

注意到副法线β方向上相对加速度代表着绕切线τ的旋转，主法线μ方向上的相对加速度代表着绕副法线β的旋转。所以，上式第二项括号中的系数可写成kV² =ω²ρ（k = 1/ρ）。其中的ω是光子转动的一种圆频率。还有，在上述简化假定的前提下，光子绝对速度的绝对值等于c，即|υ|= c，于是，上式又可进一步地改写成：

b = kV³ζβ +(³ηω²ρ/c²)μ- kV³ (27)

当然，也可以在上式的第一项中引入另外一种转动频率。不过，这里不打算作更多地讨论。

上式中的第三项（kV³）是一个与力学体系有关的常数。不难理解，只要一个力学体系确定之后，绝对速度也就确定。一旦绝对速度确定，这个常数也就相应地固定下来。因为这里已经假设了υ的绝对值等于c，所以我们直接地由“ξ”初步地算出：

kV³ = ( c³/4) k (28)

不同的力学体系，不仅υ不同，而且k也不同。因此，只有知道了光子传播路径的曲率k（或曲率半径ρ）的大小，才能计算出这个数值来。而这个数值究竟代表着什么？目前我们尚不清楚。

八 结 论

总而言之，通过以上地讨论，不仅得出了物质在非均匀引力场中运动的基本方程，从而证明了爱因斯坦的广义相对论并非是唯一正确的关于引力的理论，而且通过把这一引力方程应用于光线传播这个实际问题，得出了：光线在宇宙中的传播路径，是一条空间上的、波动着的、螺旋式前进的波浪线。换句话说，从整体上看，在不均匀的引力场的作用下，光线的传播路径是一条空间上的波浪线，体现了引力势在各个不同方向上的作用力的合成结果；从局部上看，一方面，光子绕着前进的方向不停地“转动”；另一方面，又绕着垂直于前进方向的旋转轴不停地“旋转”，从而表现出物质（尤其是微观粒子）的“波动性”和“粒子性”的对立统一。显然，这是一个既符合逻辑、又非同一般的理论结果。